1.2 集合间的基本关系-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元1　集合的概念　集合间的基本关系　集合的基本运算 [学习目标]　1.通过类比，理解两个集合的包含关系.　2.利用Venn图来帮助理解集合的包含关系.　3.理解空集与子集、真子集之间的关系.　4.能通过相关计算明确集合之间的包含或相等关系. 知识点1　子集与Venn图 内容索引 知识点2　集合相等 课时作业 巩固提升 知识点3　真子集与空集 课堂达标·素养提升 3 知识点1　子集与Venn图 1. 子集概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都 是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 ⁠ 记法 与读法 记作 （或 ），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 图示 或 结论 (1) 任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 子集　 A⊆B　 B⊇A　 2.Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的 代表集合，这种图称为Venn图. 内部 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； [分析]　搞清集合A与集合B中元素的特征性质，利用子集概念判断. [解]　(1)A的元素是数，B的元素是有序实数对.无包含关系. 例1 (2)A＝{2，3，6}，B＝{x｜x是12的约数}； [分析]　搞清集合A与集合B中元素的特征性质，利用子集概念判断. [解]　(2)A的元素2，3，6都是12的约数，故它们都属于集合B，即A⊆B. (3)A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}. [分析]　搞清集合A与集合B中元素的特征性质，利用子集概念判断. [解]　(3)等边三角形三边相等，等腰三角形只需两边相等.即A⊆B. 判断集合间关系的常用方法 思维提升 1.已知A＝{x｜x是正数}，B＝{x｜x是正整数}，C＝{x｜x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C　　　　　　 B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A＝B⊆C 集合A，B，C的关系如图.所以B⊆A⊆C. 跟踪训练 B 知识点2　集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的 任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .⁠ 也就是说，若 ，且 ，则A＝B. A＝B　 A⊆B　 B⊆A　 (1)下列等式成立的是(　　) A.{1，2，3}＝{2，1，3} B.{(1，2)}＝{2，1} C.{(1，2)}＝{(2，1)} D.{(x，y)｜x＋y＝1}＝{y｜x＋y＝1} [分析]　看元素特征、元素是否相同. 例2 A (1)选项A，{1，2，3}＝{2，1，3}，正确； 选项B，C元素不相同，错误； 选项D，集合中元素分别是点与数，错误. (2)已知集合M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，集合N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　　. [分析]　看元素特征、元素是否相同. (2)由于N＝{x｜x＝3(n＋1)－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以M＝N. M＝N 1.当两个集合中的元素个数较少时，判断两个集合相等，即判断两个集合中的元素是否完全相同，若是，则两个集合相等. 2.当两个集合用描述法表示时，主要观察集合中元素的表达形式是否具有共同特征. 思维提升 2.下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　) A.{y｜y＝2}　　　　　 B.{x＝2} C.{2} D.{x｜x2－4x＋4＝0} 对于选项A，C，D中的集合，元素都是实数2，而选项B中的集合的元素是等式x＝2，因此选项B不同于另外三个. 跟踪训练 B 知识点3　真子集与空集 1. 真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集 合B的 ⁠ 记法 记作 (或________) 结论 （1）A B且B C，则 ； （2）A⊆B且A≠B，则________ 真子集　 A　 　B　 B　  　 A　 A　  　C　 A　  　B　 2. 空集 定义 把不含任何元素的集合叫做 ⁠ 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的子集，即 ⁠ 特性 （1）空集只有一个子集，即它的本身， ⁠； （2）若A≠⌀，则________ 空集　 ⌀⊆A　 ⌀⊆⌀　 ⌀　  　 A　 若集合M＝，集合N＝，则(　　) A.M＝N　　　　　　 B.N⊆M C.M N D.以上均不对 [分析]　将集合中元素的特征形式变形，再观察其异同点. 例3 C M＝{x｜＋，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}. N＝{x｜x＝＋，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}. 又2k＋1，k∈Z为奇数，k＋2，k∈Z为整数，所以M N. 1.真子集 (1)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个x∈B,但xA； (2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集. 思维提升 2．、{}、0与{0}的区别 (1)是不含任何元素的集合； (2){}表示集合{}含有一个元素是； (3)0不是一个集合而是一个元素； (4){0}是含有一个元素的集合，{0}． 3.下列各组关系正确的是　　　　　. ①{a}⊆{a} ②⌀{0} ③0⊆{0} ④{1}{x｜x≤2} ⑤{1，2}{2，3} 跟踪训练 ①②④ ①{a}＝{a}，∴{a}⊆{a}. ②⌀为任何非空集合真子集，{0}为非空集合.因此⌀{0}. ③0为元素，{0}为集合，应为0∈{0}. ④1符合x≤2，因此{1}{x｜x≤2}. ⑤1∈{1，2}，1∉{2，3}，因此集合{1，2}不是集合{2，3}的子集. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知集合M＝{x｜y2＝2x}和集合P＝{(x，y)｜y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　) A.M⊆P　　　　　　　 B.P⊆M C.M＝P D.M，P互不包含 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含. D 2.下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{0} B.{x｜x＞8，且x＜5} C.{x∈N｜x2－1＝0} D.{x｜x＞4} 不存在同时满足大于8且小于5的实数，故选项B是空集. B 3.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝　　　　. ∵B⊆A，B＝{3，4}，A＝{－1，3，m}，∴4∈A， ∴m＝4. 4 4.设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x｜x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝　　　　，b＝　　　　. A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0， 得x＝0或a或b，若A＝B，则a＝0，b＝1. 0 1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知集合A＝{1，2，3}，则下列集合是集合A的真子集的是(　　) A.{1，2，3}　　　　　　　 B.{2，3} C.{－1，2，3} D.{1，2，3，4} 由真子集的定义知，{2，3}是集合A的真子集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 15 2.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 15 由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.现有以下三组集合： ①{a，b}和{b，a}； ②{1，0}和{(1，0)}； ③{y｜y＝x2，x∈R}和{x｜y＝x2，x∈R}. 其中，满足集合相等的有(　　) A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 15 ①中两集合含有相同的元素，故这两个集合相等；②中集合{1，0}含有两个元素1，0，而集合{(1，0)}中只有一个元素(1，0)，这两个集合不相等；③中两集合都是用描述法表示的，代表元素不一样，这两个集合不相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知集合M＝{x∈Z｜－＜x＜}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A.P＝{－3，0，1} B.Q＝{－1，0，1，2} C.R＝{y∈Z｜－π＜y＜－1} D.S＝{x∈N｜｜x｜≤} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 15 集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0，1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于　　　 　. ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2或－1 13 14 15 6.已知集合A＝{x｜x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝　　　 　.若集合B满足{0} B⊆A，则集合B＝　　 　　. 因为解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0， 所以集合A＝{x｜x2＋x＝0，x∈R}＝{－1，0}. 因为集合B满足{0} B⊆A， 所以集合B＝{－1，0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {－1，0} {－1，0} 13 14 15 7.指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜0＜x＜5}； 解：(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)A＝{x｜x＝2n，n∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}； 解：(2)∵A是偶数集，B是4的倍数集， ∴BA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)A＝{x｜x2－x＝0}，B＝. 解：(3)A＝{x｜x2－x＝0}＝{0，1}.在B中，当n为奇数时，x＝＝0， 当n为偶数时，x＝＝1， ∴B＝{0，1}，∴A＝B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋1＝0}，若B≠⌀，B⊆A，求a的值. 解：当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1； 当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1； 当B＝{－1，1}时，不成立. 故a＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.若集合A＝{x｜x2＋x－6＝0}，B＝{x｜x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：A＝{－3，2}.对于x2＋x＋a＝0， 当Δ＝1－4a＜0，即a＞时，B＝⌀，B⊆A成立； 当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝，B⊆A不成立； 当Δ＝1－4a＞0，即a＜时，若B⊆A成立，则B＝{－3，2}，所以a＝－3×2＝－6. 综上可知，a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [B组　关键能力练] 10.若x，y∈R，A＝{(x，y)｜y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　　) A.AB B.A B C.A＝B D.A⊆B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 15 ∵B＝＝{(x，y)｜y＝x，且x≠0}，∴A B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.若集合A＝{x∈N｜x2＜24}，B＝{a}，B⊆A，则a的最大值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 15 因为自然数集中只有x＝0，1，2，3，4满足x2＜24， 所以A＝{x∈N｜x2＜24}＝{0，1，2，3，4}，又因为B＝{a}⊆A，所以a∈{0，1，2，3，4}，a的最大值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知集合M＝，N＝{x｜x＝n＋，n∈Z}，则集合M与集合N的关系是　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 NM 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵N＝＝， ∴NM. 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知集合A＝{x｜x＜－1，或x＞2}，B＝{x｜4x＋p＜0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　　　. {p｜p≥4} 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 集合A＝{x｜x＜－1，或x＞2}， B＝{x｜4x＋p＜0}＝， 若B⊆A，则－≤－1，p≥4， 则实数p的取值范围是{p｜p≥4}. 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.设集合A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜ax－1＝0}. (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； 解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA. 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若B⊆A，求实数a的取值集合. 解：(2)当B＝⌀时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠⌀时，a≠0，集合B＝，由B⊆A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.综上所述，实数a的取值集合为. 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15.已知集合P＝{x∈R｜x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R｜(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由. 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：能.①当P＝⌀时，方程x2－3x＋m＝0无实数根， 即Δ＝9－4m＜0，所以m＞. ②当P≠⌀时，因为Q＝{－1，－4，1}， 所以a.当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，此时P＝{4，－1}，不是Q的一个子集； b.当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，此时P＝{－4，7}，不是Q的一个子集； 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 c.当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，此时P＝{1，2}，不是Q的一个子集. 综上可知，P成为Q的一个子集时，m的取值范围是. 13 14 15 $$