江苏省南京市外国语学校2023-2024学年高二上学期期末数学试卷

2023-2024学年高二上学期南京市外国语学校期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列的前项和为，，则（  ） ．48 ．32 ．24 ．8 2．已知直线经过第二、三、四象限，则应满足（ ） ． ． ． ． 3．若，则（ ） ． ．6 ．3 ． 4．过点作圆的切线，则切线方程为（ ） ． ． ． 5. 已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ） . . . . 6．过点且与曲线相切得切线方程是（  ） ． ． ． ． 7．如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足, 与双曲线左支的交点平分线段，则双曲线的离心率为（  ） ．3 ． ． ． 8．已知且，则（ ） ． ． ． ． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0 9．已知曲线，下列说法正确的是（  ） ．若，则是圆，其半径为 ．若，，则是两条直线 ．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 ．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 10．以下说法正确的是（  ） ．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底. ．空间的任意两个向量都是共面向量. ．若两条不同直线的方向向量分别是，，则 ．若两个不同平面的法向量分别是，且则 11．已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（ ） ． ．． ． 12． 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件， 则下列选项正确的是（ ） . ． ．的值是中最大的 ．使成立的最大自然数等于4044 三．填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 14.求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程________. 15.已知空间向量，若，则实数________. 16.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则________. 四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． （1）求点关于直线的对称点的坐标； （2）求第三个顶点的坐标． 18.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值． 19．设数列的前项和为，且，其中． （1）证明为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 20．如图，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 21. 已知双曲线（）的右焦点为且的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求的方程; (2)直线与的右支交于两点,点在上，且轴.求证：直线过点. 22．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二上学期南京市外国语学校期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列的前项和为，，则（  ） ．48 ．32 ．24 ．8 【答案】 【解析】由题意知，故选. 2．已知直线经过第二、三、四象限，则应满足（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】由题意知,故选 3．若，则（ ） ． ．6 ．3 ． 【答案】 【解析】由题意可知，，故选. 4．过点作圆的切线，则切线方程为（ ） ． ． ． 【答案】 【解析】设切线方程为，因为相切，故有，解得，故选. 5. 已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ） . . . . 【答案】 【解析】由，，故，故为，所以选. 6．过点且与曲线相切得切线方程是（  ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】由，得，设切点为，故切线方程为， 代入，解得，故方程为，选. 7．如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足, 与双曲线左支的交点平分线段，则双曲线的离心率为（  ） ．3 ． ． ． 【答案】 【解析】设，由双曲线定义可知：， 由得：，解得，所以， 故有，解得，故选. 8．已知且，则（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】设，则有，所以在单调递减，在单调递增， 所以，故选 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0 9．已知曲线，下列说法正确的是（  ） ．若，则是圆，其半径为 ．若，，则是两条直线 ．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 ．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】 【解析】，，，半径为，故正确. .若，时,，所以正确. .若时，焦点在轴，故错误. .若时，渐近线方程为，故错误. 10．以下说法正确的是（  ） ．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底. ．空间的任意两个向量都是共面向量. ．若两条不同直线的方向向量分别是，，则 ．若两个不同平面的法向量分别是，且则 【答案】 【解析】对于，是空间一组基底，则也不共面，故为一组基底，故正确； 对于，空间的任意两个向量都是共面向量，故正确； 对于，由直线的方向向量性质可得：，故正确； 对于，因为，故，所以，故错误. 11．已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（ ） ． ．． ． 【答案】 【解析】由图可知，函数在单调递增，单调递减，单调递增，故只有正确，所以选 12． 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件， 则下列选项正确的是（ ） . ． ．的值是中最大的 ．使成立的最大自然数等于4044 【答案】 【解析】，，解得，， 故正确. 三．填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】由得：，故有 14.求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程________. 【答案】 【解析】由得，设直线为，代入解得， 故方程为. 15.已知空间向量，若，则实数________. 【答案】 【解析】因为，且，解得. 16.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则________. 【答案】3035 【解析】因为，成等比数列，解得， 故有. 四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． （1）求点关于直线的对称点的坐标； （2）求第三个顶点的坐标． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 18.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】（1），解得， 所以的增区间为，减区间为. （2） 由（1）可知，当时，，当时，，当时，， 故最大值为，最小值为 19．设数列的前项和为，且，其中． （1）证明为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1）（2） 【解析】（1）当时，，解得， 当时，，作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式做差得： 所以 20．如图，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】（1）因为,. 所以平面,同理可知：平面. 因为，所以平面， 因为，所以平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设为平面的法向量， 则有，所以，所以，所以正弦值为. （3）设为平面的法向量， 则有，所以，所以. 所以二面角的余弦值为. 21. 已知双曲线（）的右焦点为且的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求的方程; (2)直线与的右支交于两点,点在上，且轴.求证：直线过点. 【答案】（1）（2）1 【解析】（1）由题意可知，,解得 所以椭圆的方程为 （2）设，由，得， ，，所以 因为， ， 所以.所以直线过点. 22．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】（1），当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得， 所以在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，，即为， 令，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 （3）由，得， 令，所以 设，即，所以 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以 所以的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$