2.2.1 基本不等式-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第一课时　基本不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习单元3　等式性质与不等式性质　基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式 [学习目标]　1.能推理得到基本不等式，并理解基本不等式的几何意义.　2.掌握基本不等式和应用基本不等式求最值的两类模型.　3.会利用基本不等式判断不等关系及比较大小. 知识点1　基本不等式的理解 内容索引 知识点2　利用基本不等式求简单式子的最值 课时作业 巩固提升 知识点3　利用基本不等式求最值的两类模型(最值定理) 课堂达标·素养提升 知识点4　利用基本不等式判断不等关系及比较大小 3 知识点1　基本不等式的理解 1.基本不等式：如果a＞0，b＞0，则，当且仅当_______时，等号成立. 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. ≤ a＝b 不小于 2.几何解释：圆中半径不小于 . 半弦 (多选)下列说法正确的是(　　) A.对∀a，b∈R，≥成立 B.若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2 C.对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D.若x＞2，则x＋≥2中可以取等号 [分析]　注意基本不等式的条件. 例1 BC A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立； D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号. 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 1．不等式成立的条件是a，b都是正数． 2．“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 思维提升 1.(多选)下列推导过程正确的有(　　) A.若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B.若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C.若x，y∈R，xy＜0，则＋＝－［( －)＋( －)］≤－2＝－2 D.若a＜0，b＜0，则＜ab 跟踪训练 AC ∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； 由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； 对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误. 知识点2　利用基本不等式求简单式子的最值 (1)已知x＞0，求x＋的最小值； [解]　(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝4.当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 例2 (2)当0＜x＜10时，求的最大值. [解]　(2)因为0＜x＜10，所以≤＝5.当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，因此所求的最大值为5. 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，三点缺一不可． 思维提升 2.(1)已知x＞0，求x＋－1的最小值； 解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2. 则x＋－1≥1. 当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时等号成立.因此所求的最小值为1. 跟踪训练 (2)当x＜0时，求x＋的最大值. 解：(2)x＋＝－( －x＋)， 因为x＜0，则－x＞0， 故有－x＋≥2＝4， 所以－( －x＋)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立. 故所求的最大值为－4. 知识点3　利用基本不等式求最值的两类模型(最值定理) 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值______；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅 当x＝y时，积xy有最大值，简记为：积定和最小，和定积最大. 2 (1)已知a＞0，b＞0且ab＝36，求a＋b的最小值； [分析]　(1)利用基本不等式变形：a＞0，b＞0，a＋b≥2求解. [解]　(1)因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＝12. 当且仅当a＝b＝6时等号成立，因此所求的最小值为12. 例3 (2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝4，求ab的最大值. [分析]　(2)利用基本不等式变形：a＞0，b＞0，ab≤( )2求解. [解]　(2)因为a＞0，b＞0，所以ab≤( )2＝4. 当且仅当a＝b＝2时等号成立，因此所求的最大值为4. 1.求两正数的和或积的最值可应用基本不等式，应用基本不等式的条件是：一正、二定、三相等，三个条件缺一不可．要注意寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)，考虑等号成立的条件是否具备． 2．积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值． 思维提升 3.(1)已知a＞0，b＞0且ab＝6，则3a＋2b的最小值为　　　　　； (1)因为a＞0，b＞0，所以3a＋2b≥2＝2＝12. 当且仅当3a＝2b，即a＝2，b＝3时等号成立. 因此所求的最小值为12. 跟踪训练 12 (2)已知a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则ab的最大值为　　　　　. (2)因为a＞0，b＞0，所以ab＝≤·( )2＝2. 当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时等号成立. 因此所求的最大值为2. 2 知识点4　利用基本不等式判断不等关系及比较大小 已知a＞0，b＞0，则a＋b 2，. ≥ ≤ (1)(多选)下列条件中能使＋≥2成立的是(　　 ) A.ab＞0　　　　　 B.ab＜0 C.a＞0，b＞0 D.a＜0，b＜0 (1)要使＋≥2，只要＞0，且＞0，即a，b不为0且同号即可，故选项A，C，D都符合. 例4 ACD (2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是 　 　　　　　　　　　. (2)∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立. ≤ 运用基本不等式判断不等关系及比较大小，要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． 思维提升 4.给出下列命题： ①若x∈R，则x＋≥2； ②若a＜0，b＜0，则ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的条件是x＞0且y＞0. 其中正确命题的序号是　　　　. 跟踪训练 ② 只有当x＞0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a＜0，b＜0时，ab＞0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当＞0，＞0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误. 5.若a≥b＞0，试比较a，，，，，b的大小. 解：a≥b＞0，∴ ≤ ＝a， ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≥( )2. 又a＞0，b＞0，则 ≥ ＝. 由a＞0，b＞0，得≥， ∵≥ ， ∴≥. ∵－b＝≥0，∴≥b， ∴a≥ ≥≥≥≥b. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设x＞0，y＞0，且xy＝9，则x＋y的最小值为(　　) A.18　　　　　　　　 B.9 C.6 D.3 ∵x＞0，y＞0，∴x＋y≥2＝6， 当且仅当x＝y＝3时取等号. C 2.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A.80 B.77 C.81 D.82 ∵x＞0，y＞0，∴xy≤＝81， 当且仅当x＝y＝9时取等号. C 3.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是　　　　. ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. ③ 4.已知x＜0，则x＋－2的最大值为　　　　. ∵x＜0，∴－x＞0，∴x＋－2＝－［(－x)＋］－2≤－2－2＝－4. 当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立. ∴x＋－2(x＜0)有最大值－4. －4 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　) A.a＝4　　　　　　　 B.a＝ C.a＝－ D.a＝± 此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 2.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A.400 B.100 C.40 D.20 ∵≤(x＞0，y＞0)， ∴xy≤( )2＝( )2＝400. 当且仅当x＝y＝20时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 3.已知a＞0，b＞0，则，， ，中最小的是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 法一：特殊值法. 令a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.故最小. 法二：＝，由≤≤≤，可知最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立.所以xy有最大值，且最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为　　　　，此时x＝　　　　. 因为0＜x＜1，所以1－x＞0， 所以x(1－x)≤［］2＝( )2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立. 故当x＝时，x(1－x)取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知x＞0，则y＝2－( 3x＋)的最大值是　　　 　. 由基本不等式得t＝3x＋≥4， 当且仅当x＝时，取等号， ∴y＝2－( 3x＋)≤2－4， 故y＝2－( 3x＋)(x＞0)的最大值是2－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2－4 13 14 7.(1)若x＞2，当x取什么值时，x＋取得最小值？最小值是多少？ 解：(1)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，x＝3时取等号.故当x＝3时，x＋取得最小值，最小值是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求3＋x＋(x＜0)的最大值. 解：(2)∵x＜0，∴－x＞0，－＞0. ∵(－x)＋( －)≥2＝4， ∴x＋≤－4，∴3＋x＋≤3－4＝－1，当且仅当x＝，即x＝－2时取等号， ∴3＋x＋(x＜0)的最大值为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值. 解：∵y＝4x＋(x＞0，a＞0)， ∴y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝即x＝时，等号成立. 又∵y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值， ∴＝3，∴a＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.≥(a＞0，b＞0) B.a2＋b2≥2(a＞0，b＞0) C.≤(a＞0，b＞0) D.≤(a＞0，b＞0) 答案：D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝， 又OC＝OB－BC＝－b＝， 则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝， 再根据题图知FO≤FC， 即≤，当且仅当a＝b时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　 　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 由a＞b＞0，得＜，即＞， 所以＜1，即＜， 故选项A，B，D均成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知y＝x＋(x＞1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝　　　　. ∵x＞1，∴x－1＞0，∴y＝x＋ ＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x＝2时取等号， ∴a＝2，b＝3，∴a＋b＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 13 14 12.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为　　　　. (1＋x)(1＋2y)≤［］2＝( )2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.(1)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，试比较x，y的大小关系. 解：(1)x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b＞2(a≠b)，∴x2＜y2， ∵x，y＞0，∴x＜y. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知m＝a＋(a＞2)，n＝2－b2(b≠0)，试比较m，n的大小关系. 解：(2)由a＞2，得a－2＞0. 又m＝a＋＝(a－2)＋＋2， ∴m≥2＋2＝4. 当且仅当a－2＝，即a＝3时取等号， 由于b≠0，所以n＝2－b2＜2＜4. 因此m＞n. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.若对任意x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围. 解：∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴＝≤＝，即的最大值为. 又≤a恒成立，所以a≥. 故a的取值范围是{a. 13 14 3．基本不等式的推广：当a，b∈R时，ab≤()2. $$