2.3.1 二次函数与一元二次不等式-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时　二次函数与一元二次不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习单元3　等式性质与不等式性质　基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式 [学习目标]　1.了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系.　2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.　3.能借助二次函数求解一元二次不等式. 知识点1　一元二次不等式的定义 内容索引 知识点2　二次函数的零点 课时作业 巩固提升 知识点3　一元二次不等式的解法 课堂达标·素养提升 知识点4　含参数的一元二次不等式的解法 3 知识点1　一元二次不等式的定义 定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0 未知数 2 下列选项中是一元二次不等式的有(　　) A.ax2＋2x＋1＞0　　　 B.x2－y＞0 C.－x2－3x＜0 D.＞0 由一元二次不等式定义可知，只有－x2－3x＜0是一元二次不等式，其他都不是. 例1 C 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数． 思维提升 1.a2b＋2ab2＋9＞0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？若可以，请写出对应一元二次不等式. 解：可以.把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式，其形式为：ba2＋2b2a＋9＞0；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式，其形式为：2ab2＋a2b＋9＞0. 跟踪训练 知识点2　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使______________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. ax2＋bx＋c＝0 函数y＝x2＋bx－1的零点个数是(　　) A.0　　　　　　　　 B.1 C.2 D.不确定 [分析]　二次函数零点个数取决于方程x2＋bx－1＝0的判别式. 对方程x2＋bx－1＝0，其Δ＝b2＋4＞0，∴函数有2个零点. 例2 C 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是相应方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以二次函数零点可通过解方程得到，而零点个数可通过判别式Δ的取值符号判定． 2．二次函数零点是函数图象与x轴交点的横坐标． 思维提升 2.已知函数y＝ax2＋x＋1有一个零点是1，则该函数的另一个零点是 　　　　. 由题设得a＋1＋1＝0，∴a＝－2，函数y＝－2x2＋x＋1. 设函数另一个零点为x0，则x0＋1＝，∴x0＝－. 跟踪训练 － 知识点3　一元二次不等式的解法 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设Δ＝ ，它的根按照 ， ， 可分为三种情况.相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 轴的位置也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集. b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x   Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象       ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根   Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________________ ____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ________________ ____ ____ {x｜x＜x1，或x＞x2} R {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 解下列不等式： (1)x2－2x－3＞0； [分析]　利用一元二次不等式与二次函数、方程的关系求解. 例3 [解]　(1)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1，0)和(3，0)，如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x｜x＜－1，或x＞3}. (2)4＋4x－3x2＞0； [分析]　利用一元二次不等式与二次函数、方程的关系求解. [解]　(2)不等式可化为3x2－4x－4＜0， 方程3x2－4x－4＝0的根为－，2. 函数y＝3x2－4x－4的示意图为： ∴不等式4＋4x－3x2＞0的解集为. (3)x(2x＋3)≤(x＋3)(x－1). [分析]　利用一元二次不等式与二次函数、方程的关系求解. [解]　(3)不等式可化为x2＋x＋3≤0. ∵Δ＝1－12＝－11＜0， ∴方程x2＋x＋3＝0无实数根， 函数y＝x2＋x＋3的示意图为： ∴不等式x(2x＋3)≤(x＋3)(x－1)的解集为⌀. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1．化标准，通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． 2．判别式，对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． 3．求实根，求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． 4．画草图，根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 5．写解集，结合图象写出不等式的解集． 思维提升 3.解下列不等式： (1)(x－3)(x＋2)＜0； 解：(1)(x－3)(x＋2)＜0⇔－2＜x＜3， ∴原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}. 跟踪训练 (2)－2x2＋x－6＜0； 解：(2)不等式化为2x2－x＋6＞0. ∵Δ＝1－48＝－47＜0， ∴方程2x2－x＋6＝0无实数根. 由二次函数y＝2x2－x＋6图象得不等式解集为R. (3)－x2＋6x－9≥0. 解：(3)不等式化为x2－6x＋9≤0， 方程x2－6x＋9＝0的实数根是3. 由二次函数y＝x2－6x＋9图象得不等式解集为{3}. 知识点4　含参数的一元二次不等式的解法 当a≥0时，解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0. [分析]　不等式中x2的系数含有参数a，首先要讨论a是否为0；当a≠0时还要讨论方程的两根的大小. 例4 [解]　①当a＝0时，不等式化为－x＋1＜0，得不等式解集为{x｜x＞1}； ②当a≠0时，方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的实数根为x1＝1，x2＝. 当a＞0，若＜1，即a＞1时，由二次函数y＝ax2－(a＋1)x＋1的图象得不等式解集为. 若＝1，即a＝1时，由函数图象得不等式解集为⌀. 若＞1，即0＜a＜1时，由函数图象得不等式解集为. 综上，当a＝0时，不等式解集为{x｜x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式解集为； 当a＝1时，不等式解集为⌀； 当a＞1时，不等式解集为. [变条件]　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集. 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0. 又a＜0，得( x－)(x－1)＞0， 当a＜0，＜0＜1. 由函数图象，得不等式解集为{x. 解含参一元二次不等式的注意点 1．不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. 2．不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0). 3．不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 思维提升 4.(1)设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0. 解：(1)①当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x｜x＞2}. 跟踪训练 ②当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－. a.当a＜－时，解不等式得－＜x＜2， 即原不等式的解集为； b.当a＝－时，不等式无解， 即原不等式的解集为⌀； c.当－＜a＜0时， 解不等式得2＜x＜－， 即原不等式的解集为； d.当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2， 即原不等式的解集为. 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x＞2}； 当a＜－时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为⌀； 当－＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＞0时，原不等式的解集为. (2)解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0. 解：(2)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R； ②当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1； ③当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0， 所以x＜x1或x＞x2. 综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x｜x∈R，且x≠1}； 当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为{x｜x＜(－a－)，或x＞(－a＋)}； 当a＝4时，原不等式的解集为{x｜x∈R，且x≠－1}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y＝－x2＋x＋2的零点是(　　) A.－1，2　　　　　　 B.x＝－1或x＝2 C.1，－2 D.x＝1或x＝－2 方程－x2＋x＋2＝0的根为x＝－1或x＝2，所以函数y＝－x2＋x＋2的零点为－1，2. A 2.一元二次不等式2x2－x－1＜0的解集是(　　) A.{x B.{x C.{x｜x＜－1，或x＞2} D.{x｜1＜x＜2} B 不等式2x2－x－1＜0可化为(2x＋1)(x－1)＜0，解得－＜x＜1， ∴不等式的解集是{x. 3.下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2＞2；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有 　　　　. ①② 4.关于x的不等式(ax－1)(x－1)＜0(a＞1)的解集为　　 　　. ∵a＞1，∴0＜＜1， ∴原不等式的解集为. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集为R的是(　　) A.①　　　　　　　　　 B.② C.③ D.④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 ①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×＞0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10＜0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知集合A＝{x｜x≤2}，集合B＝{x｜x2－2x－3≤0，x∈Z}，则A∩B＝(　　) A.{－1，2} B.{－1，0，1，2，3} C.{－1，0，1，2} D.{－1，3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 ∵B＝{x｜x2－2x－3≤0，x∈Z}＝{x｜－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}.又A＝{x｜x≤2}， ∴A∩B＝{－1，0，1，2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)( x－)＜0的解集为(　　) A. B.{x｜x＞a} C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 ∵a＜－1，∴a(x－a)( x－)＜0⇔(x－a)·( x－)＞0.又a＜－1，∴＞a，∴x＞或x＜a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是(　 　) A.b＋c＝－1 B.方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1 C.不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1} D.不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x｜－2≤x≤1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1， 所以－b＝－2＋1＝－1， 即b＝1，c＝(－2)×1＝－2， 所以b＋c＝－1. 不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2，或x＞1}， 不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x｜－2≤x≤1}， 所以选项A，B，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是　　 　，二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点是　　　　，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 　 　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －1，2 －1，2 {x｜x＜－1，或x＞2} 13 14 由题图可得，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是－1，2， 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点是－1，2， 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－1，或x＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.使有意义的x的取值范围是　　　　 　　. 由－x2＋x＋12＞0，得x2－x－12＜0， 解得－3＜x＜4. 所以x的取值范围为{x｜－3＜x＜4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {x｜－3＜x＜4} 13 14 7.解下列一元二次不等式： (1)x(x－1)≤0； 解：(1)不等式x(x－1)≤0对应方程的实数根为0和1， 所以该不等式的解集为{x｜0≤x≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)－4x2＋18x－≥0； 解：(2)原不等式可化为( 2x－)2≤0， 所以原不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)3x2－7x＋2＞0； 解：(3)不等式3x2－7x＋2＞0可化为(3x－1)(x－2)＞0， 解得x＜或x＞2， 所以不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (4)x2＋x＋1＞0. 解：(4)对于方程x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0， 且函数y＝x2＋x＋1的图象开口向上， 所以该不等式的解集为R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0. (1)当a＝2时，解上述不等式； 解：(1)当a＝2时，x2－(a＋1)x＋a＜0⇔x2－3x＋2＜0⇔(x－1)(x－2)＜0，解得1＜x＜2. 则不等式的解集为{x｜1＜x＜2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)当a∈R时，解上述关于x的不等式. 解：(2)注意到x2－(a＋1)x＋a＜0 ⇔(x－a)(x－1)＜0， ①当a＞1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜a}； ②当a＝1时，不等式的解集为⌀； ③当a＜1时，不等式的解集为{x｜a＜x＜1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.在R上定义运算☉：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　) A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜－2＜x＜1} C.{x｜x＞1，或x＜－2} D.{x｜－1＜x＜2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由a☉b＝ab＋2a＋b，得x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0， 所以－2＜x＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.关于x的不等式ax－b＜0的解集是{x｜x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　) A.{x｜x＜－1，或x＞3} B.{x｜1＜x＜3} C.{x｜－1＜x＜3} D.{x｜x＜1，或x＞3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 ∵关于x的不等式ax－b＜0的解集是{x｜x＞1}， ∴即b＝a且a＜0， 则不等式(ax＋b)(x－3)＞0即为a(x＋1)(x－3)＞0， ∵a＜0，则不等式等价为(x＋1)(x－3)＜0， ∴不等式的解集为{x｜－1＜x＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为　　　 　. 由题知 由①得x≤－1或x≥3； 由②得－2＜x＜4. ∴－2＜x≤－1或3≤x＜4. ∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1，或3≤x＜4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {x｜－2＜x≤－1，或3≤x＜4} 13 14 12.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜x2＋3x－4≤0}，则集合(∁RS)∪T＝　　　　　　. 因为T＝{x｜x2＋3x－4≤0}＝{x｜－4≤x≤1}，S＝{x｜x＞－2}， 则∁RS＝{x｜x≤－2}，(∁RS)∪T＝{x｜x≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {x｜x≤1} 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(1，0)与(3，0)两点，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是否确定？若确定，求出其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集确定. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：不确定.由二次函数的图象及一元二次不等式的关系可知： 当a＞0时，ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜1，或x＞3}； 当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜1＜x＜3}. 故只需要给a一个具体值或给定a的符号， 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就是确定的. 如给定a＞0，则其解集为{x｜x＜1，或x＞3}. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.求出关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0(k∈R)的解集A. 解：当k＝0时，不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0可化为－4(x－4)＞0， 解得x＜4， 所以不等式的解集A＝{x｜x＜4}； 当k≠0时，方程(kx－k2－4)(x－4)＝0的两根分别为4和k＋， 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当k＞0时，k＋≥2＝4，当且仅当k＝2时等号成立， 不等式的解集A＝； 当k＜0时，k＋＜0＜4，不等式的解集A＝. 综上所述，当k＝0时，不等式的解集A＝{x｜x＜4}； 当k＞0时，不等式的解集A＝{x｜x＜4，或x＞k＋}； 当k＜0时，不等式的解集A＝. 13 14 $$