1.1.2 集合的表示方法-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元1　集合的概念　集合间的基本关系　集合的基本运算 1.1　集合的概念 第二课时　集合的表示方法 [学习目标]　1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).　2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 知识点1　列举法 内容索引 知识点2　描述法 课时作业 巩固提升 知识点3　集合表示方法的选择 课堂达标·素养提升 知识点4　集合表示方法的综合应用 3 知识点1　列举法 把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 一一列举 用列举法表示下列集合： (1)直线y＝2x＋2 024与y轴的交点所组成的集合； [分析]　准确理解给定集合中元素的特征，再用列举法表示集合. [解]　(1)将x＝0代入y＝2x＋2 024，得y＝2 024，即直线与y轴的交点是(0，2 024)，故直线与y轴的交点组成的集合是{(0，2 024)}. 例1 (2)不大于8的正整数构成的集合； [分析]　准确理解给定集合中元素的特征，再用列举法表示集合. [解]　(2)不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为{1，2，3，4，5，6，7，8}. (3)15的正约数组成的集合. [分析]　准确理解给定集合中元素的特征，再用列举法表示集合. [解]　(3)15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为{1，3，5，15}. 1.列举法表示集合的三个步骤： (1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来. 2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 思维提升 1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的质数组成的集合A； 解：(1)因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以A＝{2，3，5，7}. 跟踪训练 (2)方程x2＋2x＋1＝0的解组成的集合B； 解：(2)方程x2＋2x＋1＝0的两个根为x1＝x2＝－1，所以方程x2＋2x＋1＝0的解组成的集合B＝{－1}. (3)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解组成的集合C； 解：(3)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3， 所以集合C＝{(2，－3)}. (4)直线y＝x＋2与直线y＝－2x＋5的交点组成的集合D. 解：(4)由得 所以直线y＝x＋2与直线y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}. 知识点2　描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 ⁠ 的元素x所组成的集合表示为 ⁠，这种表示集合的方法 称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P（x）}或 {x∈A；P（x）}. 共同特征P（x）　 {x∈A｜P（x）}　 用描述法表示下列集合： (1)比1大且比10小的实数组成的集合； [解]　(1)可以表示成{x｜1＜x＜10，且x∈R}. 例2 (2)不等式3x＋4≥2x的所有解组成的集合； [分析]　(2)将一元一次不等式解出； [解]　(2)可以表示成{x｜3x＋4≥2x}，即{x｜x≥－4}. (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； [分析]　 (3)集合中元素为点； [解]　(3)第二象限点(x，y)满足x＜0，y＞0. 所以集合为{(x，y)｜x＜0，且y＞0}. (4)正奇数集M. [分析]　 (4)中将正奇数用数学语言表示. [解]　(4)设x∈M，故全体奇数可用式子x＝2n＋1，n∈Z表示，但此题要求为正奇数，故n∈N，所以正奇数集M＝{x｜x＝2n＋1，n∈N}. 利用描述法表示集合应注意三点 1.写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}. 2.所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z. 3.不能出现未被说明的字母. 思维提升 2.(1)(多选)下列用描述法表示的集合，正确的是(　　 ) A.奇数集可以表示为{x∈Z｜x＝2k＋1，k∈Z} B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x｜x＜10} C.{x｜x＞2}表示大于2的全体实数 D.不等式x2－1＞0的解集表示为{x｜x2－1＞0} 跟踪训练 ACD (1)B中，{x｜x＜10}表示“小于10的实数”，“小于10的整数”构成的集合表示为{x｜x＜10，且x∈Z}.其余的全正确. (2)图中阴影部分(含边界)的点组成的集合B用描述法表示为B＝　　　 　. {(x，y)｜－1≤x≤3，且0≤y≤3} (2)设集合B中的代表元素是(x，y). 由题意，－1≤x≤3，且0≤y≤3， 因此所求集合B＝{(x，y)｜－1≤x≤3，且0≤y≤3}. 知识点3　集合表示方法的选择 集合的常用表示方法有 、 . 列举法 描述法 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； [解]　(1)用描述法表示为{x｜2＜x＜5，且x∈Q}. 例3 (2)24的正因数组成的集合； [解]　(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}. (3)自然数的平方组成的集合； [解]　(3)用描述法表示为{x｜x＝n2，n∈N}. (4)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； [解]　(4)用描述法表示该集合为{(x，y)｜y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}. (5)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合. [解]　(5)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}. 集合的表示方法的选取原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法． 思维提升 3.用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； 解：(1)解方程组得 故方程组的解集可用列举法表示为{(4，－2)}. 跟踪训练 (2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合； 解：(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为x1＝x2＝1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R｜x2－2x＋1＝0}. (3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合； 解：(3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，故可用描述法表示为{y｜y＝x2＋2x－10}. (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合. 解：(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中， 代表元素为(x，y)，故可用描述法表示为{(x，y)｜y＝x2＋2x－10}. 知识点4　集合表示方法的综合应用 　已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}.若集合A中只有一个元素，求实数a的值组成的集合. [分析]　关于方程与集合的关系：用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根. 例4 [解]　当集合A中只有一个元素时： 当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意； 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝，所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素. 故实数a的值组成的集合为. [变条件]　在本例条件下，若A中含有二个元素，求a的取值范围. 解：当集合A中有两个元素时，由题意得，当即a＜且a≠0时，方程有两个实根，所以若集合A中含有二个元素，实数a的组成的集合是. 根据已知的集合求参数的关注点 1.集合中元素的个数即为方程的根的个数． 2.解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论. 思维提升 4.已知A＝{x｜x2＋px＋q＝x}，B＝{x｜(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B. 跟踪训练 解：因为A＝{x｜x2＋px＋q＝x}＝{2}， 所以方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x1＝x2＝2， 由根与系数的关系得 所以 所以B＝{x｜(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x｜x2－6x＋5＝0}＝{1，5}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.大于1且小于10的奇数构成的集合为(　　) A.{1，3，5，7，9}　 B.{3，5，7，9} C.{2，4，6，8} D.{2，3，5，7} 大于1且小于10的奇数有3，5，7，9. B 2.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.0与{0}表示同一个集合 B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C.方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2} D.集合{x｜4＜x＜5}可以用列举法表示 BC A中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故A错误；根据集合中元素的无序性可知B正确；根据集合中元素的互异性可知C正确；D不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举. 3.若集合A＝{x｜mx2＋2x＋2＝0}中有两个元素，则实数m的取值范围为　　　　　　 　　. 由题意，得m≠0且Δ＝22－4m×2＞0，解得m＜且m≠0. {m｜m＜，且m≠0} 4.用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N｜y＝－x2＋8}为 　 　　　　　　　. 由已知得集合D为点集，x∈N，y∈N， 当x＝0时，y＝8；当x＝1时，y＝7； 当x＝2时，y＝4. 若x≥3，则y＝8－x2＜0，不合题意. 所以集合D＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}. {(0，8)，(1，7)，(2，4)} 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.集合{x∈N*｜x－2≤1}的另一种表示法是(　　) A.{0，1，2，3}　　　　　 B.{1，2，3} C.{0，1，2，3，4} D.{1，2，3，4} 因为x－2≤1，x∈N*，所以x≤3，x∈N*，从而x＝1，2，3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 2.对集合用描述法来表示，其中正确的是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 A，B中x可以表示负数，C中没有元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.下列各组集合中，表示同一个集合的是(　　) A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B.M＝{3，2}，N＝{2，3} C.M＝{(x，y)｜x＋y＝1}，N＝{y｜x＋y＝1} D.M＝{(1，2)}，N＝{1，2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 选项A，两个集合中的元素是有序数对，显然元素不同；选项C，集合M表示的是直线x＋y＝1上的点，而集合N表示的是直线x＋y＝1上的点的纵坐标，不是同一个集合；选项D，集合M中的元素是有序数对，而集合N中的元素是实数，不是同一个集合；选项B，两个集合都表示由2，3这两个元素构成的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)下列说法错误的是(　　) A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)｜xy＞0} B.方程＋｜y＋2｜＝0的解集为{－2，2} C.{x｜x＜－8，且x＞－5}中的元素个数为0 D.若A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 A项，第一象限内的点(x，y)满足x＞0，y＞0，第三象限内的点(x，y)满足x＜0，y＜0，故A正确；B项，方程的解为故解集为{(2，－2)}，故B错误，C项正确；D项，A＝{－1，0，1}，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.若集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{y｜y＝x－1，x∈A}，用列举法表示集合B＝　　　 　　. 由于x∈A，当x＝1时，y＝0； 当x＝2时，y＝1； 当x＝3时，y＝2； 当x＝4时，y＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {0，1，2，3} 13 6.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}　　　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写 出一个含三个元素的可倒数集　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 不是 (答案不唯一) 13 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合； 解：(1)x2－9＝0，x＝3或－3.故组成的集合为{－3，3}. (2)不等式4x－5＜3的解集. 解：(2)4x－5＜3，解得x＜2，故解集为{x｜x＜2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.故B中的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，则实数k的值组成的集合为(　　) A.{1} B.{4} C.{0，1} D.{2，4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 ①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，即A＝{2}，满足题意；②当k≠0时，要使集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.设y＝x2－ax＋b，A＝{x｜y－x＝0}，B＝{x｜y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，则用列举法表示集合B为　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {－3－2，－3＋2} 13 集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0. 因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1. 由根与系数的关系， 得 解得 所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2， 所以B＝{－3－2，－3＋2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a的值为　　　　；若2∉{x｜x－a＞0}，则实数a的取值范围是　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0或1 {a｜a≥2} 13 因为－3∈A，所以a－3＝－3，或2a－1＝－3，或a2－4＝－3. ①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意. ②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时a2－4＝2a－1＝－3，不满足集合中元素的互异性. ③若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，A＝{－2，1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意. 综上可知，a＝0或1. 因为2∉{x｜x－a＞0}，所以2不满足不等式x－a＞0， 即2满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a｜a≥2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知A＝{x｜3x2－mx＋2m＜0}. (1)若3∈A，求m的取值范围； 解：(1)由3∈A，得27－3m＋2m＜0， 解得m＞27， 所以m的取值范围为{m｜m＞27}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若0∈A且1∈A，求m的取值范围. 解：(2)因为0∈A，且1∈A， 所以解得m＜－3， 所以m的取值范围为{m｜m＜－3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.用列举法把下列集合表示出来： (1)A＝； 解：(1)当x分别取0，6，8这三个自然数时，得＝1，3，9，也是自然数. ∴A＝{0，6，8}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)B＝； 解：(2)由(1)知，B＝{1，3，9}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)C＝{y∈N｜y＝－x2＋6，x∈N}； 解：(3)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，知y≤6且y∈N， ∴x＝0，1，2时，y＝6，5，2符合题意. ∴C＝{2，5，6}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； 解：(4)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有： ∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (5)E＝. 解：(5)依题意知p＋q＝5，p∈N，q∈N*，则 又x要满足条件x＝， ∴E＝. 13 $$