江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期初练习数学试卷

南京师大附中2023 - 2024学年度第2学期 高二年级期初数学练习卷 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数，则 ( ) 0 1 2.过点，且圆心在直线上的圆的方程是 ( ) 3.己知等比数列共有项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 ( ) -2 2 4.设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为 ( ) 2 5.过椭圆中心的直线交椭圆于，两点， 是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为 ( ) 12 14 16 18 6.设,若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ( ) 7.已知数列对满足，且,则 ( ) 80 100 120 143 8.设，若曲线与存在公切线，且的根为，则的取值范围是 ( ) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值可能为 ( ) 3 5 7 9 10.设为负实数，若函数在区间上有最大值，则的取值可能为 ( ) -6 -5 -4 -3 11.若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是 ( ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，则______． 13.设抛物线的焦点为,直线过且与抛物线交于，两点，若,则直线的方程为__________． 14.设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记数列的前项和为，对,满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)当且仅当时，取得最大值，求的取值范围. 16. (15 分) 已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且对满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，若，数列的前项和为，且对恒成立，求的取值范围. 17. (15 分) 设为正实数，函数. (1)求函数的单调增区间; (2)设,已知函数有两个极值点，且，若不等式恒成立，求的取值范围. 18. (17分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为,左顶点为,上顶点为,且. (1)求椭圆的离心率； (2)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,点为直线上一点，以为圆心的圆同时与轴和直线相切，且,求椭圆的标准方程. 19. (17 分) 设点分别为函数图象上一点，定义为两点间欧几里得距离，为两点间曼哈顿距离. (1)证明； (2)设函数，求的最小值； (3)设为正实数，函数，对于函数图象上的点有的最小值为4,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京师大附中2023 - 2024学年度第2学期 高二年级期初数学练习卷 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数，则 ( ) 0 1 【答案】 【解析】由题，，故. 故选 2.过点A(1,-1)，B(-1,1)，且圆心在直线上的圆的方程是 ( ) 【答案】 【解析】由题，因为过点与， 所以线段的中点坐标为(0,0)，, 所以线段的中垂线的斜率为. 所以线段的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为，， 所以圆的方程为 故选 3.己知等比数列共有项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 ( ) -2 2 【答案】 【解析】由题意,设奇数项的和为,偶数项的和为得 故公比 故选 4.设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为 ( ) 2 【答案】 【解析】由题意,设由双曲线的定义得，又， 求得而， 所以在中余弦定理得, 所以，即. 所以 ， 故双曲线C的离心率为. 故选 5.过椭圆中心的直线交椭圆于，两点， 是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为 ( ) 12 14 16 18 【答案】 【解析】如图所示，记椭圆的另一个焦点为, 则根据椭圆的对称性可知: , 设则 所以，. 所以的周长为 故选 6.设,若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ( ) 【答案】 【解析】由题意得, 在上单调递增，在上恒成立，又， 在上恒成立，当时，， ， . 故选 7.已知数列对满足，且,则 ( ) 80 100 120 143 【答案】 【解析】由题意,， 即等式两边开方可得：， 即， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，，，. 故选 8.设，若曲线与存在公切线，且的根为，则的取值范围是 ( ) 【答案】 【解析】由题意可知，曲线与存在公切线， 设切点分别为 则公切线为，即， 而切线斜率， 则而点在公切线上，故代入切线方程得 化简得其中,令，其中，可知在上单调递减，而为的零点， 时，，单调递增; 当时，单调递减 故，， 故选 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值可能为 ( ) 3 5 7 9 【答案】 【解析】由题意,,， 其中，. 1、当时，与相内切， 2、当时，与相外切， 3、当时，两圆内含， 4、当时，两圆相交， 5、当,时两圆相离. 本题中只有一个元素，两圆相内切或外切，. 当两圆外切时，，两园内切时，， 所以的值是3或7 故选 10.设为负实数，若函数在区间上有最大值，则的取值可能为 ( ) -6 -5 -4 -3 【答案】 【解析】由题意,令，得， 当时，; 当或时，， 则的增区间为，减区间为， 从而在处取得极大值， 由，得，解得或， 又在上有最大值， 所以，即. ，，. 故选. 11.若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是 ( ) 【答案】 【解析】由题意，由知，序列的周期为，由已知，， 对于选项, 所以不满足题意. 对于选项， ，，均符合题意. 对于选项， ，，均符合题意. 对于选项， ，，均符合题意. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，则______． 【答案】 【解析】由题，设则，两式相减，得 因为点为线段的中点， 所以,又因为， 所以，则 故 13. 设抛物线的焦点为,直线过且与抛物线交于，两点，若,则直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】由题， 又 则， 由题意知, 因此， 即 又由均在抛物线上知 解得 直线的斜率为， 因此直线的方程为或 14. 设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为__________． 【答案】 【解析】由题知，. 因为，所以, 两边同时除以得，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以所以， 因为， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记数列的前项和为，对,满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)当且仅当时，取得最大值，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)因为①，则 ② ①-②可得 ， 故为等差数列. (2)若当且仅当时，取得最大值， 则有,得则， 故的取值范围为. 16. (15 分) 已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且对满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，若，数列的前项和为，且对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)解：等差数列中，设公差为， 则 数列中的前n项和为，且① 当时, 当时，② ②-①得： 故数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. (2)解：数列中， 则 所以 故 所以 对恒成立. 当为奇数时， ， 当为偶数时， 综上:实数m的取值范围为. 17. (15 分) 设为正实数，函数. (1)求函数的单调增区间; (2)设,已知函数f(x)有两个极值点，且，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析； (2) 【解析】(1)解：，注意到， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令,得， 此时， 在及上导数值大于零， 所以在及上递增； (2)由(1)知,，，则， 由恒成立，即， 即， 即， 记， 则， 故在上为增函数， 故. 18. (17分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为,左顶点为,上顶点为,且. (1)求椭圆的离心率； (2)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,点为直线上一点，以为圆心的圆同时与轴和直线相切，且,求椭圆的标准方程. 【答案】(1)； (2) 【解析】(1)解：设的半焦距为，由已知有， 又由，消去得，解得， 所以，椭圆的离心率为. (2)解：由(1)知，，故椭圆方程为， 由题意，，则直线的方程为， 点的坐标满足，消去并化简，得到， 解得， 代入到的方程，解得， 因为点在轴的上方，所以， 由圆心在直线上，可设，因为， 且由(1)知，故，解得， 因为圆与轴相切，所以圆的半径为2， 又由圆与相切，得，解得， 所以椭圆的方程为： 19. (17 分) 设点分别为函数图象上一点，定义为两点间欧几里得距离，为两点间曼哈顿距离. (1)证明； (2)设函数，求的最小值； (3)设为正实数，函数，对于函数图象上的点有的最小值为4,求的取值范围. 【答案】 【解析】(1)解： (2)的图象以为圆心，1为半经的圆，所在的直线 直线上的任意一点到上的点 令原点到直线的距离为 当时，直线与相切 联立 与 由得 此时 切点与直线上当的任意一点的曼哈顿距离为 学科网（北京）股份有限公司 $$