1.5.1 全称量词与存在量词-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元2　充分条件与必要条件　全称量词与存在量词 [学习目标]　通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 知识点1　全称量词与全称量词命题及存在量词与存在量词命题 内容索引 知识点2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 课时作业 巩固提升 知识点3　由含量词命题的真假求参数的取值范围 课堂达标·素养提升 3 知识点1　全称量词与全称量词命题及存在量词与存在量词命题   全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个、一切、每一个 存在一个、至少有一个、有些、有的 量词 符号 _____ ____ 定义 含有 的命题 含有 的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”用符号简记为：________________ “存在M中的元素x，p(x)成立”用符号简记为：_______________ ∀ ∃ 全称量词 存在量词 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) (1)语句①x＞10，②10x＋1是整数，它们是命题吗？限定①中x∈R，②中x∈Z，将它们改写成全称命题的形式. [解]　(1)①②中，x范围变化时，真假不确定，因此，不是命题.若改写为全称命题，对变量x添加限定范围. ①∀x∈R，x＞10.②∀x∈Z，10x＋1是整数. 例1 (2)语句：①10x＋1＝15，②x能被6和9整除，它们是命题吗？限定①中x∈N，②中x∈R，将它们改成存在量词命题的形式. [解]　(2)①②中，x范围变化时，真假不确定，因此不是命题.若改为存在量词命题，对x添加范围限定. 即①∃x∈N，10x＋1＝15. ②∃x∈R，x能被6和9整除. 1.判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． 2．判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． 思维提升 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有x2≥0. 解：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题. 跟踪训练 知识点2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 1.要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x) .要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需 ，即在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 2.要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x) 即可.要判定存在量词命题是假命题，需对集合M中任意一个元素x，证明p(x)都 . 成立 举出一个反例 成立 不成立 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并指出它是真命题还是假命题. (1)对顶角相等； [解]　(1)全称量词命题，由定理：两直线相交，对顶角相等，故“对顶角相等”为真命题； 例2 (2)∃x∈Z，x3＜1； [解]　(2)存在量词命题，取x＝0，03＜1，故“∃x∈Z，x3＜1”为真命题； (3)∀x∈R，｜x｜＋1≥2； [解]　(3)全称量词命题，取x＝0，｜0｜＋1＜2，故“x∈R，｜x｜＋1≥2”是假命题； (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. [解]　(4)存在量词命题，对于方程x2＋2x＋4＝0，Δ＝22－4×4＝－12＜0，方程无解，故“有一个实数，使x2＋2x＋4＝0”为假命题. 判定全称量词命题为真命题与判定存在量词命题为假命题类似，都需对集合M中的元素x做全面判断，而判定全称量词命题为假命题与判定存在量词命题为真命题类似，只需在集合M中找到一个元素分析即可． 思维提升 2.下列命题中是真命题的是　　　　. ①所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； ②至少有一个整数n，使n2＋n为奇数； ③负数的平方都是正数； ④∃无理数x，x2是无理数. 跟踪训练 ①③④ ①正确；②中，n2＋n＝n(n＋1)，而n∈Z时，n，n＋1中一奇一偶，n(n＋1)必为偶数，故②错误；③正确；④中，取x＝π，π2也是无理数，故④正确. 知识点3　由含量词命题的真假求参数的取值范围 把命题的 转化为其他数学问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 真假问题 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. [分析]　命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题等价于B⊆A. 例3 [解]　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠⌀，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 依据含量词命题的真假求参数取值范围 1．首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意． 2．其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 思维提升 3.已知“∀x∈R，｜x｜＋1≥a”为真命题，则a的取值范围是　　 　　. 由“∀x∈R，｜x｜＋1≥a”为真命题知，a不大于｜x｜＋1中的所有值，即a≤(｜x｜＋1)min，由(｜x｜＋1)min＝1，∴a≤1. 跟踪训练 {a｜a≤1} 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列结论正确的个数是(　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称量词命题； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题. A.0　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3 C ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称量词命题，故②正确；③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题，故③正确. 2.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为　　　 　. ∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0 3.下列全称量词命题中，真命题的个数为　　　　. ①∀x∈R，x2＋2＞0；②∀x∈N，x4≥1； ③对任意x，y，都有x2＋y2≠0. 1 ①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题.②因为0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列命题中是全称量词命题的是(　　) A.存在x∈R，使x2－x＋1＜0 B.所有2的倍数都是偶数 C.有一个实数x，使｜x｜≤0 D.有的三角形是等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 在A，C，D中，分别含有存在量词“存在”“有一个”“有的”，故A，C，D都是存在量词命题；对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称量词命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.下列命题中形式不同于其他三个的是(　　) A.∀x∈Z，x3－9＜x2 B.∃x∈R，x2－2x＋1≠0 C.每一个正数的倒数都大于0 D.∀x＜2，x－3＜0 A，C，D均为全称量词命题，而B为存在量词命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 3.下列命题中为真命题的是(　　) A.∃x∈R，x2＋1＜0 B.∃x∈Z，3x＋1是整数 C.∀x∈R，｜x｜＞3 D.∀x∈Q，x2∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B ∃x∈R，x2＋1＜0，显然不成立，A错误；∃x∈Z，3x＋1是整数，B正确；∀x∈R，｜x｜＞3，例如x＝0，则不成立，C错误；∀x∈Q，x2∈Z，例如x＝，则x2∉Z，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.下列命题： ①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x使x2＋2x＋1＝0成立. 其中是全称量词命题的是　　　　　(填序号). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②③ ①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立，这是一个存在量词命题；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立，这是一个全称量词命题；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立，这是一个全称量词命题；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立，这是一个存在量词命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.下列命题：(1)∀x∈R，x2＋1≥1；(2)对每一个无理数x，x4也是无理数；(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.其中假命题个数为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 (1)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1，所以全称量词命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题. (2)是无理数，但()4＝4是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x4也是无理数”是假命题. (3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假. (1)所有实数x都能使x2＋x＋＞0成立； 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋＞0；真命题. (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； 解：(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题. 如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； 解：(3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题. (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数. 解：(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 7.已知集合A，B是非空集合且A⊆B，则下列结论中错误的是(　　) A.∃x∈A，x∈B　　　　 B.∀x∈A，x∈B C.A∩B＝A D.A∩(∁UB)≠⌀ 因为集合A，B为非空集合，且A⊆B，所以∃x∈A，x∈B；∀x∈A，x∈B；A∩B＝A均为真，而且A∩(∁UB)＝⌀，因此D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 8.若命题“∃x∈R，x2＋mx＋＝0”为真命题，则m的取值范围是(　　) A.m≤－1 B.m≥1 C.m≤－1或m≥1 D.－1≤m≤1 由题可知Δ＝m2－4×≥0，解得m≤－1或m≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 9.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　　 　　　. 由题意知，a，b，c均小于0，可以找到满足题意的一组数据：a＝－1，b＝－2，c＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －1，－2，－3(答案不唯一) 10.若“存在x∈R，x2＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是 　 　 　　. 由“存在x∈R，x2＋a＜0”为真命题，即x2＋a的所有取值都小于0，当且仅当y＝x2＋a的最小值小于0，命题成立，而y＝x2＋a的最小值为a，故a＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {a｜a＜0} 11.对任意a，b∈R，且1＋b≠0，＝是全称量词命题吗？你能判断这个命题的真假吗？如果是真命题，请给予说明；如果不是真命题，请补充条件，使之成为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：给定命题是全称量词命题，且是假命题. 若＝，则还需满足a＋b≥0，1＋b＞0或a＋b≤0，1＋b＜0. 即对任意a，b∈R，且1＋b≠0，(1＋b)(a＋b)≥0， ＝是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.若∀x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 解：因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点， 所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立， 即m2＋4a＋4≥0恒成立. 设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1. 综上所述，实数a的取值范围是{a｜a≥－1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$