3.1.1 与椭圆有关的轨迹问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关系式． 1、什么是轨迹？ 符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹． 求曲线的方程的步骤 3.1.1 与椭圆有关的轨迹问题 应用1：定义法求轨迹方程： [大本例1]已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 应用1：定义法求轨迹方程： 椭圆的第一定义 应用1：定义法求轨迹方程： 椭圆的第一定义 由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差 等于两圆心的距离， 即|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6，|CM|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6. 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和 点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6. 变式训练2.一动圆过定点A(2,0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解析：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， ∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图． 应用1：定义法求轨迹方程： 椭圆的第一定义 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。 F l x o y M H d 思考 探究 由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 线的距离的比是一个常数 时,这个点的 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率. 0 x y M 对于椭圆 相应于焦点 的准线 方程是 概念分析 由椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是 d1 d2 椭圆的第二定义： y x . . F O 解： 例 : 实质上，这个最小值就是点A到相应准线的距离 应用1：定义法求轨迹方程： 椭圆的第三定义 椭圆第三定义 平面内的动点M到两定点A(a,0)、B(-a,0)的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆,称之为椭圆的第三定义。其中两定点分别为椭圆顶点。当常数大于 - 1小于0时为椭圆 注： 1. 2. 3. 应用1：定义法求轨迹方程： 前提：直线AB过原点 [例2]如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴交点时，规定点M与点P重合) 应用1：相关点法求轨迹方程： 典例．如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程． [变式1]　求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的 动圆圆心的轨迹方程． [解析]　圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102， 圆心为C1(－3,0)，半径为R＝10. 设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PC|＝r，,|CC1|＝R－r，)) 消去r得R－|PC|＝|CC1|⇒|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10. 又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10. 可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆， 且c＝3,2a＝10，∴a＝5，从而b＝4， 故所求的动圆圆心的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. ＋y2＝1(x≠±) $$