第3章 教材拓展5 求函数的值域-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

教材拓展5　求函数的值域 第三章　函数的概念与性质 学习单元4　函数的概念及其表示　函数的基本性质 求函数值域时应先确定相应的定义域，再根据函数的具体形式及其运算确定其值域. (源于教材第72页第3题)求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； [分析]　利用一次函数y＝kx＋b(k≠0)值域为R；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；反比例函数y＝(k≠0)值域为{y｜y≠0}. 例 [解]　(1)(观察法)∵x∈{1，2，3，4，5}，将x的值分别代入函数解析式中求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}. (2)y＝； [分析]　利用一次函数y＝kx＋b(k≠0)值域为R；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；反比例函数y＝(k≠0)值域为{y｜y≠0}. [解]　(2)(分离常数法)函数定义域为{x｜x≠3}，y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (3)y＝(x＞1)； [分析]　利用一次函数y＝kx＋b(k≠0)值域为R；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；反比例函数y＝(k≠0)值域为{y｜y≠0}. [解]　(3)(基本不等式法)由x＞1，知x－1＞0， 则y＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时，上式取“＝”， ∴y＝(x＞1)的最小值为8. 故函数y＝的值域为[8，＋∞). (4)y＝2x－； [分析]　利用一次函数y＝kx＋b(k≠0)值域为R；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；反比例函数y＝(k≠0)值域为{y｜y≠0}. [解]　(4)(换元法)函数定义域为[1，＋∞)，设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2( t－)2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图所示)， 可得函数的值域为［，＋∞). (5)y＝. [分析]　利用一次函数y＝kx＋b(k≠0)值域为R；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；反比例函数y＝(k≠0)值域为{y｜y≠0}. [解]　(5)函数定义域为R. 法一：(判别式法)由y＝，整理得(y－2)x2＋(y－2)x＋y－5＝0， 当y＝2时，方程无解； 当y≠2时，Δ＝(y－2)2－4(y－2)(y－5)≥0， ∴2＜y≤6.故所求函数的值域为(2，6]. 法二：(分离常数法)y＝＝＝2＋. ∵x2＋x＋1∈［，＋∞)， ∴∈(0，4]， ∴2＋∈(2，6]. 故所求函数的值域为(2，6]. 求函数值域的常用方法 1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． 2．配方法：求“二次函数”类值域的基本方法． 3．分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域． 4．换元法：对于带根号的函数，常用换元法转化为有理函数，间接地求原函数的值域． 思维提升 5．判别式法：求形如y＝ (a，b，c，d，e，f不同时为0)的值域，常把函数转化成关于x的一元二次方程，通过方程有实根，判别式Δ≥0，求出y的取值范围，即得到函数的值域． 求下列函数的值域： (1)y＝1－； 跟踪训练 解：(1)画出函数y＝1－的图象，可得值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).( 也可以由－≠0，y≠1求出值域) (2)y＝； 解：(2)(分离常数法)y＝＝＝2－，≠0， ∴y≠2，函数值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (3)y＝x＋； 解：(3)(换元法)令＝t，t≥0， ∴x＝， ∴y＝＋t＝t2＋t－＝(t＋1)2－1. ∵t≥0，∴y≥－， ∴函数的值域为［－，＋∞). (4)y＝. 解：(4)法一：(基本不等式法)当x＝0时，y＝0； 当x＞0时，y＝≤＝1(当且仅当x＝1时，等号成立)； 当x＜0时，y＝－≥－1(当且仅当x＝－1时，等号成立)， ∴函数值域为[－1，1]. 法二：(函数与方程法)y＝的定义域为R，将函数解析式化为yx2－2x＋y＝0，看成关于x的方程，则这个方程有实数根，∴Δ＝4－4y2≥0，∴y2≤1， ∴－1≤y≤1， ∴函数值域为[－1，1]. $$