4.1 数列的概念（第1课时 数列的概念与简单表示）课件-2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示 人教A版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类. 3.理解数列的函数特征,掌握判断数列单调性的方法. 4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　数列 1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做　　　　　.  数列中的数不能变换位置 　n为正整数 3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 首项 名师点睛 1.数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列. 2.符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)0,0,0,6不是一个数列.(　　) (2)数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列.(　　) 2.数列与集合之间有怎样的区别与联系? × × 提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性; (2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数; (3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项. 3.[人教B版教材习题]已知数列{an}为2,4,8,16,…,写出a1,a2,a3. 解 a1=2,a2=4,a3=8. 知识点2　数列与函数的关系 从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表: 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 对应关系 自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n) 值域 自变量从小到大依次取值时对应的函数值构成 过关自诊 1.数列对应的函数的图象有什么特点? 2.在1984年到2016年的9届夏季奥运会上,我国获得的金牌数依次排成数列:15,5,16,16,28,32,51,38,26.试画出该数列的图象. 提示 是一系列孤立的点. 解 该数列的图象如图所示. 知识点3　数列的分类 分类依据 类型 含义 按项的 个数 有穷数列 项数　　　　　的数列  无穷数列 项数　　　　　的数列  按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都　　　　它的前一项的数列  an+1>an 递减数列 从第2项起,每一项都　　　　它的前一项的数列  an+1<an 常数列 各项都　　　　　的数列  摆动数列 从第2项起,有些项　　　　　它的前一项,有些项 　　　　它的前一项的数列  有限 无限 大于 小于 相等 大于 小于 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(　　) (2)数列0,1,2,3,4,5是有穷数列.(　　) (3)常数列中的项不能为0.(　　) 2.若无穷数列{an}满足a1<a2<a3,则数列一定是递增数列吗? × √ × 提示 不一定,因为只有部分项满足递增数列的大小关系,不能确定数列一定是递增数列. 知识点4　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的　　　　　　　.  名师点睛 1.并不是所有的数列都有通项公式. 2.同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1, -1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等. 通项公式 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)所有的数列都有通项公式.(　　) (2)数列1,3,5,7,…的第10项是21.(　　) (3)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数解析式.(　　) (4)数列0,1,2,3,…的通项公式可表示为an=n-1,n∈N*.(　　) × × √ √ 2.[北师大版教材习题]已知数列{an}的通项公式为an=25-2n,在下列各数中,不是数列{an}的项的是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.3 C 解析 因为2n是偶数,所以25-2n为奇数,故2不是数列{an}的项. 重难探究·能力素养全提升 重难探究·能力素养全提升 探究点一　数列的概念及分类 【例1】 给出下列说法: ①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列; 其中正确说法的序号是　　　　　.  分析 根据数列的定义、分类进行判断. ③ 解析 对于①,错误,数列中的项数可以是有限的或无限的;对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确. 规律方法　数列类型的判断 在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限个还是无限个. 变式训练1下列数列既是递增数列又是无穷数列的是(　　) B 解析 A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列,但是该数列只有四项,是一个有穷数列,故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列. 探究点二　根据数列的前几项求通项公式 【例2】 写出下列数列的一个通项公式: 分析 观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系. 解 数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察, (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)9,99,999,9 999,…; 解 数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n-1). 解 各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的一个通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1. 解 数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通 解 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 (6)4,0,4,0,4,0,…. 解 由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式, 又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1. 规律方法　用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法 (2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等. 变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (2)an=2n+1. 探究点三　数列通项公式的应用 分析 数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;令an= ,解关于n的方程,可判断 是不是数列中的项. 规律方法　1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项. 变式训练3在数列{an}中,a1=2,a17=66,an是n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断88是不是数列{an}中的项. (2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N*, ∴88不是数列{an}中的项. 探究点四　数列的单调性及其应用 角度1.数列单调性判断 【例4】 已知数列{an}的通项公式an= (k∈R). (1)当k=1时,判断数列{an}的单调性; (2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围. 分析 (1)由于数列的通项公式已知,因此可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;(2)可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围. 规律方法　判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系. 变式训练4已知函数f(x)= ,设数列{an}的通项公式为an=f(n),其中n∈N*. (1)求证:0≤an<1; (2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由. 角度2.利用数列单调性求数列最大(小)项 【例5】 (1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*. ①数列中有哪些项是负数? ②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值. 分析①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出. 解 ①an=n2-5n-6<0,n>0,解得0<n<6. ∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6. (2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1) (n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由. 时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为 规律方法　求数列的最大(小)项的两种方法 (1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件. 变式训练5已知数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则数列{an}各项中最大项是(　　) A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项 C 解析 根据题意,数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则an-1=-3(n-1)2+88(n-1)=-3n2+94n-91,则an-an-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91.当1<n≤15时,an-an-1>0,即an>an-1,当n≥16时,an-an-1<0,即an<an-1,又a1=85<a15,故数列{an}各项中最大项是第15项.故选C. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数列的概念与分类. (2)根据数列的前几项写出数列的通项公式. (3)数列与函数的关系. (4)数列通项公式的应用. 2.方法归纳:观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区:(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不够全面;(2)不注意用(-1)n进行调节,不注意分子、分母间的联系;(3)分不清数列与集合,数列与函数之间的不同点. 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 17 18 19 20 21 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A.70 B.28 C.20 D.8 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n项为(　　) A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-2 B 解析 由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)= -(6n-1)=-6n+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5.[探究点二·2023陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为(　　) A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2n C.an=(-1)n+12n D.an=(-1)n2n B 解析 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故 an=(-1)n2n.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　) CD 解析 选项C,D既是无穷数列又是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.[探究点四(角度2)]已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　　.  673 又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.[探究点三]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象: (1)an=2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解 列表法给出这两个数列的前5项: n 1 2 3 4 5 an 2 2 2 2 2 bn 1 -4 3 -16 5 它们的图象分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式. (2)an=11-n; (3)an=n2+1; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11.[探究点三]已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4. (1)求a5. (2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项? (2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项. B级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是 (　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是( 　　) ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2 =1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确; 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.已知数列{an}的通项公式为an= ,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为　　　　　　.  (0,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=　　　　　,bn=　　　　　.  n-1 n2-3n+3　 解析 当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得, bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项? (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项? 解 (1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得 =1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项. (2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1, 解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项. C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为(　　) A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4 C 解析 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 是(　　) A.第43项 B.第44项 C.第45项 D.第46项 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)求数列的第7项. (2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. ∴0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ③数列,…是递减的无穷数列. A.-1,-2,-3,-4,… B.-1,-,-,-,… C.-1,-2,-4,-8,… D.5,6,7,8 (1),2,,8,,…; ,…,所以它的一个通项公式为an=. (4),…; (5)-,-,…; 项公式为an=. an=(-1)n·. 即an= (1)2,4,6,8; (2)3,5,9,17; (3); (4)7,77,777,7 777. 解 (1)an=2n+. (3)an=. (4)an=(10n-1). 【例3】 已知数列5,,5,…的通项公式是an=+c. (1)求a4,a5; (2)判断是不是该数列中的项. 解 (1)因为a1=5,a2=,a3=5, 所以解得所以an=+1.所以a4=+1=,a5=+1=. (2)令an=+1=,解得n=9或n=(舍去),因此,是该数列中的项,并且是该数列的第9项. 解 (1)设an=kn+b(k≠0),则解得∴an=4n-2. 解 (1)当k=1时,an=,所以an+1=,所以an+1-an=>0,故数列{an}是递增数列. (2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,即an+1-an=<0恒成立.因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0. 所以k的取值范围为(-∞,0). (1)证明由题意可知an=f(n)==1-,又因为n∈N*,所以0<≤1,因此0≤1-<1,即0≤an<1. (2)解 因为an+1-an=(1-)-(1-)=,又因为n+1>n≥1,所以>0,从而an+1-an>0,即an+1>an.因此{an}是递增数列. ②an=n2-5n-6=,当n=2或n=3时,an取得最小值,最小值为-12. 分析 数列{an}的通项公式计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项 解 (方法1)∵an+1-an=(n+2)·-(n+1),∴当n<9 第9,10项,即a9=a10=. (方法2)设ak(k>1)是数列{an}的最大项,则 即 整理,得得9≤k≤10,所以k=9或k=10.又a1=<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=. (2)可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项;利用不等式组(n>1)找到数列的最小项. 1.[探究点三]数列{an}中,若an=,则a4=(　　) A. B. C.2 D.8 解析 由an=可知16-2n>0,即n<8,所以a4=. 2.[探究点三]已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析 第5项为(-1)5×=-. 3.[探究点三]已知数列的通项公式an=则a2a3等于(　　) 解析 由an=得a2a3=2×10=20. 6.[探究点二、三](多选题)已知数列,2,,2,…,则下列说法正确的是 (　　) A.此数列的通项公式是 B.8是它的第32项 C.此数列的通项公式是 D.8是它的第4项 解析 数列,2,,2,…,即,…,则此数列的通项公式为,故A正确,C错误;令=8,解得n=32,故8是它的第32项,故B正确,D错误.故选AB. A.1,,…,,… B.sin,sin,sin,…,sin,… C.-1,-,-,-,…,-,… D.1,,…,,… 解析 由an=2 021-3n>0,得n<=673, (2)bn= (1)1,-,-,…. (2)10,9,8,7,6,…. (3)2,5,10,17,26,…. (4),…. (5)3,33,333,3 333,…. 解 (1)an=(-1)n+1; (4)an=; (5)an=(10n-1). 解 (1)由已知, 得解得所以an=n2-7n+6,所以a5=52-7×5+6=-4. 12.设an=+…+(n∈N*),则a2等于(　　) A. B. C. D. 解析 ∵an=+…+(n∈N*),∴a2=. 解析 因为an=-2n2+25n=-2·(n-)2+,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项. A.an= B.an=1+(-1)n+1 C.an=2 D.an= 解析 ∵an= ∵an=2s,∴a1=2=2,a2=2=0,a3=2=2,a4 =2=0,故C正确; ∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D错误. 15.[2023湖南长沙月考]数列{an}的通项公式an=若{an}是递增数列,则实数t的取值范围是(　　) A.[4,7) B. C.[,7) D.(1,7) 解析 因为数列{an}的通项公式an=若{an}是递增数列,则解得4≤t<7. 故选A. 解析 由数列{an}为递减数列可知an+1<an对n∈N*恒成立,即, 因此<0,即k>3-3n,因为n∈N*,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n的最大值为0,所以k>0. 18.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*). 即. 20.若数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则这个数列中的最大项 解析 设f(x)=(x>0),则f(x)=,又由x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44<<45,a44=<a45=,则数列中的最大项是第45项. 21.在数列{an}中,an=. (3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项? (1)解 a7=. (2)证明∵an==1-, (3)解 令,则<n2<2,n∈N*,故n=1,即在区间内有且只有1项a1. $$