1.3.2 全集与补集-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.3　集合的基本运算 第二课时　全集与补集 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元1　集合的概念　集合间的基本关系　集合的基本运算 [学习目标]　1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.　 2.能使用Venn图表达集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 知识点1　全集与补集的概念 内容索引 知识点2　补集的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　利用集合间的关系求参数范围 课堂达标·素养提升 3 知识点1　全集与补集的概念 1. 全集的概念 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ⁠元素，那么就 称这个集合为 ，通常记作 . 所有　 全集　 U　 2. 补集的概念 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成 的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ⁠ 符号 语言 ∁UA＝ ⁠ 图形 语言 不属于　 ∁UA　 {x｜x∈U，且x∉A}　 (1)已知全集U＝{x｜x≤5}，集合A＝{x｜－3≤x＜5}，则∁UA＝　　 　　. (1)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集的定义可知∁UA＝{x｜x＜－3，或x＝5}. 例1 {x｜x＜－3，或x＝5} (2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝　　 　　. (2)∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}. 又∁UB＝{1，4，6}， ∴B＝{2，3，5，7}. {2，3，5，7} (3)已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1，或x＞4}，B＝{x｜－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为　　 　 　. {x｜－1≤x≤3} (3)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x｜－1≤x≤4}∩{x｜－2≤x≤3}＝{x｜－1≤x≤3}. 求集合补集的两种方法 1.如果所给集合是有限集，可先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，也可借助Venn图来求解，这样相对来说比较直观、形象且解答时不易出错. 2.如果所给集合是不等式的解集，那么在解答有关集合补集的问题时，常借助数轴. 思维提升 1.已知全集U，M，N是U的非空子集，且(∁UM)⊇N，则必有(　　) A.M⊆(∁UN)　　　　　 B.M⊇(∁UN) C.(∁UM)＝(∁UN) D.M⊆N 跟踪训练 A 依据题意画出Venn图， 观察可知，M⊆(∁UN). 2.已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解：因为U＝{x｜x≤4}，A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，即A∩B＝{x｜－2＜x≤2}，(∁UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x｜2＜x＜3}. 知识点2　补集的性质 补集的性质及说明 性质 说明 A∪(∁UA)＝U 集合A与A的补集的并集是全集 A∩(∁UA)＝⌀ 集合A与A的补集的交集是空集 ∁U(∁UA)＝A 集合A的补集的补集是集合A本身 ∁UU＝⌀，∁U⌀＝U 全集的补集是空集，空集的补集是全集 已知集合A＝{y｜y＞a2＋1，或y＜a}，B＝{y｜2≤y≤4}，若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围. 例2 [解]　因为A＝{y｜y＞a2＋1，或y＜a}，B＝{y｜2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝⌀时a的取值范围，在数轴上表示集合A，B，如图所示. 由 得 故a≤－或≤a≤2. 即A∩B＝⌀时，a的取值范围为{a｜a≤－，或≤a≤2}， 故A∩B≠⌀时，a的取值范围为{a｜a＞2，或－＜a＜}. 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③取反面问题对应的参数范围的补集. 思维提升 3.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值集合. 跟踪训练 解：若B∪A＝A，则B⊆A. ∵A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}， ∴集合B有以下三种情况： ①当B＝⌀时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0， 即a2＞16， ∴a＜－4或a＞4； ②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0， ∴a＝－4或a＝4. 若a＝－4，则B＝{2}⊈A；若a＝4，B＝{－2}⊆A； ③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根， ∴a＝－2.综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a｜a＜－4，或a＝－2，或a≥4}.∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}. 知识点3　利用集合间的关系求参数范围 由集合的补集求解参数问题，一般结合定义求解，注意 及 的重要作用. 分类 数轴 已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≤－2，或x≥3}，B＝{x｜2m＋1＜x＜m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，求实数m的取值范围. [分析]　求出∁UA，再由(∁UA)∩B＝B知B⊆(∁UA). 例3 [解]　因为A＝{x｜x≤－2，或x≥3}， 所以∁UA＝{x｜－2＜x＜3}， 因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA). 当B＝⌀时，即2m＋1≥m＋7， 所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B. 当B≠⌀时，则无解. 故实数m的取值范围是{m｜m≥6}. [变条件]　若把本例中的条件“(∁UA)∩B＝B”改为“(∁UA)∪B＝B”，则实 数m的取值范围为　　　　 　　　. 因为(∁UA)∪B＝B，所以(∁UA)⊆B， 所以解得－4≤m≤－， 故实数m的取值范围为. 由集合的补集求解参数的方法 1.由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解． 2.与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解． 思维提升 4.已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是　　　　. 由已知A＝{1，3}， 又∵a2＋2＞1，∴a2＋2＝3，且a＋2＝1，∴a＝－1. 跟踪训练 －1 〈课堂达标·素养提升〉 1.若全集U＝{－1，0，1，2}，P＝{x∈Z｜－＜x＜}，则∁UP＝(　　) A.{2}　　　　　　　　 B.{0，2} C.{－1，2} D.{－1，0，2} A 因为全集U＝{－1，0，1，2}，P＝{x∈Z｜－＜x＜}＝{－1，0，1}，所以∁UP＝{2}. 2.图中阴影部分表示的集合是(　　) A.A∩(∁UB) B.(∁UA)∩B C.∁U(A∩B) D. ∁U(A∪B) 由Venn图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，即阴影部分的元素属于A，且不属于B，即A∩(∁UB). A 3.设全集U是实数集R，M＝{x｜x＜－2，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x｜－2≤x＜1} B.{x｜－2≤x＜3} C.{x｜x≤2，或x＞3} D.{x｜－2≤x≤2} A 4.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝　　 　　. 根据三角形的分类可知， ∁UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角形}， ∁UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x｜x是直角三角形}. {x｜x是直角三角形} 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设集合U＝R，M＝{x｜x＞2，或x＜－2}，则∁UM＝(　　) A.{x｜－2≤x≤2} B.{x｜－2＜x＜2} C.{x｜x＜－2，或x＞2} D.{x｜x≤－2，或x≥2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 由数轴 可知∁UM＝{x｜－2≤x≤2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知集合U＝R，集合A＝{x｜x＜－2，或x＞4}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则(∁UA)∩B等于(　　) A.{x｜－3≤x≤4} B.{x｜－2≤x≤3} C.{x｜－3≤x≤－2，或3≤x≤4} D.{x｜－2≤x≤4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 由U＝R，A＝{x｜x＜－2，或x＞4}，可得∁UA＝{x｜－2≤x≤4}. 在数轴上表示出集合∁UA和B，如图. 由图知(∁UA)∩B＝{x｜－2≤x≤3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知全集I＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7，8}是(　　) A.M∪N　　　　　　　 B.M∩N C.(∁IM)∪(∁IN) D.(∁IM)∩(∁IN) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 ∵全集I＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{3，4，5}，集合N＝{1，3，6}， ∴M∪N＝{1，3，4，5，6}，M∩N＝{3}， ∁IM＝{1，2，6，7，8}， ∁IN＝{2，4，5，7，8}， ∴(∁IM)∪(∁IN)＝{1，2，4，5，6，7，8}， (∁IM)∩(∁IN)＝{2，7，8}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知全集U＝R，M＝{x｜－1＜x＜1}，∁UN＝{x｜0＜x＜2}，那么集合M∪N＝　　 　　　. ∵U＝R，∁UN＝{x｜0＜x＜2}，∴N＝{x｜x≤0，或x≥2}，∴M∪N＝{x｜－1＜x＜1}∪{x｜x≤0，或x≥2}＝{x｜x＜1，或x≥2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {x｜x＜1，或x≥2} 13 5.已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3，5}，(∁UM)∩N＝{7，19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}，则M＝　　　 　　，N＝　　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {3，5，11，13} {7，11，13，19} 13 法一：U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，根据题意画Venn图，如图所示. 所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}. 法二：因为M∩(∁UN)＝{3，5}， 所以3∈M，5∈M且3∉N，5∉N. 因为(∁UM)∩N＝{7，19}， 所以7∈N，19∈N且7∉M，19∉M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又因为(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}， 所以2，17∉M，2，17∉N. 所以∁U(M∪N)＝{2，17}， 所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知全集U＝R，集合A＝{x｜－5＜x＜5}，B＝{x｜0≤x＜7}. 求：(1)A∩B； 解：如图①. (1)A∩B＝{x｜0≤x＜5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)A∪B； 解：(2)A∪B＝{x｜－5＜x＜7}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)A∪(∁UB)； 解：(3)如图②. ∁UB＝{x｜x＜0，或x≥7}， ∴A∪(∁UB)＝{x｜x＜5，或x≥7}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (4)B∩(∁UA)； 解：(4)如图③. ∁UA＝{x｜x≤－5，或x≥5}， B∩(∁UA)＝{x｜5≤x＜7}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (5)(∁UA)∩(∁UB). 解：(5)∵∁UB＝{x｜x＜0，或x≥7}， ∁UA＝{x｜x≤－5，或x≥5}，∴如图④， (∁UA)∩(∁UB)＝{x｜x≤－5，或x≥7}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(1)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜x＝2a，a∈A}，求集合∁U(A∪B)； 解：(1)因为全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，B＝{x｜x＝2a，a∈A}＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，所以集合∁U(A∪B)＝{0，3，5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)已知集合A＝{x｜x≤a}，B＝{x｜1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围. 解：(2)因为∁RB＝{x｜x＜1，或x＞2}，且A∪(∁RB)＝R，所以{x｜1≤x≤2}⊆A，所以a≥2. 故实数a的取值范围是a≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.设全集U＝R，集合A＝{x｜x≤1，或x≥3}，集合B＝{x｜k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠⌀，则(　　) A.k＜0或k＞3 B.2＜k＜3 C.0＜k＜3 D.－1＜k＜3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 ∵A＝{x｜x≤1，或x≥3}， ∴∁UA＝{x｜1＜x＜3}. 若B∩(∁UA)＝⌀， 则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3， ∴若B∩(∁UA)≠⌀，则0＜k＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝⌀，则下列结论中正确的是(　　) A.M∩(∁RN)＝⌀ B.M∪(∁RN)＝R C.(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D.(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 ∵N∩(∁RM)＝⌀， ∴N⊆M， 若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠⌀，故A错误； 由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确； 由N⊆M可得(∁RN)⊇(∁RM)，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知U为全集，集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}.若B∪(∁UB)＝A，则∁UB＝　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {}或{－}或{3} 13 ∵B∪(∁UB)＝A，∴U＝A. ∴x2∈A， ∴x2＝3，或x2＝x，解得x＝±或x＝0或x＝1. 当x＝时，B＝{1，3}，A＝{1，3，}， ∴∁UB＝{}； 当x＝－时，B＝{1，3}，A＝{1，3，－}， ∴∁UB＝{－}； 当x＝0时，B＝{1，0}，A＝{1，3，0}，∴∁UB＝{3}； 当x＝1时，B＝{1，1}，不符合集合元素的互异性，舍去. 综上所述，∁UB＝{}或{－}或{3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示为由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若M＝{2，3，6}，则∁UM表示的6位字符串为　　　　　； (1)由已知得，∁UM＝{1，4，5}， 则∁UM表示的6位字符串为100110. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100110 13 (2)已知A＝{1，3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是　　　　　. (2)由题意可知A∪B＝{1，3，6}，而A＝{1，3}，B⊆U， 则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 12.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x｜x2＋px＋4＝0}，求∁UA. 解：由已知得A⊆U.当A＝⌀时，方程无实数解，此时Δ＝p2－16＜0，－4＜p＜4，所以∁UA＝∁U⌀＝U. 当A≠⌀时，设方程x2＋px＋4＝0的两根分别是x1，x2，x1∈U，x2∈U. 因为x1x2＝4，所以只可能有以下情形： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①当x1＝x2＝2时，p＝－4，此时A＝{2}，∁UA＝{1，3，4，5}； ②当x1＝1，x2＝4时，p＝－5，此时A＝{1，4}，∁UA＝{2，3，5}. 综上所述，当－4＜p＜4时，∁UA＝{1，2，3，4，5}； 当p＝－4时，∁UA＝{1，3，4，5}； 当p＝－5时，∁UA＝{2，3，5}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜a≤x≤a＋3}. (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； 解：(1)因为A＝{x｜0≤x≤2}， 所以∁RA＝{x｜x＜0，或x＞2}. 因为(∁RA)∪B＝R， 所以解得－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a｜－1≤a≤0}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝⌀？ 解：(2)因为A∩B＝⌀， 所以a＞2或a＋3＜0，解得a＞2或a＜－3. 由(1)知，若(∁RA)∪B＝R，则－1≤a≤0， 故不存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝⌀. 13 $$