4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质(1)-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

4.2　指数函数 4.2.2　指数函数的图象和性质 第一课时　指数函数的图象和性质(1) 第四章　指数函数与对数函数 学习单元6　指数　指数函数 [学习目标]　1.能用描点法画出具体指数函数的图象.　2.初步掌握指数函数的图象和简单性质. 知识点1　指数函数的图象和性质 内容索引 知识点2　与指数函数有关的定义域和值域 课时作业 巩固提升 知识点3　比较指数式的大小 课堂达标·素养提升 3 知识点1　指数函数的图象和性质 1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质   0<a<1 a>1 图象       0<a<1 a>1 定义域 ___ 值域 _______ 定点 过定点(0,1),即x=0时,y=1 增减性 减函数 增函数 R (0,+∞) 2.在同一平面直角坐标系中,画出不同底数的指数函数的图象如图所示. 直线x=1与四个指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的交点依次为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),所以有0<b<a<1<d<c,因此可得出以下结论:在y轴的右侧,底数越大,图象越高,简称“底大图高”. (1)函数y=ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　) A.(0,1)　　　　　　　 B.(1,1) C.(-1,1) D.(1,0) (1)由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),因而当x=1时,y=1,与a的取值无关. 例1 B (2)已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为(　　) C (2)由于0<m<n<1,所以y=mx与y=nx都是减函数,故排除A,B项,作直线x=1与两个曲线相交(图略),交点在下面的是函数y=mx的图象. 1.由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),因此我们讨论与指数有关的函数图象过定点的问题时,只需令指数为0,解出x,y,即可求出定点坐标. 2.关于函数大致图象的问题,解题方法多样,其中特殊值验证法、排除法比较常用. 3.根据图象判断不同指数函数的底数大小的方法:过点(1,0)作与y轴平行的直线,则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即为该指数函数的底数. 思维提升 1.函数f(x)=a2 024-x+2 023(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(2 023,2 023) B.(2 024,2 023) C.(2 023,2 024) D.(2 024,2 024) (1)令2 024-x=0,即x=2 024,则f(2 024)=a0+2 023=2 024,故函数f(x)的图象恒过定点(2 024,2 024). 跟踪训练 D (2)图中的曲线C1,C2,C3,C4是指数函数y=ax的图象,而a∈,则 图象C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是　　　 　,　 　　　, 　　　 　,　　 　　.  π (2)由底数变化引起指数函数图象变化的规律,在y轴右侧,底大图高,在y轴左侧,底大图低.则知C2的底数<C1的底数<1<C4的底数<C3的底数,而<<<π,故C1,C2,C3,C4对应函数的底数依次是,,π,(也可以作直线x=1求解). 知识点2　与指数函数有关的定义域和值域 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域为 ,值域为(0,+∞). R 求下列函数的定义域与值域. (1)y=1; [分析]　(1)由x-1≠0求出函数定义域,求值域时注意≠0. 例2 [解]　(1)要使函数有意义,则x-1≠0,即x≠1. 所以函数y=1的定义域为{x|x≠1}. 因为≠0,所以1≠1. 又1>0,所以函数y=1的值域为{y|y>0,且y≠1}. (2)y=. [分析]　(2)y=转化为y=. [解]　(2)定义域为x∈R. 因为|x|≥0,所以y==≥=1. 故y=的值域为{y|y≥1}. [变条件]　将本例(1)中y=1改为y=1呢? 解:由≥0,得x≤-1,或x>1, 所以y=1的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞). 令u=,则u≥0,且u≠1, 所以10u≥100=1,且10u≠10,即y≥1,且y≠10. 故y=1的值域为[1,10)∪(10,+∞). 函数y=af(x)定义域、值域的求法 1.定义域的求法: 函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. 2.值域的求法: (1)换元,令t=f(x); (2)求t=f(x)的定义域x∈D; (3)求t=f(x)的值域t∈M; (4)利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域. 思维提升 2.求下列函数的定义域和值域: (1)y=; 解:(1)因为x-2≥0,所以x≥2,令u=≥0,y=2u在[0,+∞)上单调递增,所以y=2u≥20=1,所以函数y=的定义域为[2,+∞),值域为[1,+∞). 跟踪训练 (2)y=. 解: (2)该函数的定义域为R,令t=-x2≤0,又y=2t在其定义域上是增函数,所以y=2t≤20=1,所以函数y=的定义域为R,值域为(0,1]. 3.已知-1≤x≤2,求函数y=f(x)=3+2×3x+1-9x的值域. 解:f(x)=3+2×3x+1-9x=-(3x)2+6×3x+3. 令3x=t,则y=-t2+6t+3=-(t-3)2+12. 因为-1≤x≤2,所以≤t≤9. 由于当t=3,即x=1时,y取得最大值12; 当t=9,即x=2时,y取得最小值-24, 即f(x)的最大值为12,最小值为-24. 故所求函数f(x)的值域为[-24,12]. 知识点3　比较指数式的大小 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性 当0<a<1时,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在(-∞,+∞)上是 . 当a>1时,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在(-∞,+∞)上是 . 减函数 增函数 0.43,30.4,π0的大小顺序由小到大排列依次为　　　　　　　　.  [分析]　因为π0=1,所以由y=0.4x是减函数,y=3x是增函数,确定0.43,30.4与1的关系即可. 因为π0=1,函数y=0.4x是单调递减函数,3>0,所以0.43<0.40=1. 因为函数y=3x是单调递增函数且0.4>0,所以1=30<30.4,所以0.43<π0<30.4. 例3 0.43<π0<30.4 比较指数式大小的方法 1.对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断. 2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断. 3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断. 思维提升 4.已知a=,b=,c=2,则(　　) A.b<a<c　　　　　 B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b a==>=b,c=2=>==a,所以b<a<c. 跟踪训练 A 〈课堂达标·素养提升〉 1.如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=的一个是(　　) A.①　　　　　　　　 B.② C.③ D.④ B 当底数a>1时,函数单调递增,当0<a<1时,函数单调递减,当底数a>1,满足底数越大函数的图象在x>0时,越靠近y轴,则③是对应函数y=3x的图象,④是对应函数y=2x的图象,根据对称性,①是对应函数y=的图象,所以②不是. 2.3x<1的解集为　　　　.   3x<1=30,即x<0. (-∞,0) 3.函数y=4x+1的值域为　　　　.   设4x=t(t>0),则y=t+1(t>0),所以y>1, 即y=4x+1的值域为(1,+∞). (1,+∞) 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则(　　) A.y3>y1>y2　　　　　 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由题意得,y1=40.9=21.8,y2=21.44,y3=21.5, 又y=2x在(-∞,+∞)上是增函数, 所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.函数f(x)=+的定义域是(　　) A.[2,4) B.[2,4)∪(4,+∞) C.(2,4)∪(4,+∞) D.[2,+∞) 依题意有解得x∈[2,4)∪(4,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 3.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=3x-2的值域是(　　) A. B.[-1,1] C. D.[0,1] 因为f(x)=3x-2是x∈[-1,1]上的增函数,所以3-1-2≤f(x)≤3-2,即-≤f(x)≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 4.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 函数f(x)=的图象如图, 显然函数f(x)在R上单调递减. ∵f(x+1)<f(2x), ∴x+1>2x, 解得x<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.若函数f(x)=(2a-3)x在R上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　.  因为函数f(x)=(2a-3)x在R上是减函数,所以0<2a-3<1,解得<a<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知函数y=的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围是 　　　　.  由ax-1≥0,得ax≥a0, 又依题意,ax≥a0的解集是(-∞,0], 因此0<a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (0,1) 13 14 7.比较下列各组值的大小: (1)(-2.5与(-2.5; 解:(1)由于(-2.5=2.,(-2.5=2.,函数y=2.5x为增函数,又<,因而(-2.5<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)与0.; 解: (2)由于0.=,函数y=为减函数,又-<-,因而<0.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ; 解: (3)由于函数y=与函数y=分别为R上的减函数与增函数, 而-<0,因而>=1=>,即>. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 14 (4)0.4-2.5与2.51.6. 解: (4)由于0.4-2.5=2.52.5,函数y=2.5x为增函数,因而0.4-2.5=2.52.5>2.51.6,即0.4-2.5>2.51.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-2,2]上的函数值总小于2,求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:当a>1时,f(x)=ax在[-2,2]上是增函数, 则f(x)max=f(2)=a2<2, 所以1<a<; 当0<a<1时,f(x)=ax在[-2,2]上是减函数, 则f(x)max=f(-2)=a-2<2, 所以<a<1. 综上所述,a的取值范围是∪(1,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)上的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的大致图象是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)上的值域是(1,a2),又指数函数是单调函数,所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升,且在x轴上方,可知B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是(　　) A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2 C.1.60.6<0.72.6 D.> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 13 14 ∵函数y=1.7x在R上为增函数,2.5<3, ∴1.72.5<1.73,A正确; ∵函数y=0.8x在R上为减函数,-0.1>-0.2, ∴0.8-0.1<0.8-0.2,B正确; ∵1.60.6>1.60=1,0.72.6<0.70=1, ∴1.60.6>0.72.6,C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ==, ==, ∵<,∴<,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.函数f(x)=(a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范 围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知f(x)是R上的减函数, 则即≤a<1. 故a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知实数a,b满足等式=,给出下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中,不可能成立的有　　　　个.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 作y=与y=的图象(如图所示). 当a=b=0时,==1; 当a<b<0时,可以使=; 当a>b>0时,也可以使=. 故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,且g(2x-1)<g(3x),求x的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设f(x)=ax(a>0,且a≠1), 因为f(3)=8,所以a3=8,即a=2, 所以f(x)=2x. 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称, 所以g(x)=, 因此由g(2x-1)<g(3x), 即<, 得2x-1>3x,解得x<-1. 所以x的取值范围为(-∞,-1). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.确定方程2x=-x2+2的根的个数. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:根据方程的两端分别设函数f(x)=2x,g(x)=-x2+2.在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=2x与g(x)=-x2+2的图象,如图所示. 由图可以发现,二者仅有两个交点, 故方程2x=-x2+2的根的个数为2. 13 14 $$