2.3.2 一元二次不等式的应用-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第二课时　一元二次不等式的应用 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习单元3　等式性质与不等式性质　基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式 [学习目标]　1.会解简单的分式不等式.　2.能熟练地由一元二次不等式的解集逆求参数.　3.能构建一元二次不等式模型解决简单的实际问题. 知识点1　简单分式不等式的解法 内容索引 知识点2　已知一元二次不等式解集逆求参数的有关问题 课时作业 巩固提升 知识点3　一元二次不等式的实际应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　简单分式不等式的解法 1.定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 2.解法：等价转化法解分式不等式. ＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔ . ≥0⇔⇔f(x)·g(x)＞0或 ≤0⇔⇔f(x)·g(x)＜0或 f(x)·g(x)＜0 解下列分式不等式： (1)＞0； [解]　(1)＞0，等价于x(2x－1)＞0， 解得x＜0或x＞， 所以不等式＞0的解集为. 例1 (2)≥1. [解]　(2)≥1⇔－1≥0⇔≥0⇔≤0⇔解得≤x＜2. 所以原不等式解集为. 1.分式不等式可转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，注意将x的系数化为正数，然后再用上述方法求解． 思维提升 1.解下列不等式： (1)≥0； 解：(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x＞3. 即原不等式的解集为{x｜x≤－1，或x＞3}. 跟踪训练 (2)＜3. 解：(2)不等式＜3可改写为－3＜0， 即＜0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜1. 所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}. 知识点2　已知一元二次不等式解集逆求参数的有关问题 已知一元二次不等式解集逆求参数，本质是考查“三个二次”间的联系，将不等式的解集借助二次函数图象转化为相应方程的 是解题的关键. 实数根 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. [分析]　由条件知2，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，且a＜0，再利用根与系数的关系找到a，b，c的关系，代入求解. 例2 [解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知，a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a＜0知c＜0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为. 法二：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知，a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0⇒6a( x－)( x－)＜0，故原不等式的解集为，或x＞}. [变设问]　若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集. 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a＜0. 所以c＜0，＝－，故不等式cx2－bx＋a＞0， 即x2－x＋＜0，即x2＋x＋＜0. 解得－＜x＜－， 故原不等式的解集为. 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．已知不等式解集逆求参数的一般思路． 思维提升 2.关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x}.求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 跟踪训练 解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为 {x}知a＜0. 又( －)×2＝＜0，则c＞0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－. 又＝－，∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为( －a)x2＋( －a)x＋a＜0， 即2ax2＋5ax－3a＞0. 又a＜0，∴2x2＋5x－3＜0， 故所求不等式的解集为{x. 法二：由已知得a＜0且( －)＋2＝－，( －)×2＝知c＞0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－， －＝＝＝－， ∴x1＝－3，x2＝. ∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为 {x. 知识点3　一元二次不等式的实际应用 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式； [分析]　(1)首先用变量x正确表示投入成本、出厂价、年销售量，进而得到y的表达式. 例3 [解]　(1)每辆车投入成本增加的比例为x，则每辆车投入成本为1×(1＋x)万元，出厂价为1.2×(1＋0.75x)万元，年销量为1 000×(1＋0.6x)辆. ∴y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)， 即y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [分析]　(2)注意x的限制范围对不等式解的影响. [解]　(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加，则 即 ∴0＜x＜. ∴为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜. 用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤 1．审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系． 2．建模：建立一元二次不等式模型． 3．求解：解一元二次不等式． 4．还原：把数学结论还原为实际问题． 思维提升 3.已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s(单位：m)与速度v(单位：km/h)的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以59 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20 m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m以外处停车，最大限制时速应是多少？(结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s) 跟踪训练 解：设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为s，卡车的速度为v，卡车的总质量为m，比例系数为k，则s＝kv2m.当v＝59时，s＝kv2m＝km·592＝20，∴km＝，① 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物5 m以外处停车的速度为v0，依题意，v0满足2km≤15－·1，即7.2km＋v0－54≤0.② 由①②得144＋3 481v0－187 974≤0.③ 又v0＞0，∴由题意及③得0＜v0≤26.∴最大限制时速应是26 km/h. 〈课堂达标·素养提升〉 1.与不等式≥0同解的不等式是(　　) A.(x－3)(2－x)≥0　　 B.0＜x－2≤1 C.≥0 D.(x－3)(2－x)＞0 B ≥0，即解得2＜x≤3， A项，(x－3)(2－x)≥0，解得2≤x≤3，不正确； B项，0＜x－2≤1，解得2＜x≤3，正确； C项，≥0，即解得2≤x＜3，不正确； D项，(x－3)(2－x)＞0，解得2＜x＜3，不正确. 2.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价p元之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为c元，其中c＝500＋30x元.若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A.{x｜20≤x≤30，x∈N} B.{x｜20≤x≤45，x∈N} C.{x｜15≤x≤30，x∈N} D.{x｜15≤x≤45，x∈N} B 设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝px－c＝(160－2x)·x－(500＋30x) ＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N. 根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，x∈N. 所以当20≤x≤45，x∈N时，每天获得的利润不少于1 300元. 3.若关于x的不等式＞0的解集为{x｜x＜－1，或x＞4}，则实数a＝　　　　. ＞0等价于(x－a)(x＋1)＞0，而解集为{x｜x＜－1，或x＞4}，从而a＝4. 4 4.已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，则不等式ax2＋bx－1＞0的 解集为　　　 　. ∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，由根与系数的关系可得 ∴a＝－2，b＝3， ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0， 即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.不等式≥2的解集为(　　) A.{x｜x≤－3，或x≥8} B.{x｜x＜－3，或x≥8} C.{x｜－3＜x≤8} D.{x｜x＜－3，或x＞8} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 原不等式可化为－2≥0，即≥0，即(x－8)(x＋3)≥0且x＋3≠0， 故原不等式的解集为{x｜x＜－3，或x≥8}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则a，b的值为(　　) A.a＝－1，b＝－2　　　 B.a＝－2，b＝－1 C.a＝b＝－ D.a＝1，b＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 因为不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}， 所以方程ax2＋bx＋1＝0的两个根分别为－2和1， 根据根与系数的关系，得－2＋1＝－，－2×1＝， 所以a＝－，b＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.若p：≥0，q：x2－7x＋10＜0，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B p：≥0，即 ∴2＜x≤5， q：x2－7x＋10＜0，即2＜x＜5， ∴p⇒q且q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则下列结论成立的是(　 　) A.a2＋b2＝5 B.a＋b＝－3 C.ab＝－2 D.ab＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 由题意得，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根， 由根与系数的关系，得 解得 所以ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.某商品在最近30天内的售价y1(单位：元/件)与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量y2(单位：件)与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {t｜10≤t≤15，t∈N} z＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t｜10≤t≤15，t∈N}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.解下列不等式： (1)＜0； 解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0， ∴－1＜x＜， 故原不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)≥0； 解：(2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－＜x≤1. 故原不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)＞1. 解：(3)原不等式可化为－1＞0， ∴＞0，即＞0， 则x＜－2. 故原不等式的解集为{x｜x＜－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知二次函数y＝ax2＋bx－a＋2. (1)若关于x的不等式ax2＋bx－a＋2＞0的解集是{x｜－1＜x＜3}.求实数a，b的值. 解：(1)因为关于x的不等式ax2＋bx－a＋2＞0的解集是{x｜－1＜x＜3} 所以－1和3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根， 所以解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2＋bx－a＋2＞0. 解：(2)当b＝2时，ax2＋bx－a＋2＞0即ax2＋2x－a＋2＞0 可化为(x＋1)(ax－a＋2)＞0， 因为a＞0，所以(x＋1)( x－)＞0， 所以方程(x＋1)( x－)＝0的两根为－1和， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当－1＜即a＞1时，不等式的解集为， 当－1＝即a＝1时，不等式的解集为{x｜x≠－1}， 当－1＞即0＜a＜1时，不等式的解集为， 综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为{x｜x≠－1}， 当a＞1时，不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜2}，则下列选项正确的是(　 　) A.b＜0且c＞0 B.a－b＋c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 对于A，a＜0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确； 令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意当x＝1时有y＝a－b＋c＞0，所以B正确； 对于C，当x＝－1时有y＝a＋b＋c＝0，所以C错误； 对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.不等式＞0的解集是(　　) A.{x｜－2＜x＜1} B.{x｜x＞2} C.{x｜－2＜x＜1，或x＞2} D.{x｜x＜－2，或x＞1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 法一：代入排除法：取x＝0，符合已知条件，排除B，D； 取x＝3，符合已知条件，排除A. 法二：＞0⇔(x－1)(x2－4)＞0⇔(x－1)(x－2)(x＋2)＞0. ⇔①或② 由①⇒x＞2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由②⇒－2＜x＜1. 故原不等式的解集为{x｜－2＜x＜1，或x＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 乙车 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2＞12， s乙＝0.05x＋0.005x2＞10. 分别求解，得x甲＜－40或x甲＞30， x乙＜－50或x乙＞40. 由于x＞0，从而得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.若集合{x∈N*｜x2＋mx＜0}恰有3个元素，则实数m的取值范围是　　　　 　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {m｜－4≤m＜－3} 当m＞0时，x2＋mx＜0⇒－m＜x＜0， ∵{x∈N*｜x2＋mx＜0}恰有三个元素，此时没有正根，故舍去. 当m＜0时，x2＋mx＜0⇒0＜x＜－m， ∵{x∈N*｜x2＋mx＜0}恰有三个元素， ∴3＜－m≤4⇒－4≤m＜－3. 当m＝0时，x2＋mx＜0⇒x不存在， 综上可得，实数m的取值范围为{m｜－4≤m＜－3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.解关于x的不等式：≤1. 解：①当a＝0时，不等式恒成立，解集为{x｜x≠1，x∈R}； ②当a≠0时，不等式化为≤0，即[(a－1)x＋1](x－1)≤0且x≠1， a＝1时，不等式为x－1≤0且x≠1，所以，x＜1， a＞1时，不等式化为( x＋)(x－1)≤0且x≠1，≤x＜1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a＜1时，不等式化为( x＋)(x－1)≥0且x≠1， a＜0时，x≤或x＞1， 0＜a＜1时，x＜1或x≥. 综上不等式解集为： 当a＜0时，； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当a＝0时，{x｜x≠1，x∈R}； 当0＜a＜1时，； 当a＝1时，{x｜x＜1}； 当a＞1时，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$