2.2.2 基本不等式的应用-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第二课时　基本不等式的应用 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习单元3　等式性质与不等式性质　基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式 [学习目标]　1.能应用基本不等式解决简单的实际问题.　2.会利用基本不等式证明不等式. 知识点1　基本不等式在实际生活中的应用 内容索引 知识点2　基本不等式在几何中的应用 课时作业 巩固提升 知识点3　利用基本不等式证明不等式 课堂达标·素养提升 3 知识点1　基本不等式在实际生活中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1) ；(2) ； (3) ；(4) ；(5) . 审题 建模 求解 验证 作答 某动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 例1 (1)现有长为36 m的钢筋网，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ [分析]　(1)审清题意，建立适当模型求解.设变量虎笼长x m，宽y m.准确写出变量间的等量关系是解题关键：4x＋6y＝36，x＞0，y＞0；每间虎笼的面积S＝xy. [解]　(1)设每间虎笼设计为长x m，宽y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼的面积为S m2，则S＝xy. 法一：∵x＞0，y＞0， ∴2x＋3y≥2＝2， ∴2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立. 由解得 故每间虎笼设计为长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x＞0，∴9－y＞0， ∴0＜y＜6，∴0＜6－y＜6，S＝xy＝( 9－y)y＝(6－y)y， ∴S≤·［］2＝， 当且仅当y＝3时，等号成立. 此时x＝9－×3＝4.5， 故每间虎笼设计为长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？ [分析]　(2)同样设变量虎笼长x m，宽y m，钢筋网总长为l.准确写出变量间的等量关系是解题关键：xy＝24，x＞0，y＞0；钢筋网总长l＝4x＋6y. [解]　(2)由条件知S＝xy＝24 m2，设钢筋网总长为l m，则l＝4x＋6y. 法一：∵x＞0，y＞0，∴2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立. 由解得 故每间虎笼设计为长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小. 法二：由xy＝24，得x＝. ∵x＞0，y＞0， ∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6( ＋y)≥6×2＝48， 当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼设计为长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小. 利用基本不等式解决实际问题的步骤 思维提升 1.根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x千米的速度匀速行驶130千米.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油( 2＋)升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； 解：(1)由题意，y＝2( 2＋)·＋14·＝＋(0＜x≤100). 跟踪训练 (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解：(2)因为y＝＋≥2＝26，当且仅当x＝18时，等号成立，又0＜18＜100， 所以当x＝18 千米/小时时，这次行车的总费用最低，为26 元. 知识点2　基本不等式在几何中的应用 利用基本不等式解决几何问题，要充分利用几何性质，探究几何问题中相关各量之间的关系. 如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为36，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 例2 [解]　(1)矩形ABCD(AB＞BC)的周长为36， ∵AB＝x，∴AD＝－x＝18－x， ∵AB＞BC＝AD，得x＞18－x， ∴9＜x＜18， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB'， ∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(18－x)2＋DP2＝(x－DP)2， ∴DP＝18－(9＜x＜18). (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值. [解]　(2)在Rt△ADP中， S△ADP＝AD·DP＝(18－x)( 18－)＝243－( 9x＋)(9＜x＜18). ∵9＜x＜18，∴9x＋≥2＝162，当且仅当9x＝，即x＝9时，等号成立. ∴S△ADP＝243－( 9x＋)≤243－162， ∴当x＝9时，△ADP的面积取最大值243－162. 充分利用几何性质，探究几何问题中相关各量之间的关系，建立有关模型． 思维提升 2.已知直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为　　　　. 跟踪训练 3－2 设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，面积为S，周长L＝2，由于a＋b＋＝L≥2＋(当且仅当a＝b时取等号)，∴≤. ∴S＝ab≤( )2＝·［］2＝L2＝3－2. 知识点3　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明不等式的形式，若符合条件，可以直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合条件，可以对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件，要分析等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.最后，要注意等号能否取到. 已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. [分析]　先用基本不等式证＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，再将同向不等式相加即可. 例3 [证明]　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， 故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 若a＞0，b＞0，a＋3b＝1，证明：＋≥4. [分析]　因为条件里含有“1”，所以我们可以利用“1”进行代换. [证明]　因为a＞0，b＞0，a＋3b＝1，所以＋＝( ＋)·(a＋3b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以＋≥4成立. 例4 利用基本不等式证明不等式的注意事项 1．多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立． 2．累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用． 3．巧用“1”的代换证明不等式． 4．对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用． 思维提升 3.(1)已知a，b，c均为正实数，证明：＋＋≥6； 跟踪训练 证明：(1)∵a，b，c均为正实数， ∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)， 将上述三式相加得( ＋)＋( ＋)＋( ＋)≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， 即＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立). (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，证明：3x＋4y≥5； 证明：(2)∵x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，∴＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)·( ＋)＝＋＋≥＋2＝5， 当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号. (3)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，证明：( －1)( －1)( －1)≥8. 证明：(3)∵a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得( －1)( －1)( －1)≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 故( －1)( －1)( －1)≥8. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　) A.(1，4)　　　　　　　 B.(6，8) C.(7，12) D.( 3，) AC 设矩形的长和宽分别为x，y， 则x＋y＝l，S＝xy. 由xy≤( )2知，S≤，故A，C成立. 2.(多选)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是(　 　) A.a2＋b2≥2ab B.a＋≥2 C.b2＋1≥2b D.＋≥2 ACD 当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab成立，故A正确；当a＞0时，a＋≥2，等号成立的条件是a＝1，当a＜0时，a＋≤－2，等号成立的条件是a＝－1，故B不正确；当b∈R时，b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，所以b2＋1≥2b，故C正确；＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＝b2时等号成立，故D正确. 3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转　　　　年时，年平均利润最大，最大值是　　　　万元. 5 8 每台机器运转x年的年平均利润为 ＝18－( x＋)，且x＞0， 故≤18－2＝8， 当且仅当x＝5时，等号成立， 所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元. 4.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中 BC＝2，A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为　　　　. 设图中两个正方形的边长分别为x，y(x＞0，y＞0)， 则2x＋2y＝BC＝2，即x＋y＝1， 则这两个正方形的面积之和S＝x2＋y2， 因为x＋y＝1≥2， 所以xy≤，当且仅当x＝y＝时取等号， 所以S＝x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy≥1－2×＝. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于 16 m)，则菜地的最大面积为(　　) A.64 m2　　　　　　　 B.48 m2 C.32 m2 D.16 m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 法一：设矩形菜地靠墙边的长为x m，另一边的长为y m，面积为S m2， 所以由题意得，x＋2y＝16， S＝xy＝x·2y≤×( )2＝×( )2＝32， 当且仅当x＝2y＝8时，等号成立， 所以当矩形菜地长为8 m，宽为4 m时，矩形菜地的面积最大为32 m2. 法二：设篱笆的宽为x，长为16－2x， 故S＝x·(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32， 当x＝4时，菜地的面积的最大值为32， 即矩形菜地的宽为4 m，长为8 m时，菜地的面积最大为32 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为(　　) A.1 680元 B.1 760元 C.1 800元 D.1 820元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 设水池池底的一边长为x m，则另一边长为 m， 则总造价y＝4×120＋80×( 2x＋2·)×2 ＝480＋320( x＋)≥480＋320×2＝1 760(元)， 当且仅当x＝，即x＝2时，y取最小值为1 760. 所以水池的最低造价为1 760元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案.已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为(　　) A.20 B.10 C.40 D.10＋20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 设直角三角形的两直角边分别为a，b，则 ab＝50，即ab＝100， 周长C＝a＋b＋ ≥2＋＝20＋10， 当且仅当a＝b＝10时取“＝”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A.x＝ B.x≤ C.x＞ D.x≥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为(1＋a)(1＋b)≤( )2，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是　　　　dm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 56 13 14 设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)( ＋2)－72 ＝8＋2( x＋)≥8＋2×2＝56(dm2)， 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那 么这个直角三角形面积的最大值等于　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设直角三角形的斜边长为c，直角边长分别为a，b，由题意知c＝5，则a2＋b2＝25，则三角形的面积S＝ab，∵25＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤，则三角形的面积S＝ab≤×＝，即这个直角三角形面积的最大值等于. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2. 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c为不全相等的正实数， 故等号不成立， 所以a＋b＋c＞＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c＜＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 所以＋≥＝2c，＋≥＝2a，＋≥＝2b. 以上三个不等式相加，得：2( ＋＋)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c， 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立，所以a＋b＋c＜＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A.－ B. C. D.－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 因为a，b为正实数，且a＋b＝1， 所以＋＝( ＋)×(a＋b)＝＋( ＋)≥＋2＝， 当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立， 因此有－－≤－， 即－－的上确界为－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　) A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此，A，C错误，B，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加入某种化学药品后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过　　　　h后池水中药品的浓度达到最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 14 C＝＝≤＝5， 当且仅当t＝2时取等号， 因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是　　　　(填序号). ①≤；②＋≤1；③≥2；④a2＋b2≥8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ④ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，故①③不成立；＋＝＝≥1，故②不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，故④成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台(x为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元. (1)求全年所付运费和保管费之和y关于x的关系式. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k，则y＝×300＋k(3 000×x)＝＋3 000kx.又当x＝20时，y＝7 800，代入可得k＝0.04.故所求y关于x的关系式为y＝＋120x(x∈N*). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(2)由(1)知，y＝＋120x(x∈N*).根据基本不等式可得，y＝＋120x≥2＝2×3 600＝7 200，当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立.故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.已知命题：如果a，b＞0，且a＋b＝1，那么＋≥4. (1)证明这个命题是真命题； 证明：(1)因为a＞0，b＞0，所以：a＋b＝1≥2， ∴≤，＋≥2＝≥＝4(当且仅当a＝b时，等号成立). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)根据已知条件还能得到什么新的不等式，试写出其中两个，并加以证明； 证明：(2)∵a＋b＝1，∴≤＝，ab≤，还有a2＋b2≥＝，即a2＋b2≥. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)如果a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，推广上述已知命题能得到什么不等式，并加以证明. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明：(3)命题：已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，那么：＋＋≥9. 证明如下：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋ ＝＋＋ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋( ＋)＋( ＋)＋( ＋) ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 13 14 $$