1.3.1 并集与交集-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.3　集合的基本运算 第一课时　并集与交集 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元1　集合的概念　集合间的基本关系　集合的基本运算 [学习目标]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.　2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算. 知识点1　并集的概念与性质 内容索引 知识点2　交集的概念与性质 课时作业 巩固提升 知识点3　根据并集与交集运算求参数范围 课堂达标·素养提升 3 知识点1　并集的概念与性质 1. 自然语言：由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称 为集合A与B的 .记作 （读作“ ”）. 2. 符号语言：A∪B＝ ⁠. 3. 图形语言：如图所示. 或　 并集　 A∪B　 A并B　 {x｜x∈A，或x∈B}　 4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A∪A＝A，A∪⌀＝⌀∪A＝A. 如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立. (1)设集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{－1，0，1，2，3}，求A∪B； [解]　(1)A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}. 例1 (2)设集合A＝{x｜－3＜x＜2}，集合B＝{x｜1＜x＜3}，求A∪B. [解]　(2)作数轴，如图. ∴A∪B＝{x｜－3＜x＜3}. 求集合并集的两种方法 1.定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解 或用Venn图表示出集合运算的结果. 2.数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到. 思维提升 1.已知集合A＝{x｜x－2＞3}，B＝{x｜2x－3＞3x－a}.求A∪B. 解：A＝{x｜x＞5}，B＝{x｜x＜a－3}. ①当a－3≤5，即a≤8时， A∪B＝{x｜x＜a－3，或x＞5}. ②当a－3＞5，即a＞8时，借助数轴(图略)， A∪B＝R. 跟踪训练 知识点2　交集的概念与性质 1. 自然语言：由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称 为集合A与B的 ，记作 （读作“ ”）. 2. 符号语言：A∩B＝ ⁠. 3. 图形语言：如图所示. 4.运算性质：A∩B＝B∩A，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A∩A＝A，A∩⌀＝⌀∩A＝⌀.如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立. 且　 交集　 A∩B　 A交B　 {x｜x∈A，且x∈B}　 (1)已知集合M＝{(x，y)｜x＋y＝2}，N＝{(x，y)｜x－y＝4}，那么集合M∩N＝(　　) A.x＝3，y＝－1　　　　 B.(3，－1) C.{3，－1} D.{(3，－1)} (1)由已知得M∩N＝{(x，y)｜x＋y＝2，且x－y＝4}＝{(3，－1)}. 例2 D (2)已知集合M＝{x｜－2≤x＜2}和N＝{y｜y＝2k－1，k∈Z}的关系Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(　　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 B (2)由题意得，阴影部分所示的集合为M∩N，由N＝{y｜y＝2k－1，k∈Z}知N表示奇数集合，又由M＝{x｜－2≤x＜2}得，在－2≤x＜2内的奇数为－1，1. 所以M∩N＝{－1，1}，共有2个元素. 交集运算的关注点 1.求集合交集的运算类似于并集的运算，常用定义法与数形结合法． 2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 思维提升 2.设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x∈N｜－2＜x＜2}，则A∩B＝　　　　　. 由题意知B＝{x∈N｜－2＜x＜2}＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}. 跟踪训练 {0，1} 知识点3　根据并集与交集运算求参数范围 A∩B＝A⇔ ，A∪B＝A⇔ . A⊆B B⊆A 已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a，且a＞0}. (1)若A∪B＝B，求a的取值范围； [分析]　(1)将A∪B＝B转化成A⊆B，再借助数轴解决. 例3 [解](1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴(如图). 观察数轴可知所以≤a≤2. 经检验端点可知符合题意，故a的取值范围为. (2)若A∩B＝{x｜3＜x＜4}，求a的值. [分析]　(2)利用数轴将A∩B及A表示出来，观察求解. [解] (2)画出数轴(如图)，A∩B＝{x｜3＜x＜4}. 观察图形可知即a＝3. [变条件]　在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x｜3＜x＜4}”变为“A∩B＝⌀”，求实数a的取值范围. 解：由于A∩B＝⌀，结合数轴(图略)得a≥4或3a≤2. 又因为a＞0，所以a≥4或0＜a≤. 故实数a的取值范围是. 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤 1.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． 2.将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)的问题求解． 3.解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 思维提升 3.设集合M＝{x｜－2＜x＜5}，N＝{x｜2－t＜x＜2t＋1，t∈R}.若M∩N＝N，则实数t的取值范围为　　　　. 跟踪训练 {t｜t≤2} 由M∩N＝N，得N⊆M. 当N＝⌀，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立； 当N≠⌀时，由图得 解得＜t≤2. 综上可知，所求实数t的取值范围为{t｜t≤2}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝(　　) A.{x｜x＜－5，或x＞－3} B.{x｜－5＜x＜5} C.{x｜－3＜x＜5} D.{x｜x＜－3，或x＞5} A 如图，作数轴. 可得M∪N＝{x｜x＜－5，或x＞－3}. 2.若集合A＝{x｜－5＜x＜2}，B＝{x｜－3＜x＜3}，则A∩B＝(　　) A.{x｜－3＜x＜2}　　　 B.{x｜－5＜x＜2} C.{x｜－3＜x＜3} D.{x｜－5＜x＜3} A 在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x｜－3＜x＜2}. 3.已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，4}，若A∪B＝{1，2，3，4}，则实数m＝　　　　. ∵集合A＝{1，2，m}，B＝{2，4}，且A∪B＝{1，2，3，4}，∴m＝3. 3 4.若集合A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝{x｜x≤a}，若A∩B≠⌀，则实数a的取值范围是　　 　　. A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝{x｜x≤a}， 由A∩B≠⌀，得a≥－1. {a｜a≥－1} 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知集合A＝{x｜0≤x－1＜3}，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A.{1，2}　　　　　　　 B.{1，2，3} C.{1，2，3，4} D.{1，2，3，4，5} A＝{x｜0≤x－1＜3}＝{x｜1≤x＜4}，所以A∩B＝{1，2，3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 2.已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x｜x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　) A.{0} B.{0，3} C.{1，3，9} D.{0，1，3，9} 由于M＝{0，1，3}， 所以N＝{x｜x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}， 故M∪N＝{0，1，3，9}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 3.已知M＝{(x，y)｜3x＋2y＝1}，N＝{(x，y)｜2x＋y＝2}，那么集合M∩N＝(　　) A.x＝3，y＝－4 B.(3，－4) C.{－3，－4} D.{(3，－4)} ∵M，N的元素均为直线上的点， ∴M，N的交集为3x＋2y＝1与2x＋y＝2的交点. 即M∩N＝{(3，－4)}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 4.(多选)已知集合A＝{x｜－2≤x≤3}，集合B满足A∩B＝A，则B可能为(　 　) A.{x｜－3＜x≤8} B.{x｜－2＜x＜3} C.{x｜－2≤x≤4} D.{x｜－3≤x≤3} 因为集合B满足A∩B＝A，所以A⊆B， 结合选项知，B可能为A，C，D中的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 14 5.满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有的集合A为 　 　　　　　　. 由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A⊆{1，3，5}， 且A中至少有一个元素为5，所以它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5} 13 14 6.已知M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为　　　　. ∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4. 当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意. ∴a＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 14 7.已知A＝{x｜a＜x≤a＋8}，B＝{x｜x＜－1，或x＞5}.若A∪B＝R，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：在数轴上表示出集合A，B，如图所示. 要使A∪B＝R，则 解得－3≤a＜－1. 所以实数a的取值范围是{a｜－3≤a＜－1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.设A＝{x｜x≤1，或x≥3}，B＝{x｜a≤x≤a＋1}.A∩B＝B，求a的取值范围. 解：由于A＝{x｜x≤1，或x≥3}， B＝{x｜a≤x≤a＋1}，且A∩B＝B，∴B⊆A. 则有a＋1≤1或a≥3， 解得a≤0或a≥3， 所以a的取值范围是{a｜a≤0，或a≥3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.如图，图中阴影部分表示的是(　　) A.(A∪C)∩(B∪C) B.(A∪B)∩(A∪C) C.(A∪B)∩(B∪C) D.(A∪B)∩C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 图中阴影部分表示元素满足： 是C中的元素，或者是A与B的公共元素，故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为(A∪C)∩(B∪C). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知集合A＝{(x，y)｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 11.设集合A＝{0，3}，B＝{m＋2，m2＋2}.若A∩B＝{3}，则集合A∪B的子集的个数为　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 13 14 集合A＝{0，3}，B＝{m＋2，m2＋2}，若A∩B＝{3}， ∴m2＋2＝3或m＋2＝3， 解得m＝1或m＝－1，当m＝1时，不满足，∴m＝－1，∴B＝{1，3}， ∴A∪B＝{0，1，3}， ∴集合A∪B的子集有23＝8(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.设A＝{x｜2x2－px＋q＝0}，B＝{x｜6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若 A∩B＝，则p＋q＝　　　　，A∪B＝　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －11 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可得∈A，∈B， ∴解得 ∴p＋q＝－11. ∴集合A＝{x｜2x2＋7x－4＝0}＝， B＝{x｜6x2－5x＋1＝0}＝， 故A∪B＝. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.设集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2－x＋1}，求A∪B. 解：首先由集合A中元素的互异性，知x≠1且x≠3，由集合B中元素的互异性知x≠0且x≠1，在此条件下： 若x2－x＋1＝3，即x＝－1或x＝2，则A∪B＝{1，3，x}； 若x2－x＋1＝x，即x＝1，与条件矛盾. 综上，当x＝－1时，A∪B＝{1，3，－1}； 当x＝2时，A∪B＝{1，3，2}； 当x≠－1且x≠2且x≠0且x≠1且x≠3时，A∪B＝{1，3，x，x2－x＋1}. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.已知A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a使集合A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)⌀ (A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：假设存在实数a使A，B满足条件， 由题意得B＝{2，3}. ∵A∪B＝B，∴A⊆B， 即A＝B或AB.又A≠B，∴AB. 又⌀ (A∩B)，∴A≠⌀， 即A＝{2}或{3}. 当A＝{2}时，将x＝2代入A中方程得a2－2a－15＝0. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即a＝－3或a＝5. 当a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去； 当a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{2}矛盾，舍去. 当A＝{3}时，将x＝3代入A中方程得a2－3a－10＝0， 即a＝－2或a＝5. 当a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去； 当a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{3}矛盾，舍去. 综上所述，不存在实数a使集合A，B满足条件. 13 14 $$