1.4.1 充分条件与必要条件-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元2　充分条件与必要条件　全称量词与存在量词 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.　2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 内容索引 知识点1　命题 知识点2　充分条件与必要条件 知识点3　充分条件的判断(定义法、集合法) 课堂达标·素养提升 知识点4　数学中的判定定理与充分条件的关系 课时作业 巩固提升 知识点5　必要条件的判断(定义法、集合法) 知识点6　数学中的性质定理与必要条件的关系 3 知识点1　命题 1.命题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 叫做命题.判断为真的语句是 ，判断为假的语句是 . 2.在“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的 ，q称为命题的 . 陈述句 真命题 假命题 条件 结论 下列说法中是真命题的是　　　　(填序号). ①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； ②若x∈N，则x3＞x2成立； ③若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； ④存在一个三角形没有外接圆. [分析]　判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；要判断一个命题是真命题，需要推理论证. 例1 ③ ①假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. ②假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立. ③真命题.∵m＞1⇒Δ＝4－4m＜0， ∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. ④假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断．而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 思维提升 1.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.若xy＝1，则x，y互为倒数 B.平面内，四条边相等的四边形是正方形 C.平行四边形是梯形 D.若ac2＞bc2，则a＞b 跟踪训练 AD A，D是真命题，B项，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，C项，平行四边形不是梯形. 知识点2　充分条件与必要条件 1. 充分条件与必要条件 命题 真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 ⁠ ⁠ 条件 关系 p是q的 ⁠条件， q是p的 ⁠条件 p不是q的 条件，q不是p的必要条 件 p⇒q　 p⇒q　 充分　 必要　 充分　 2.一般来说，对给定的结论q，使得q成立的条件p是 ；给定条件p，由p可以推出的结论q是 . 不唯一的 不唯一的 下列说法中正确的有　　　　(填序号). ①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件； ②｜x｜＝1是x＝－1的必要条件； ③两个三角形相似是两个三角形全等的充分条件. ①正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0；②正确，因为x＝－1⇒｜x｜＝1；③不正确，因为两个三角形相似不能推出两个三角形全等. 例2 ①② “若p，则q”为真命题，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 思维提升 2.下列说法中正确的有　　　　(填序号). ①a∈Q是a∈R的充分条件； ②(a－2)(a－3)＝0是a＝3的充分条件； ③若△ABC中，A＞B是BC＞AC的必要条件. 跟踪训练 ①③ ①正确，因为a∈Q⇒a∈R；②不正确，由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，(a－2)·(a－3)＝0不是a＝3的充分条件；③正确，由三角形中大边对大角可知，若BC＞AC，则A＞B，因此，BC＞AC⇒A＞B.因此A＞B是BC＞AC的必要条件. 知识点3　充分条件的判断(定义法、集合法) 1. 对充分条件的理解 ⁠是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时， 就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了. 例如，x＝－5⇒x2＝25成立.并且当命题不具备此条件时，结论也有可 能成立，例如，x＝5⇒x2＝25也成立，所以“x＝5”是“x2＝25”的 ⁠. 2. 设非空集合A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}. 若A⊆B，则p为q的 ⁠. 充分条件　 充分条件　 充分条件　 “＞0”是“x＞2”的(　　) A.充分条件　　　　　 B.必要条件 C.不充分条件 D.无法判断 [分析]　利用定义或对应集合关系判断即可. 例3 A ＞0，即x＞3. 由于若x＞3，则x＞2为真命题. 因此“＞0”为“x＞2”的充分条件. 已知M＝{x｜a－1＜x＜a＋1}，N＝{x｜－3＜x＜8}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. [分析]　利用充分条件得M⇒N，即M⊆N来求a的取值范围. 例4 [解]　∵M是N的充分条件，∴M⊆N， ∴ 解得－2≤a≤7. 故a的取值范围是{x｜－2≤a≤7}. 判断p为q的充分条件的方法 1．通过“若p，则q”为真命题，判断p为q的充分条件． 2．p对应集合为A，q对应集合为B，若A⊆B，则p为q的充分条件． 思维提升 3.已知p：－1＜x＜3，q：x＞a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为(　　) A.{a｜a＞3} B.{a｜a≥3} C.{a｜a＜－1} D.{a｜a≤－1} 跟踪训练 D 设A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x＞a}， 若p是q的充分条件， 则A⊆B，即a≤－1. 知识点4　数学中的判定定理与充分条件的关系 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 . 充分条件 　“四边形是平行四边形”的一个充分条件是“四边形的两组对角分别相等”，这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你还能再给出几个充分条件吗？ [分析]　寻找“四边形是平行四边形”的充分条件，本质上是四边形为平行四边形的判定定理. 例5 [解]　不唯一，如：“四边形的两组对边分别相等”；“四边形的一组对边平行且相等”；“四边形的两条对角线互相平分”等都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由条件p才能推出结论q.一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p不是唯一的． 思维提升 4.使四边形为菱形的充分条件是(　　) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直平分 跟踪训练 D 因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以对角线互相垂直平分是四边形为菱形的充分条件. 知识点5　必要条件的判断(定义法、集合法) 1.对必要条件的理解 是在充分条件的基础上得出的，q是p的必要条件是指以 p为条件可以推出结论q，但并不意味着由条件p只能推出结论q. 2.设非空集合A＝{x｜p(x)}，B＝{x｜q(x)}. 若B⊆A，则p为q的 . 必要条件 必要条件 设命题甲：－1＜x＜5，命题乙：｜x－2｜＜4， 则乙是甲的　　　　　(填“充分”或“必要”)条件. [分析]　利用必要条件定义或两命题对应集合的包含关系求解即可. 例6 必要 法一：命题甲：－1＜x＜5， 命题乙：－2＜x＜6， 若命题乙不成立，显然甲也不成立. 因此，乙是甲的必要条件. 法二：甲对应集合A＝{x｜－1＜x＜5}， 乙对应集合B＝{x｜－2＜x＜6}， 因为A⊆B，所以乙是甲的必要条件. 已知集合P＝{x｜－2＜x＜1}，Q＝{x｜3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}.若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围. [分析]　利用集合法，P是Q的子集. 例7 [解]　由题意得，P⊆Q， 则解得－≤m≤0. 所以实数m的取值范围为. 1.判断q为p的必要条件的方法 (1)通过若p，则q为真命题，判断q为p的必要条件． (2)p对应集合为A，q对应集合为B，若A⊆B，则q为p的必要条件. 2.利用充分性与必要性进行求参数的值或取值范围问题的求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 思维提升 5.设x∈R，已知命题甲：“x＜3”，命题乙：“－1＜x＜3”，则甲是乙的 　　　　　(填“充分”或“必要”)条件. 当x＝－2时，满足x＜3，但“－1＜x＜3”不成立，即甲不是乙的充分条件；当“－1＜x＜3”时，x＜3成立，即甲是乙的必要条件. 跟踪训练 必要 知识点6　数学中的性质定理与必要条件的关系 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 . 必要条件 　“四边形是平行四边形”的一个必要条件是“这个四边形的两组对角分别相等”，这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形为平行四边形”的其他几个必要条件吗？ [分析]　寻找“四边形为平行四边形”的必要条件，本质上是寻找“四边形为平行四边形”的性质定理. 例8 [解]　不唯一，如：“四边形的两组对边分别相等”；“四边形的一组对边平行且相等”；“四边形的两组对角线互相平分”等. 我们说q为p的必要条件，是指以p为条件，可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q不是唯一的． 思维提升 6.如图，直线a与b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4.请根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件. 跟踪训练 解：“a∥b”的充分条件： ∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180°(不唯一)； “a∥b”的必要条件： ∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180°(不唯一). 〈课堂达标·素养提升〉 1.设a∈R，则a＞4的一个必要条件是(　　) A.a＞1　　　　　　　 B.a＜1 C.a＞5 D.a＜5 a＞4的一个必要条件对应集合应包含{a｜a＞4}，则a＞1满足条件. A 2.设x∈R，已知命题甲：“x＞1”，命题乙：“｜x｜＞1”，则(　　) A.甲是乙的充分条件 B.甲是乙的必要条件 C.A和B都正确 D.A与B都不正确 由｜x｜＞1，解得x＞1或x＜－1，故“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分条件. A 3.用“充分条件”“必要条件”填空： (1)“a＋b＜0”是“a＜0且b＜0”的　　 　　； (2)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的　　　 　. 必要条件 充分条件 4.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是　　 　　. 因为x＞1⇒x＞a，所以a≤1. {a｜a≤1} 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等，则(　　) A.p为q的充分条件 B.p为q的必要条件 C.p不是q的必要条件 D.以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 三角形全等，则面积一定相等，三角形面积相等，两个三角形不一定全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.若集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分条件也不必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 ∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，即a＝3⇒A⊆B， ∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(多选)下列不等式中，可以作为“－1＜x＜1”的充分条件的有(　 　) A.x＜1　　　　　　　 B.0＜x＜1 C.－1＜x＜0 D.－1＜x＜1 要求不等式－1＜x＜1成立的一个充分条件，则该条件所构成的集合为{x｜－1＜x＜1}的子集，故B，C，D满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 4.(多选)下列各选项中，p是q的必要条件的有(　　) A.p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形 B.对于实数x，p：－1≤x≤5，q：x≥9或x≤5 C.p：x＝－1，q：x2＋2x＋1＝0 D.p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 因为矩形的对角线相等， 所以A中p是q的必要条件； 由－1≤x≤5可推出x≥9或x≤5， 所以B中p是q的充分条件； 解方程x2＋2x＋1＝0得x＝－1， 所以C中p是q的必要条件； 因为直角三角形不一定是等腰三角形， 所以D中p不是q的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.p：四边形为正方形，q：四边形四个角均为直角，p为q的_______　　　　　条件(填“充分”或“必要”). 正方形四个角均为直角，反之不一定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 充分 13 6.“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的　　　　　(填“充分”或“必要”)条件. 若x＝1，则x2－4x＋3＝0，从而“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件；若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，从而“x＝1”不是“x2－4x＋3＝0”的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 充分 13 7.已知集合P＝{x｜a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x｜1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围. 解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P， 所以即 所以－1≤a≤5. 即实数a的取值范围是{a｜－1≤a≤5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙，如图. 综上，有丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜－a＜x－b＜a}.若“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A.{b｜－2≤b＜0} B.{b｜0＜b≤2} C.{b｜－2＜b＜2} D.{b｜－2≤b≤2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 A＝{x｜－1＜x＜1}， B＝{x｜－a＜x－b＜a}＝{x｜b－a＜x＜b＋a}. 因为“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件， 所以－1≤b－1＜1或－1＜b＋1≤1，即－2＜b＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.设集合A＝{1，2}， (1)请写出一个集合B＝　　　 　，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件； (2)请写出一个集合B＝　 　　　，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {1，2，3}(答案不唯一) {1}(答案不唯一) 13 11.已知命题甲：“x＞a”，命题乙：“x＞｜a｜”，则甲是乙的______　　　　　(填“充分”或“必要”)条件. 若a≥0，由x＞｜a｜得x＞a.若a＜0，则由x＞｜a｜得x＞－a，此时x＞－a＞a成立，即甲是乙的必要条件；当a＜0时，不妨设a＝－1，则由x＞－1，不一定推出x＞｜－1｜，即甲不是乙的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 必要 13 12.已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要条件，则实数 m的值为　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0或－或 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}.因为p是q的必要条件，所以{x｜mx＋1＝0} {2，－3}.当{x｜mx＋1＝0}＝⌀，即m＝0时，符合题意；当{x｜mx＋1＝0}≠⌀时，由{x｜mx＋1＝0} {2，－3}，得－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝.综上可知，m的值为0或－或. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.试找出一个条件，使得它是“关于x的方程x2－3x＋a＝0有实数根”的充分条件，同时又是“关于x的方程x2－3x＋a＝0有实数根”的必要条件. 解：因为关于x的方程x2－3x＋a＝0有实数根， 所以根的判别式Δ＝9－4a≥0，解得a≤. 显然“a≤”是“关于x的方程x2－3x＋a＝0有实数根”的充分条件， 同时“a≤”也是“关于x的方程x2－3x＋a＝0有实数根”的必要条件， 所以所求条件为“a≤”. 13 $$