1.1.1 集合的概念-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 　　集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后面的学习中将越来越多地应用它.关于集合的学习，其重点是集合的基本概念及集合的有关运算，难点是有关集合的各个概念的含义及这些概念的区别与联系，建议同学们一是多举具体例子来理解抽象概念，二是明白概念的本质. 关于常用逻辑用语的学习，其重点是充要条件与全称量词命题与存在量词命题的理解，难点是以数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断或寻求充要条件的成立性问题. 本章是同学们进入高中阶段数学学习的起始章，概念多、符号多、专用字母多、概念与概念间逻辑性强，与初中相比，抽象性、逻辑性要求较高，因此要在理解的基础上熟记数学符号、数学概念，注重初中知识的复习、注重数形结合思想与分类讨论思想的应用. 　　集合论是19世纪70—80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上.所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待.例如，在集合论中用N＝{n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此.需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念.所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待.例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…. 集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和 发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受.实数理论奠定在集合论的基础上，各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，并且各种数学理论都可以“嵌入”集合论之内，因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展.现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念. $$ 1.1　集合的概念 第一课时　集合的概念 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元1　集合的概念　集合间的基本关系　集合的基本运算 [学习目标]　1.通过实例了解集合与元素的含义.　2.能利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.　3.识记常用数集的表示符号. 知识点1　集合的概念 内容索引 知识点2　集合相等 课时作业 巩固提升 知识点3　元素与集合之间的关系及常用数集 课堂达标·素养提升 3 知识点1　集合的概念 1. 一般地，我们把研究对象统称为 ⁠，把一些元素组成的总体叫 做 (简称为集). 2. 集合中元素的特性： 、 、无序性. 我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c，…表示集合中的元素. 元素　 集合　 确定性　 互异性　 例1 (多选）下列所给对象的全体能构成集合的是(　　 ) A.中国古代四大发明 B.漂亮的花 C.方程x2＋2x＋1＝0的实数根 D.地球上的小河道 B，D中对象不确定.A，C能构成集合，二者有确定的判断标准. AC 判断一组对象能构成集合的条件 1.能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素. 2.任何两个对象都是不同的. 思维提升 1.(多选)下列所给对象能构成集合的是(　　) A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B.高中数学必修第一册课本上的所有难题 C.著名的艺术大师 D.某校高一年级的16岁以下的学生 跟踪训练 AD A，D能构成集合，二者有确定的判断标准.A中元素是“到原点的距离等于1的点”，D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.B，C项的对象不能构成集合，因为“难题”与“著名”标准不明确. 知识点2　集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是 的. 相等 设x是实数，集合A中只含有－1，｜x｜两个元素，集合B中含有x，x2两个元素，且集合A与集合B相等，则x＝　　　　　. [分析]　由题意，x＝－1且x2＝｜x｜，从而得解. 例2 －1 由两集合相等，可得， 集合B中一定含有－1这个元素， 因为x2≥0，所以x＝－1，符合条件. 判断两个集合相等的注意点 若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 思维提升 2.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝　　　　. 跟踪训练 1 由A和B相等的意义及a≠0， 得a＋b＝0，则＝－1， 因此b＝1，所以a＝－1， 故a＋2b＝1. 知识点3　元素与集合之间的关系及常用数集 1.元素和集合之间的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的关系 属于 a是集合A的 元素 ⁠ a属于集合A 不属于 a不是集合A 的元素 ⁠ a不属于集合A ∈　 ∉　 2. 常用数集及其记法 名 称 非负整数集 （或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记 法 ⁠ 或 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ N　 N*　 N＋　 Z　 Q　 R　 (1)下列结论中，不正确的是(　　) A.若a∈N，则－a∉N B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则a3∈R (1)当a＝0时，a∈N，－a∈N，故A不正确. 例3 A (2)已知集合A满足：若x∈A，则∈N且x∈N，则集合A中的元素为　　 　　. (2)由∈N，x∈N知x≥0，＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0，1，2.当x＝0时，＝2∈N；当x＝1时，＝3∈N；当x＝2时，＝6∈N.故集合A中的元素为0，1，2. 0，1，2 判断元素和集合关系的两种方法 1.直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现. 2.推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 思维提升 3.设集合B是小于的所有实数的集合，则2　　　　B，1＋　　　 B.(用符号“∈”或“∉”填空) 跟踪训练 ∉ ∈ ∵2＝＞，∴2∉B. ∵(1＋)2＝3＋2＜3＋2×4＝11， ∴1＋＜，∴1＋∈B. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列对象能组成集合的是(　　) A.的所有近似值 B.某个班级中学习好的所有同学 C.去年全国高考数学试卷中所有难题 D.屠呦呦实验室的全体工作人员 D D中的对象都是确定的，而且是不同的.A，B，C中对象不确定，都不能构成集合. 2.有下列说法： ①集合N中最小的数为1；②若－a∈R，则a∈R；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合. 其中正确的个数是(　　) A.0　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 B N中最小的数为0，所以①错误； 易知②正确； 若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错误； “小”的正数没有明确的标准，所以④错误. 3.由方程x2－2x－3＝0和x2－1＝0的根组成的集合中的元素的个数为　　　　. 解方程x2－2x－3＝0可得x＝－1或3，解方程x2－1＝0可得x＝－1或1，由于集合中的元素具有互异性，所以由两个方程的根组成集合中的元素的个数为3. 3 4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝　　　　，y＝　　　　. 1 0 由题意得或 解得或 又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下面给出的四类对象中，能构成集合的是(　　) A.某班视力较好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 A，B，C均不满足集合元素的确定性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 2.设不等式3－2x＜0的解组成的集合为M，下列关系中正确的是(　　) A.0∈M，2∈M　　 B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M ∵3－2x＜0，∴x＞，即M中元素大于.结合选项，可知B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 3.给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 为实数，不是有理数，－3为整数，－为无理数，则正确的为①④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 4.(多选)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　) A.2 B.6 C.4 D.0 当a＝2时，2∈A，6－2＝4∈A，满足条件； 当a＝4时，4∈A，6－4＝2∈A，满足条件； 当a＝6时，6∈A，6－6＝0∉A，不满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 5.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝　　　　；b＝　　　　. 因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A， 所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根. 所以所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －3 2 6.已知集合M含有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是　　　　(填序号). ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ② 依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3， 当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确； 当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确；③显然正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合. (1)0是否为集合A中的元素？ 解：(1)将x＝0代入方程，则02－0－5≠0， 所以0不是集合A中的元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若－5∈A，求实数a的值. 解：(2)若－5∈A，则(－5)2＋5a－5＝0， 所以5a＝－20，则a＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.(多选)下面说法不正确的是(　　 ) A.集合N中最小的数是0 B.若－a不属于N，则a属于N C.若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2 D.方程x2＋1＝2x的解组成的集合含有两个元素1，1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 因为集合N中最小的数是0，所以A说法正确；因为N表示自然数集，－0.5∉N，0.5∉N，所以B说法不正确；当a＝0，b＝0时，a＋b＝0＜2，所以C说法不正确；根据集合中元素的互异性知D说法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是(　 　) A.1 B.－2 C.－1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 若A中含有3个元素， 则即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则 a2 024＋b2 024的值为　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ∵由已知a≠0， ∴＝0，∴b＝0， 则集合A中的三个元素为a，0，1， 集合B中的三个元素为a2，a，0. ∴a2＝1，即a＝1或－1. 当a＝1时，不成立； 当a＝－1时，满足条件，此时，b＝0. ∴a2 024＋b2 024＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，M中元素个数为　　　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 当x＞0，y＞0，z＞0时，原式＝4； 当x＜0，y＜0，z＜0时，原式＝－4； 当x＞0，y＜0，z＜0时，原式＝0； 当x＞0，y＞0，z＜0时，原式＝0. ∴有3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0). 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明：(1)若2∈A， 则＝－1∈A. ∵－1∈A，∴＝∈A. ∴另有－1，两元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)集合A不可能是单元素集. 证明：(2)若A为单元素集. 则a＝，即a2－a＋1＝0， ∵Δ＝1－4＜0，无解， ∴A不可能为单元素集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$