1.4.2 充要条件-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元2　充分条件与必要条件　全称量词与存在量词 [学习目标]　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 知识点1　充要条件的判断(定义法、集合法) 内容索引 知识点2　数学中的定义与充要条件的关系 课时作业 巩固提升 知识点3　充分条件与必要条件的传递性 课堂达标·素养提升 知识点4　充要条件的证明 知识点5　利用充分不必要、必要不充分、充要条件求参数的范围 3 知识点1　充要条件的判断(定义法、集合法) 1. 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题 “若q，则p”，称这个命题为原命题的 ⁠. 2. 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 p⇒q，又有q⇒p，就记作 .此时p既是q的充分条件，也是q的必 要条件，我们说p是q的 ，简称为 .显然，如 果p是q的充要条件，那么q也是p的 .概括地说，如果p⇔q， 那么p与q互为 ⁠. 逆命题　 p⇔q　 充分必要条件　 充要条件　 充要条件　 充要条件　 3.从集合的角度理解充分必要性 设非空集合A＝{x｜p(x)}，B＝{x｜q(x)}. (1)若A＝B，则p是q的 (如图①)； (2)若A不包含于B且B不包含于A，即A不是B的子集，且B不是A的子集，则p是q的 (如图②). 充要条件 既不充分也不必要条件 指出下列各题中，p是q的什么条件？(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：a能被6整除，q：a能被3整除； [分析]　该题利用定义法或集合法求解即可. [解]　(1)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p⇒q，q⇒p， 故p是q的充分不必要条件. 例1 (2)p：两个角都是直角，q：两个角不相等； [分析]　该题利用定义法或集合法求解即可. [解]　(2)p：两个角都是直角，则这两个角相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即p⇒q，q⇒p， 故p是q的既不充分也不必要条件. (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [分析]　该题利用定义法或集合法求解即可. [解]　(3)因为A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， 所以p是q的充要条件. 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 1．定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． 2．集合法：即利用集合的包含关系判断． 3．等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系． 4．传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 思维提升 1.下列各题中，哪些p为q的充要条件？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等. 解：(1)由三角形为等腰三角形等价定义可知p，q可互相推出. 跟踪训练 (2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦对应的圆周角相等. 解：(2)利用定义可知，p，q为等价条件. (3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集. 解：(3)A∩B为空集，则A，B无公共元素，但不一定是空集，若A，B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q必要不充分条件. 故在(1)(2)中，p为q的充要条件. 知识点2　数学中的定义与充要条件的关系 一般地，数学中的每个定义，都刻画了一个数学结论成立的 条件. 充分必要 “四边形两组对边分别平行”是“四边形为平行四边形”的充要条件，这样的充要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出其他几个“四边形为平行四边形”的充要条件吗？ [分析]　寻找“四边形为平行四边形”的充要条件，本质上是从不同角度刻画“平行四边形”这个概念. 例2 [解]　不唯一；如：四边形的两组对角分别相等；四边形的两组对边分别相等；四边形的一组对边平行且相等；四边形的对角线互相平分. 若p是q的充要条件，是指由p可推出q，由q也可推出p，一般来说，与q等价的条件p不是唯一的，可以通过不同的等价条件，即等价概念进行刻画． 思维提升 2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 解：两个三角形全等：边边边(SSS)，边角边(SAS)，角角边(AAS)，角边角(ASA)，斜边与一条直角边(HL)对应相等，均可得两三角形全等. 两个三角形相似：三边对应成比例，二组角对应相等，两边夹角相等且两边对应成比例，均可得到两三角形相似. 跟踪训练 知识点3　充分条件与必要条件的传递性 充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下： (1)若p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的 ； (2)若q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的 ； (3)若p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的 . 充分条件 必要条件 充要条件 p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，s是r的必要条件，也是q的充分条件.判断p是q的什么条件，p是s的什么条件. [分析]　题中出现若干条件和结论，可以借助图示法中的传递性判断. 例3 [解]　由题意得，p，q，r，s之间的关系. 如图： p是q的充分不必要条件. p是s的充分不必要条件. 若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断． 思维提升 3.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.那么： (1)s是q的什么条件？ 解：将p，q，r，s的关系作图表示， 如图所示. (1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件. 跟踪训练 (2)r是q的什么条件？ 解：(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件. (3)p是q的什么条件？ 解：(3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件. 知识点4　充要条件的证明 给定命题“若p，则q”，要证明p是q的充要条件，需证两方面： (1)充分性，即证p⇒q； (2)必要性，即证q⇒p. 求证方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a＝1. [分析]　利用定义及一元二(一)次方程的性质证明必要性，将a的值代入方程证明充分性. 例4 [证明]　①充分性： 当a＝0时，方程变为2x＋1＝0，其根为x＝－，方程只有一个负根； 当a＝1时，方程x2＋2x＋1＝0.其根为x＝－1，方程只有一个负根； 当a＜0时，Δ＝4(1－a)＞0，方程有两个不相等的根，且＜0，方程有一正一负根； 所以方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根. ②必要性： 若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负根； 当a＝0时，适合条件； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根， 则Δ＝4(1－a)≥0，∴a≤1， 当a＝1时，方程有一个负根x＝－1， 当a＜1时，若方程有且仅有一负根，则 所以a＜0， 所以a≤0或a＝1. 综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a＝1. 充要条件证明的策略 1．要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真． 2．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明p与q的解集是相同的． 提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向． 思维提升 4.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长) 跟踪训练 证明：必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立. 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 知识点5　利用充分不必要、必要不充分、充要条件求参数的范围 利用充分不必要、必要不充分、充要条件求解参数问题，一般结合定义或 关系求解. 集合 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. [分析]　利用集合法求解. 例5 [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3，又m＞0， 所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. [变设问]　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 若p是q的充要条件，则m不存在. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 求参数值(范围)的一般步骤 1．根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． 2．根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 思维提升 5.若在例5中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 跟踪训练 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以A B. 所以或 解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m｜m≥9}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 三角形的三条边都相等可以推出三角形是等边三角形，反之也成立. C 2.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，但是(a－1)(a－2)＝0⇒a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件. A 3.p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的 　 　　 　条件. ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根. 充分不必要 4.A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的 　　　　(填“充分”“必要”或“充要”)条件. 必要 由已知A⇒B，D⇐C，B⇔C. 因此A⇒B⇔C⇒D. 可知A⇒D，因此D为A的必要条件. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.“1＜x＜2”是“x≤2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 设A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，A B. 故“1＜x＜2”是“x≤2”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab＝0　　　　　　　 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0 a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇒p，因为r是q的必要不充分条件，所以q⇒r且r⇒q.因为s是r的充要条件，所以s⇒r且r⇒s，如图，所以p⇒s且s⇒p，故s是p的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.(∁UA)⊇(∁UB) D.(∁UA)⊆(∁UB) 由A∩B＝A可知A⊆B，反过来A⊆B，则A∩B＝A，对C来说，实际上也是A⊆B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 5.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是　 　　　. 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2； 反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m＝－2 6.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　 　　. 由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A B，即m＋1＞2，解得m＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {m｜m＞1} 7.(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？ 解：(1)欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件， 则只要⊆{x｜x＜－1，或x＞3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？ 解：(2)欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件，则只要{x｜x＜－1，或x＞3}⊆， 这是不可能的. 故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是(　 　) A.n＝4 B.n＝－5 C.n＝－1 D.n＝－12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2， 要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解，则满足02＋4×0＋n＜0，即n＜0， 所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是B，C，D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选)下列结论中正确的是(　 　) A.“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件 B.在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD x＜－2⇒x2＞4，但x2＞4⇔x＞2或x＜－2，不一定有x＜－2，故A正确. AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误. a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确. 当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.设p：3a＜x＜a(a＜0)，q：x＜－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条 件，则实数a的取值范围为　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}， B＝{x｜x＜－4，或x≥－2}. 因为p是q的充分不必要条件， 所以A B，所以a≤－4或3a≥－2， 即a≤－4或a≥－. 又因为a＜0， 所以a≤－4或－≤a＜0， 即实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知a，b为实数，“a＋b＞0且ab＞0”的一个充要条件为 　 　　　. 当ab＞0时，可知a，b符号相同，又因为a＋b＞0，则a＞0且b＞0； 当a＞0且b＞0时，a＋b＞0且ab＞0显然成立，因此，“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件是“a＞0且b＞0”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a＞0且b＞0 12.在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由. 问题：已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，集合B＝{x｜1－a≤x≤1＋a}(a＞0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的　　　　？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：由题意知A＝{x｜0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a＞0，解得a≥3， 所以存在a，a的取值集合M＝{a｜a≥3}. 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a＞0，解得0＜a≤1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以存在a，a的取值集合M＝{a｜0＜a≤1}. 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a＞0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. $$