2.1.2 等式性质与不等式性质-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

2.1　等式性质与不等式性质 第二课时　等式性质与不等式性质 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习单元3　等式性质与不等式性质　基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式 [学习目标]　1.梳理等式的性质，类比猜想得到不等式的性质.　2.能利用不等式性质证明简单的不等式.　3.能利用不等式性质求代数式的取值范围. 知识点1　不等式的性质 内容索引 知识点2　利用不等式的性质证明不等式 课时作业 巩固提升 知识点3　利用不等式的性质求代数式的取值范围 课堂达标·素养提升 3 知识点1　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔_______ 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒______ 不可逆 3 可加性 a＞b⇔_____________ 可逆 4 可乘性 ⇒________ c的符号 ⇒_________ b＜a a＞c a＋c＞b＋c ac＞bc ac＜bc 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒___________ 同向 6 同向同 正可乘性 ⇒________ 同向 7 乘方 法则 a＞b＞0⇒ (n∈N，n≥2) 同正 a＋c＞b＋d ac＞bd an＞bn 性质 别名 性质内容 注意 8 倒数法则 当ab＞0时，a＞b⇔＜ 可逆 9 真分数 法则 若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)   10 假分数 法则 若a＞b＞0，m＞0，则＞；＜(b－m＞0)   注：8，9，10是补充的常用结论. (1)(多选)若a＞b＞0，c＜0，则下列不等式中一定成立的是(　　 ) A.ac＞bc　　　　　　　 B.a＋c＞b＋c C.a3＞b3 D.a2c＜b2c [分析]　利用不等式的性质判断命题的真假，不等式成立时要逻辑推证，不等式不成立可以取特值排除. 例1 BCD (1)A中，取a＝2，b＝1，c＝－1，所以ac＝－2，bc＝－1，不成立.B中，因为a＞b，所以a＋c＞b＋c.C中，因为a＞b＞0，所以a3＞b3.D中，因为a＞b＞0，所以a2＞b2，又因为c＜0，所以a2c＜b2c. (2)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A.若a＞b＞0，则＜ B.若＞，则a＞b C.若a3＞b3且ab＜0，则＞ D.若a2＞b2且ab＞0，则＜ [分析]　利用不等式的性质判断命题的真假，不等式成立时要逻辑推证，不等式不成立可以取特值排除. C (2)A中，若a＞b＞0，则＞，故A错误；B中，若＞，c＜0时，则a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3且ab＜0，则＞，故C正确；D中，若a2＞b2且ab＞0，当时，则＞，故D错误. 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 1．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． 2．也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 思维提升 1.已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列不等式成立的是(　　) A.ac＞bc B.c2＜d2 C.a＋c＞b＋d D.＞ 跟踪训练 D A中，取a＝2，b＝1，c＝－1，所以ac＝－2，bc＝－1，不成立.B中，取c＝－2，d＝－1，所以c2＝4，d2＝1，不成立.C中，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，所以a＋c＝0＝b＋d，不成立.D中，因为a＞b＞0，所以＜.又因为c＜0，所以＞. 2.已知实数0＜a＜1，则下列不等式正确的是(　　) A.＞a＞a2 B.a＞a2＞ C.a2＞＞a D.＞a2＞a 因为0＜a＜1，所以取a＝，逐一验证，可知A正确. A 知识点2　利用不等式的性质证明不等式 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. [分析]　利用不等式的性质，找到(a－c)2与(b－d)2的大小关系；也可以用作差法证明不等式. 例2 [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以，得＜. 又e＜0，∴＞. [变条件]　本例条件不变的情况下，求证：＞. 证明：法一：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜. ∵e＜0， ∴＞，不等式得证. 法二：－＝ ＝. ∵a＞b＞0，c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∴a－c＞0，b－d＞0，b－a＜0，c－d＜0. ∴＜0， 又∵e＜0，∴＞0， ∴＞. 利用不等式的性质证明不等式注意事项 1．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 2．用作差法证明不等式与用作差法比较两个数大小的原理一样．变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 思维提升 3.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 证明：法一(不等式性质)：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd， 即b(c＋d)≥d(a＋b). 又bd＞0，两边同除以bd，得≤. 法二(作差法)：∵－＝＝≤0，∴≤. 跟踪训练 知识点3　利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求代数式的取值范围，一般先用已知变量或代数式来表示 ，再用不等式性质求解取值范围. 所求代数式 (1)已知1＜a＜2＜b＜3，求a－2b，各自的取值范围； [分析]　(1)利用不等式性质(可乘性、加法、倒数). [解]　(1)∵1＜a＜2＜b＜3，∴－6＜－2b＜－4，＜＜， ∴－5＜a－2b＜－2，＜＜1. 例3 (2)已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求2a－b的取值范围. [分析]　(2)用待定系数法找到三者之间的关系. [解]　(2)设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b， ∴ 解得 ∴2a－b＝(a－b)＋(a＋b). ∵1≤a－b≤2， ∴≤(a－b)≤3. ∵2≤a＋b≤4， ∴1≤(a＋b)≤2， ∴≤2a－b≤5. 利用不等式的性质求取值范围的策略 在给定已知代数式的取值范围的条件下，求未知代数式的取值范围，通常需要先用待定系数法将所求代数式表示成已知代数式的组合，再利用不等式的性质求解． 思维提升 4.已知－4＜a－b≤－1且－1＜2a－b≤5，求3a－b的取值范围. 解：设3a－b＝m(a－b)＋n(2a－b)＝(m＋2n)a－(m＋n)b， ∴ 解得 ∴3a－b＝－(a－b)＋2(2a－b). 跟踪训练 ∵－4＜a－b≤－1，∴1≤－(a－b)＜4. ∵－1＜2a－b≤5，∴－2＜2(2a－b)≤10. ∴－1＜3a－b＜14. 〈课堂达标·素养提升〉 1.与a＞b等价的不等式是(　　) A.｜a｜＞｜b｜　　　　　　 B.a2＞b2 C.＞1 D.a3＞b3 D 可利用赋值法.令a＝1，b＝－2， 满足a＞b，但｜a｜＜｜b｜，a2＜b2，＝－＜1， 故A，B，C都不正确. 2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A.a＞b⇒ac2＞bc2 B.＞⇒a＞b C.⇒＞ D.⇒＞ C 当c＝0时，A不成立； 当c＜0时，B不成立； ab＜0，a＞b⇒＜，即＞，C成立； 同理可证D不成立. 3.若8＜x＜10，2＜y＜4，则的取值范围为　　　 　. ∵2＜y＜4，∴＜＜. 又∵8＜x＜10，∴2＜＜5. 2＜＜5 4.用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c　　　　b－d； (1)∵a＞b，c＜d， ∴－c＞－d，∴a－c＞b－d. ＞ (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac　　　　bd； (2)∵a＞b＞0，c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， ∴－ac＞－bd＞0，∴ac＜bd. ＜ (3)如果a＞b＞0，那么　　　； (3)∵a＞b＞0，∴0＜＜，∴＜. ＜ (4)如果a＞b＞c＞0，那么　　　. (4)∵a＞b＞c＞0，∴0＜＜， ∴＜. ＜ 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　) A.－2＜α－β＜0　　　　 B.－2＜α－β＜－1 C.－1＜α－β＜0 D.－1＜α－β＜1 ∵－1＜α＜β＜1，∴－1＜α＜1，－1＜－β＜1，α－β＜0，∴－2＜α－β＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 2.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A.a＞b＞－b＞－a B.a＞－b＞－a＞b C.a＞－b＞b＞－a D.a＞b＞－a＞－b 由b＜0，a＋b＞0得a＞0，0＜－b＜a，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 3.(多选)a，b，c，d均为实数，且a＞b＞0，c＞d＞0，则下列结论正确的是(　 　) A.ac＞bd B.a－c＞b－d C.a＋c＞b＋d D.＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 14 因为a，b，c，d均为实数，且a＞b＞0，c＞d＞0，由不等式的性质易得ac＞bd，a＋c＞b＋d，故A，C正确；取a＝2，b＝1，c＝3，d＝2，可得a－c＝b－d，故B不正确；又因为c＞d＞0，则＞＞0，又a＞b＞0，则＞，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则(　　) A.1≤x≤4 B.－2≤y≤1 C.2≤4x＋y≤15 D.≤x－y≤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 14 因为－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9， 相加得3≤3x≤12， 所以1≤x≤4，A正确； 因为 相加得－2≤－3y≤11， 解得－≤y≤，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)， 所以2≤4x＋y≤15，C正确； 因为x－y＝－(x＋y)＋(2x－y)， 所以≤x－y≤，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知2b＜a＜－b，则的取值范围为　　　 　. ∵2b＜a＜－b，∴2b＜－b，∴b＜0. ∴＜＜，即－1＜＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －1＜＜2 13 14 6.若a＞b＞0，c＜d＜0，则①＞，②＜，③＞，④＜中一定成立的有　　　　(填序号). 不妨令a＝3，b＝1，c＝－3，d＝－1，则＝－1，＝－1，∴①②不正确；＝－3，＝－，∴③不正确，④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ④ 13 14 7.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因. 甲：因为－6＜a＜8，－4＜b＜2， 所以－2＜a－b＜6. 乙：因为2＜b＜3，所以＜＜， 又因为－6＜a＜8，所以－2＜＜4. 丙：因为2＜a－b＜4，所以－4＜b－a＜－2. 又因为－2＜a＋b＜2，所以0＜a＜3，－3＜b＜0， 所以－3＜a＋b＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的； 乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6＜a＜8，不明确a值的正负.故不能将＜＜与－6＜a＜8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2＜a－b＜4与－2＜a＋b＜2两边相加得0＜a＜3，又将－4＜b－a＜－2与－2＜a＋b＜2两边相加得出－3＜b＜0，又将该式与0＜a＜3两边相加得出－3＜a＋b＜3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； 证明：(1)∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc，∴－ac＜－bc. ∵e＞f，即f＜e，∴f－ac＜e－bc. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)a＜b＜0，求证：＜. 证明：(2)∵a＜b＜0，∴ab＞0. ∴＜＜0，即＜＜0. ∴－＞－＞0. 又－a＞－b＞0， ∴( －)(－a)＞( －)(－b)， 即＞，∴＜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.下列命题中一定正确的是(　　) A.若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0 B.若a＞b，b≠0，则＞1 C.若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞d D.若a＞b，且ac＞bd，则c＞d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 对于A，∵＞，∴＞0， 又a＞b，∴b－a＜0， ∴ab＜0，∴a＞0，b＜0，故A正确； 对于B，当a＞0，b＜0时，有＜1，故B错误； 对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1＞2＋3，但1＜3，故C错误； 对于D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A.若a＞0，则a2＋1＞(a－1)(a＋2) B.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 C.若｜a｜≤1，｜b｜≤1，则｜a－b｜≤｜1－ab｜ D.若a＞b＞0，则＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 对于选项A，a2＋1－(a－1)(a＋2)＝a2＋1－a2－a＋2＝3－a，当a＞3时，3－a＜0，a2＋1＜(a－1)(a＋2)，当a＝3时，3－a＝0，a2＋1＝(a－1)(a＋2)，当a＜3时，3－a＞0，a2＋1＞(a－1)(a＋2)，故A错误；易知B错误；对于选项C，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即｜a－b｜≤｜1－ab｜，所以C正确；对于选项D，a＞b＞0，所以b－a＜0，但－＝，无法判断ab－1的符号，则＞不一定成立，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m＞n＞p 13 14 m＝＝＝， n＝＝＝， p＝＝＝， ∵0＜＋＜＋＜＋， ∴＞＞＞0， ∴m＞n＞p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.给出下列四个命题：①若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c；②若a2x＞a2y，则x＞y；③若a＞b，则＞；④＜＜0，则ab＜b2.其中正确命题是　　 　　(填序号). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①②④ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d，因此a－d＞b－c，即①正确； ②若a2x＞a2y，则a2＞0，根据不等式性质，可得x＞y，即②正确； ③若a＝1，b＝－1，满足a＞b，但不满足＞，故③错误； ④若＜＜0，则b＜a＜0，因此ab－b2＝b(a－b)＜0，即ab＜b2，故④正确. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4，求当x＝－2时，y的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点， ∴c＝0，∴y＝ax2＋bx. 又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.　① 当x＝1时，3≤a＋b≤4，　② ∴当x＝－2时，y＝4a－2b. 设存在实数m，n， 使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 解得 ∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b). 由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6， ∴3＋3≤4a－2b≤4＋6. 即6≤4a－2b≤10， 故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.(1)若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，试比较M，N的大小关系. 解：(1)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＞1＋x＞0，1＋x＋y＞1＋y＞0， ∴＜，＜， 故M＝＝＋＜＋＝N，即M＜N. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，求的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(2)由已知及三角形三边关系得∴ ∴ 两式相加得0＜2×＜4，∴0＜＜2. 13 14 $$