2.1.1 不等关系与不等式-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 一元二次函数、方程和不等式主要内容有等式性质与不等式性质、基本不等式、二次函数与一元二次方程、不等式，这是进一步学习数学知识的基础和工具，也是高考的重点. 　　不等式性质的考查经常与充要条件结合，对基本不等式的考查主要是利用基本不等式求最值，对二次函数与一元二次方程、不等式的考查主要是一元二次不等式求解和恒成立问题.每年高考对一元二次函数、方程和不等式的考查有1～2题，以选择题、填空题为主，解答题中一般作为中间步骤出现. 　　公元前6世纪末，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，但没有进行大小比较，只是研究过部分中项的几何作图以及它们的数量关系. 公元前2世纪，芝诺多罗斯获得与基本不等式等价的结果《论等周图形》. 公元3世纪初，三国时期的吴国人赵爽在研究勾股定理设计的弦图中，能形象地构建出基本不等式. $$ 2.1　等式性质与不等式性质 第一课时　不等关系与不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习单元3　等式性质与不等式性质　基本不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 [学习目标]　1.通过实例理解不等式的概念，能用不等式或不等式组表示不等关系.　2.掌握两个实数大小比较的基本事实.　3.会用作差法比较两个代数式的大小. 知识点1　不等关系的表示 内容索引 知识点2　作差法比较大小 课时作业 巩固提升 知识点3　作差法证明不等式 课堂达标·素养提升 3 知识点1　不等关系的表示 将实际的不等关系写成对应的 时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用 表示出不等关系. 不等式 不等式 某单位在对一个长为100 m、宽为60 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若把花坛的宽度设为x m，怎样用不等式表示绿草坪的面积不小于总面积的二分之一？ [分析]　仔细审题，设出适当变量表示不等关系. 例1 [解]　因为花坛宽度为x m，则矩形绿草坪的长为(100－2x)m，宽为(60－2x)m，于是绿草坪的面积为(100－2x)·(60－2x)m2，所以不等关系“绿草坪的面积不小于总面积的二分之一”可以用不等式表示为(100－2x)(60－2x)≥(0＜x＜30). 已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B. 试用不等式表示x，y所满足的不等关系. [分析]　首先搞清楚x和y的关系，再列出相应的不等式. 例2 食物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 [解]　x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A (600x＋700y) 单位，含有维生素B (800x＋400y) 单位，则有 即 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 注意：隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的. 思维提升 2.常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下： 文字 语言 数学 符号   文字 语言 数学 符号   文字 语言 数学 符号   文字 语言 数学 符号 大于 ＞ 大于或 等于 ≥ 至多 ≤ 不小 于 ≥ 小于 ＜ 小于或 等于 ≤ 至少 ≥ 不大 于 ≤ 1.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 跟踪训练 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 则 2.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式(组)表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝( 15－). 因此菜园面积S＝x·( 15－)，依题意有S≥96， 即x( 15－)≥96， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 知识点2　作差法比较大小 两个实数大小比较的基本事实 1.文字叙述： 如果a－b是 ，那么a＞b； 如果a－b ，那么a＝b； 如果a－b是 ，那么a＜b，反之也成立. 正数 等于0 负数 2.符号表示： 依据 a＞b⇔__________ a＝b⇔___________ a＜b⇔____________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 a－b＞0 a－b＝0 a－b＜0 差 0 (1)比较a2－a和a－2的大小； [分析]　(1)作差配方，与零比较. [解]　(1)∵(a2－a)－(a－2) ＝a2－2a＋2＝(a2－2a＋1)＋1 ＝(a－1)2＋1＞0， ∴a2－a＞a－2. 例3 (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. [分析]　(2)作差因式分解，与零比较. [解]　(2)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. [变条件]　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 1.作差法比较大小的步骤： 思维提升 2．变形的常用技巧：(1)因式分解；(2)配方；(3)通分；(4)分母或分子有理化；(5)分类讨论．注意平方和(差)、立方和(差)等公式的应用． 3.已知a∈R，且a≠1，比较a＋2与的大小. 跟踪训练 解：(a＋2)－＝＝. 因为a2＋a＋1＝( a＋)2＋≥＞0， 所以当a＞1时，＞0，即a＋2＞； 当a＜1时，＜0，即a＋2＜. 故当a＞1时，a＋2＞； 当a＜1时，a＋2＜. 知识点3　作差法证明不等式 利用作差法证明不等式：作差，变形，差值与 进行比较，得出结论. 零 已知a＞0，b＞0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. [证明]　a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2). ∵a＞0，b＞0，且a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， ∴a＋b＞0，a2－2ab＋b2≥0， ∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 例4 证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号． 思维提升 4.已知m，n都是正数且m＋n＝1，证明(mx＋ny)2≤mx2＋ny2. 证明：因为(mx＋ny)2－(mx2＋ny2) ＝m2x2＋2mnxy＋n2y2－mx2－ny2 ＝mx2(m－1)＋ny2(n－1)＋2mnxy. 又因为m＋n＝1，则m－1＝－n且n－1＝－m， 所以(mx＋ny)2－(mx2＋ny2) 跟踪训练 ＝－mnx2－mny2＋2mnxy ＝－mn(x2＋y2－2xy) ＝－mn(x－y)2. 又因为m，n都是正数，所以－mn(x－y)2≤0， 所以(mx＋ny)2－(mx2＋ny2)≤0， 则(mx＋ny)2≤mx2＋ny2. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“0≤x＜2 000” B.小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” C 对于A，x应满足0≤x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误. 2.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是(　 　) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h(米)满足0＜h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b＞0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.a不大于b可以表示为a≤b ACD 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，故选项A正确； 因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故选项B错误； 因为不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2，故选项C正确； 因为a不大于b表示a＜b或a＝b，所以a≤b正确，故选项D正确. 3.已知M＝a2＋3a＋1，N＝2a＋，则M　　　　N(填“＞”或“＜”). 已知M＝a2＋3a＋1，N＝2a＋， 则M－N＝(a2＋3a＋1)－( 2a＋)＝a2＋a＋＝( a＋)2＋＞0， 则M＞N. ＞ 4.当m＞1时，m3与m2－m＋1的大小关系为　　　 　. ∵m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1). 又∵m＞1，故(m－1)(m2＋1)＞0，∴m3＞m2－m＋1. m3＞m2－m＋1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　) A.4x＋5y≤200　　　　 B.4x＋5y＜200 C.5x＋4y≤200 D.5x＋4y＜200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 由题意，可得400x＋500y≤20 000， 化简得4x＋5y≤200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.某校对高一年级美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课成绩总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D ∵高一年级美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课成绩总分y高于380分，体育成绩z超过45分， ∴不等式表示为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.若x＜0，M＝5x2＋x＋2，N＝4x(x＋1)，则M与N的大小关系为(　　) A.M＞N B.M＝N C.M＜N D.无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A M－N＝5x2＋x＋2－4x(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，∵x＜0， ∴x－1＜0，x－2＜0， ∴(x－1)(x－2)＞0， ∴M－N＞0，即M＞N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　) A.M＞－5 B.M＜－5 C.M＝－5 D.不能确定 因为M－(－5)＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，所以M＞－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 5.已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2　　　　b2(填“＜”“＞”或“＝”). 两式作差得，ab－a2－b2＝－( a－)2－b2＜0，所以ab－a2＜b2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＜ 6.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为 　 　　　　　　　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 　 　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8(x＋19)＞2 200 ＞9 由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km， 则8(x＋19)＞2 200. 若每天行驶的路程比原来少12 km， 则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若a＜b＜1，比较与的大小. 解：∵a＜b＜1， ∴a－1＜0，b－1＜0，b－a＞0，(a－1)(b－1)＞0， ∴－＝＝＞0， ∴＞. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小； (1)解：∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8) ＝－7＜0， ∴(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知a＜b＜0，c＜0，求证：＜. (2)证明：－＝＝， ∵a＜b＜0，c＜0， ∴ab＞0，b－a＞0，(b－a)c＜0， 可知＜0， 即－＜0， 即＜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.某商店计划用不超过4 200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完.若所获利润大于750元，则该店进货方案有(　　) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50－x)件， 根据题意，得 解得20≤x＜25， ∵x为整数， ∴x＝20，21，22，23，24， ∴该店进货方案有5种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知0＜a＜b且a＋b＝1，则2ab　　　(填“＞”或“＜”). 因为b＝1－a，所以2ab－＝2a(1－a)－＝－2a2＋2a－＝－2( a2－a＋)＝－2( a－)2＜0，所以2ab＜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＜ 11.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应开发　　　　件，最高产值为　　　　万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 20 330 设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330， 当且仅当x＝20时，y取最大值330. 所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.设a1≈，a2＝1＋. (1)证明：介于a1与a2之间； (1)证明：∵(－a1)(－a2) ＝(－a1)( －1－)＝＜0， ∴介于a1，a2之间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)判断a1，a2哪个更接近于，并说明理由. (2)解：∵｜｜＝＞1，∴｜a1－｜＞｜a2－｜，∴a2更接近于. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$