第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末检测-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 章末检测(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中： ①若a＞b，c≠0，则ac＞bc； ②若a＞b，则ac2＞bc2； ③若ac2＞bc2，则a＞b； ④若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd. 其中真命题的个数是(　　) A.1　　　　B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 若a＞b，c＜0时，ac＜bc，①错误；若c＝0，则有ac2＝bc2，②错误，③正确；只有c＞d＞0时，ac＞bd，④错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.关于x的不等式－x2＋5x＋6＜0的解集为(　　) A.{x｜x＜－2，或x＞3} B.{x｜－2＜x＜3} C.{x｜－1＜x＜6} D.{x｜x＜－1，或x＞6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 －x2＋5x＋6＜0⇒(x－6)(x＋1)＞0⇒x＜－1或x＞6，则不等式－x2＋5x＋6＜0的解集是{x｜x＜－1，或x＞6}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.关于命题p：∀a，b∈R，ab≤( )2，下列说法正确的是(　　) A. p：∃a，b∈R，ab≥( )2 B. p：∀a，b∈R，ab＞( )2 C.p是假命题 D.p是真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 ∵命题p：∀a，b∈R，ab≤( )2， ∴ p：∃a，b∈R，ab＞( )2，故A，B错误； ∵( )2－ab＝－＋＝( )2≥0； 当a，b中至少有一个为0时，ab＝0，( )2≥0，ab≤( )2，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知实数x＞3，则x＋的最小值是(　　) A.12 B.9 C.6 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 ∵x＞3，∴x－3＞0， x＋＝(x－3)＋＋3≥3＋2＝9， 当且仅当x－3＝，即x＝6时，取得最小值9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知a＞0，b＞0，且满足＋＝1，则ab的最大值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 因为a＞0，b＞0，且满足＋＝1， 所以1≥2，化为ab≤3， 当且仅当a＝，b＝2时取等号， 则ab的最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为(　　) A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 由a＝3，b＋c＝5，得p＝(a＋b＋c)＝×(3＋5)＝4， 所以S2＝4×(4－3)×(4－b)×(4－c) ＝4[bc－4(b＋c)＋16] ＝4(bc－4)≤4×［( )2－4］ ＝4×＝9，当且仅当b＝c＝时取等号，所以S≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.若x，y∈R＋，3x＋y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A.2＋5 B.4 C.12 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 因为3x＋y－xy＝0，x，y∈R＋，两边同除xy， 所以＋＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)( ＋)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2， 当且仅当即x＝＋1，y＝3＋时取等号， 所以2x＋y的最小值为2＋5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知关于x的一元二次不等式kx2－x＋1＜0的解集为{x｜a＜x＜b}，则2a＋b的最小值是(　　) A.6 B.5＋2 C.3＋2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 因为关于x的一元二次不等式kx2－x＋1＜0的解集为{x｜a＜x＜b}， 所以a，b是方程kx2－x＋1＝0的两根， 所以 所以＝＋＝1， 所以2a＋b＝(2a＋b)( ＋)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝时，取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　 　) A.b＝－2a B.a＋b＋c＜0 C.a－b＋c＜0 D.abc＜0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 15 16 17 18 19 根据对称轴x＝－＝1得到b＝－2a，A正确； 当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，B错误； 当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，C正确； 开口向下，a＜0，b＝－2a＞0，当x＝0时，y＝c＞0， 故abc＜0，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.若方程x2＋2x＋λ＝0在－1＜x＜0上有实数根，则实数λ的取值可以是(　　) A.－3 B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 15 16 17 18 19 方程x2＋2x＋λ＝0对应的二次函数为y＝x2＋2x＋λ，它的对称轴为x＝－1，所以 解得0＜λ＜1.结合各选项知B，C符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　　) A.若x＞0，则x2＋≥3 B.若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C.若x＞0，则2x＋≥3 D.若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 x＞0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x＝1时取等号，故A正确； ∵0＜x＜1，∴1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤( )3＝，当且仅当x＝时取等号，故B错误； x＞0，2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时取等号，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵0＜x＜1，∴1－x＞0，x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤( )3＝，当且仅当x＝时取等号，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知函数y＝x2－2x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是　　 　　. 函数y＝x2－2x－a有两个不同的零点， 即方程x2－2x－a＝0有两个不等实根， 故Δ＝(－2)2－4×(－a)＞0⇒a＞－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 {a｜a＞－1} 15 16 17 18 19 13.已知1＜a＋b≤5，－1≤a－b＜3，则3a－2b的取值范围是 　 　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 －2＜3a－2b＜10 设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 则3a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， ∴ 解得 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又∵1＜a＋b≤5，－1≤a－b＜3， ∴＜(a＋b)≤，－≤(a－b)＜. ∴－2＜3a－2b＜10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为　　　 　. ∵2kx2＋kx－＜0为一元二次不等式，∴k≠0， 又2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立， 则必有解得－3＜k＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 {k｜－3＜k＜0} 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)给定条件：①5≤a≤6，1≤b≤2，且a－2b的取值范围是m≤a－2b≤n； ②一元二次不等式x2－5x＋4≤0的解集是m≤x≤n. 请选择其中一个补充在下面试题的横线中，并完成试题(如果多填，以选①评分). 已知　　　　，且x＞0，y＞0，mx＋ny＝1，求＋的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：选择条件①： 因为5≤a≤6，1≤b≤2， 所以2≤2b≤4，则1≤a－2b≤4，所以m＝1，n＝4. 则x＋4y＝1， 所以＋＝(x＋4y)( ＋)＝17＋＋. 因为x＞0，y＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立， 所以当x＝y＝时，＋取最小值25. 选择条件②： 因为x2－5x＋4≤0，所以1≤x≤4，所以m＝1，n＝4. 则x＋4y＝1， 所以＋＝(x＋4y)( ＋)＝17＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为x＞0，y＞0， 所以＋≥2＝8， 当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立， 所以当x＝y＝时，＋取最小值25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知函数y＝x2＋(a＋b)x＋a. (1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，求a，b的值； 解：(1)由条件知，关于x的方程x2＋(a＋b)x＋a＝0的两个根为1和2， 所以由根与系数的关系知 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当b＝1时，解关于x的不等式y＞0. 解：(2)当b＝1时，y＝x2＋(a＋1)x＋a＞0，即(x＋a)(x＋1)＞0， 当－a＜－1，即a＞1时，解得x＜－a或x＞－1； 当－a＝－1，即a＝1时，解得x≠－1； 当－a＞－1，即a＜1时，解得x＜－1或x＞－a. 综上可知，当a＜1时，不等式的解集为{x｜x＜－1，或x＞－a}； 当a＝1时，不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＜－a，或x＞－1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，要求草坪的面积不小于总面积的一半. (1)求草坪的面积y与花卉带宽度x的函数关系式； 解：(1)y＝(800－2x)(600－2x)，0＜x＜300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)花卉带宽度的范围. 解：(2)由题意知y≥×800×600＝240 000， 即(800－2x)(600－2x)≥240 000， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解得x≤100或x≥600. 又因为0＜x＜300， 所以0＜x≤100， 故花卉带宽度的范围是{x｜0＜x≤100}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)求下列各式的最小值： (1)已知正实数a，b满足a＋b＝4，求＋的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：(1)因为正实数a，b满足a＋b＝4， 所以＋＝( ＋)(a＋b) ＝( 5＋＋)≥( 5＋2)＝， 当且仅当＝且a＋b＝4，即a＝，b＝时，等号成立， 所以＋的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设x＞－1，求函数y＝的最小值. 解：(2)由题意，设t＝x＋1＞0，则x＝t－1， 则y＝＝＝ ＝t＋＋3≥2＋3， 当且仅当t＝，即t＝，即x＝－1时，等号成立， 所以函数y＝的最小值为2＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根. (1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立；若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：(1)不存在.理由如下， 假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立. ∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， ∴解得k＜0. 又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(＋)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－，∴k＝. 又k＜0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值. 解：(2)∵＋－2＝－2＝－4＝－4＝－，∴要使其值是整数，只需4能被k＋1整除，即k＋1＝±1，±2，±4. 又k＜0，∴使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$