1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元2　充分条件与必要条件　全称量词与存在量词 [学习目标]　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.　2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 知识点1　命题的否定 内容索引 知识点2　全称量词命题的否定 课时作业 巩固提升 知识点3　存在量词命题的否定 课堂达标·素养提升 知识点4　由含量词命题的否定的真假求参数的取值范围 3 知识点1　命题的否定 一般地，对一个命题p进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的 ，记作 p，一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能 . 否定 一真一假 命题：“77是19的倍数”的否定是什么？并判断真假. [解]　“77是19的倍数”的否定是“77不是19的倍数”；命题否定与原命题一真一假，因为“77是19的倍数”是假命题，所以它的否定“77不是19的倍数”为真命题. 例1 命题与命题的否定一真一假． 思维提升 1.命题：“空集是集合A＝{x｜x≥1，x∈R}的真子集”的否定是什么？并判断真假. 解：原命题的否定是“空集不是集合A＝{x｜x≥1，x∈R}的真子集”.空集为任意非空集合真子集，因为A＝{x｜x≥1，x∈R}不是空集，因此，原命题为真，所以其否定为假命题. 跟踪训练 知识点2　全称量词命题的否定 全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M， p(x).全称量词命题的否定是 . 存在量词命题 写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)任何一个平行四边形的对边都平行； [分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论. [解]　(1)该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行，为假命题. 例2 (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； [分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论. [解]　(2)该命题的否定：∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根，为真命题. (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； [分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论. [解]　(3)该命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在，为真题命. (4)可以被5整除的整数，末位是0. [分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论. [解]　(4)该命题的否定：存在被5整除的整数，末位不是0，为真命题. 1.全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定． (2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． 思维提升 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 2.写出下列全称量词的否定，并判断其否定的真假. (1)∀x∈{－2，－1，0，1，2}，｜x－2｜≥2； 解：(1)该命题的否定：∃x∈{－2，－1，0，1，2}，｜x－2｜＜2，是真命题. 跟踪训练 (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； 解：(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数，是假命题. (3)所有分数都是有理数； 解：(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数，是假命题. (4)任意两个等边三角形都相似. 解：(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似，是假命题. 知识点3　存在量词命题的否定 存在量词命题： . 存在量词命题的否定： . 从一般形式来看，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为 ，也就是“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M， p(x)”. ∃x∈M，p(x) ∀x∈M， p(x) 全称量词 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x＞1，x2－2x－3＝0； [解]　(1) p：∀x＞1，x2－2x－3≠0，是假命题. 例3 (2)p：有些素数是奇数； [解]　(2) p：所有的素数都不是奇数，是假命题. (3)p：有些平行四边形不是矩形. [解]　(3) p：所有的平行四边形都是矩形，是假命题. 存在量词命题否定的方法及关注点 1．方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定． 2．关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等． 思维提升 3.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)∃x∈R，8x＋7≥0； 解：(1)该命题的否定：∀x∈R，8x＋7＜0，是假命题. 跟踪训练 (2)有的三角形是直角三角形； 解：(2)该命题的否定：所有的三角形都不是直角三角形，是假命题. (3)有一个偶数是自然数. 解：(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是自然数，是假命题. 知识点4　由含量词命题的否定的真假求参数的取值范围 命题p与 p的真假性只能 . 一真一假 已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围. [解]　因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实根. 所以a＝0或 解之得a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围为{a｜a≤1}. 例3 [变条件]　将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，求实数a的取值范围. 解：因为命题“∀x∈R，2x≠－x2＋a”是假命题， 所以此命题的否定“∃x∈R，2x＝－x2＋a”是真命题， 即x2＋2x－a＝0有实根， 所以Δ＝4＋4a≥0，则a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a｜a≥－1}. 1.注意p与¬p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 2．求参数范围问题，通常根据相关全称量词或存在量词命题的意义列出不等式(组)求解． 思维提升 4.已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围. 跟踪训练 解：因为¬p是假命题，所以p是真命题. 又∀x∈{x｜－3≤x≤2}， 都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}， 所以{x｜－3≤x≤2}⊆{x｜a－4≤x≤a＋5}， 则 解得－3≤a≤1，经检验端点处也成立. 故实数a的取值范围是{a｜－3≤a≤1}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设命题p：∀x∈N，x∈Z，则¬p为(　　) A.∀x∈N，x∉Z B.∃x∈N，x∉Z C.∀x∉N，x∈Z D.∃x∈N，x∈Z 命题p是全称量词命题，求 p只需把“∀”改成“∃”，把“∈”改成“∉”即可. B 2.命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则¬p是(　　) A.∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C.∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 B 存在量词命题的否定是全称量词命题，把“∃”改成“∀”，把“有实数根”改成“无实数根”. 3.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是　 　　　. 存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. {a｜a≤1} 4.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是 　 　　　. ∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题， ∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0有实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. {a｜a≤4} 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.命题“∀x∈R，｜x｜＋x2≥0”的否定是(　　) A.∀x∈R，｜x｜＋x2＜0 B.∀x∈R，｜x｜＋x2≤0 C.∃x∈R，｜x｜＋x2＜0 D.∃x∈R，｜x｜＋x2≥0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 此全称量词命题的否定为∃x∈R，｜x｜＋x2＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A.∃x∈R，x2－x＋＜0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B. 再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题， 又D为真命题，A，C为假命题，故选A，C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　) A.∀x∈R，x＋≥2 B.∃x∈R，x＋≥2 C.∃x∈R，x2＋2x－3＜0 D.∀x∈R，｜x＋1｜＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 对于A，当x＜0时，x＋＜0，不满足∀x∈R，x＋≥2，所以A是假命题； 对于B，当x＝2时，满足x＋≥2，所以B是真命题； 对于C，当x＝0时，满足x2＋2x－3＜0，所以C是真命题； 对于D，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，不满足∀x∈R，｜x＋1｜＞0，所以D是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)下列说法错误的是(　 　) A.命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x” B.命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0” C.“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件 D.对任意x∈R，总有x2＞0是真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 对于A，命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故A错误； 对于B，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0”，故B正确； 对于C，“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当x＝0时，x2＝0，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.某校开展小组合作学习模式，高二某班某组李明同学给组内王亮同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围.王亮略加思索，反手给了李明一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围.你认为，两位同学题中实数m的取值范围的关系是　　　　(填“相同”或“不同”). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 相同 因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”， 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题， 则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题， 所以两位同学题中实数m的取值范围是相同的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2； ③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知方程(a＋5)x2＋2(a＋1)x＋a－5＝0. (1)若∃a∈R，使方程只有一个实根，求a的值； 解：(1)当a＋5＝0，即a＝－5时，方程化为－8x－10＝0，解得x＝－，符合题意； 当a＋5≠0，即a≠－5时，方程只有一个实根， 则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－25)＝8(a＋13)＝0，解得a＝－13. 综上所述，a的值为－5或－13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若∀a∈M，方程至少有一个实根，求集合M. 解：(2)由(1)知，a＝－5时符合题意； 当a≠－5时，方程至少有一个实根，则Δ＝8(a＋13)≥0，解得a≥－13. 综上所述，集合M＝{a｜a≥－13}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.若“∀x∈M，｜x｜＞6”为真命题，“∃x∈M，使x＜5”为假命题，则集合M可以是(　　) A.{x｜x＞6}　　　　　 B.{x｜x＜－6} C.{x｜x＜6} D.{x｜x＞－6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A “∀x∈M，｜x｜＞6”为真命题，M⊆{x｜x＞6，或x＜－6}， “∃x∈M，使x＜5”为假命题，∴“∀x∈M，x≥5”为真命题， M⊆{x｜x≥5}，∴M⊆{x｜x＞6}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.若命题“∃x＜2 024，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是 　 　　　　　. 由于命题“∃x＜2 024，x＞a”是假命题，则其否定命题“∀x＜2 024，x≤a”是真命题，所以a≥2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {a｜a≥2 024} 10.已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是　　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为¬p：x＜或x＞1， q：x＜a或x＞a＋1，且¬p是¬q的必要不充分条件， 所以{x｜x＜a，或x＞a＋1} ， 所以或解得0≤a≤. 故实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知命题“∀x∈R，ax2＋4x－1＜0”是假命题，求实数a的取值范围为　 　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {a｜a≥－4} 命题“∀x∈R，ax2＋4x－1＜0”是假命题，则它的否定：“∃x∈R，ax2＋4x－1≥0”是真命题. (1)当a＝0时，由4x－1≥0，得x≥，满足题意. (2)当a≠0时，①当a＞0时，二次函数y＝ax2＋4x－1的图象开口向上，存在x∈R，使得ax2＋4x－1≥0成立. ②当a＜0时，需解得－4≤a＜0. 综上所述，实数a的取值范围为{a｜a≥－4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围. 解：令y＝x2＋4x－1，x∈R， 则y＝(x＋2)2－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1＞m恒成立， 所以只要m＜－5即可. 所以所求m的取值范围是{m｜m＜－5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$