江苏省南京市第五中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年高二下学期南京市第五中学3月月考 数学试卷 一．单选题 1．在等比数列中，是方程的两个根，则的值为　　 A．2 B． C．6 D． 2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，一个焦点坐标为，则该双曲线的方程是　　 A． B． C． D．或 4．如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则　　 A． B． C． D． 5．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为　　 A． B．2 C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于，若是的中点，则　　 A． B． C． D． 7．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，则二面角的大小为　　 A． B． C． D． 8．已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 二．多选题 9．已知等差数列的前项和为，，且，则　　 A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 10．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是　　 A． B． C． D． 11．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是　　 A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是 C．双曲线的渐近线方程为 D． 三．填空题 12．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是 . 13．已知空间内三点，2，，，1，，，，．则以向量，为一组邻边的平行四边形的面积 ． 14．在四面体中，棱，，两两垂直，且，，，为的重心，则　　． 四．解答题 15．正项等差数列满足，且，，成等比数列，的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16．已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）函数有三个零点，求的取值范围． 17．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 18．在平面直角坐标系中，点，直线，圆． （1）求的取值范围，并求出圆心坐标； （2）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程； （3）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 19．如图，在长方体中，，为中点． （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． （3）若二面角的大小为，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二下学期南京市第五中学3月月考 数学试卷 一．单选题 1．在等比数列中，是方程的两个根，则的值为　　 A．2 B． C．6 D． 【答案】． 【解析】解：因为是方程的两个根， 所以由韦达定理可得：因为等比数列，则 故选：． 2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：因为函数在上单调递减， 所以在上恒成立，整理可得：，函数在上单调递减，则，所以. 故选：． 3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，一个焦点坐标为，则该双曲线的方程是　　 A． B． C． D．或 【答案】． 【解析】解：因为渐近线互相垂直， 所以，故， 又，， 所以， 所以双曲线的方程为． 故选：． 4．如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：根据向量的三角形法则得到 ． 故选：． 5．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为　　 A． B．2 C． D． 【答案】． 【解析】解：函数的导数为， 设切点为，可得切线的斜率为， 则， 解得，， 故选：． 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于，若是的中点，则　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：，，， ， ，， ， ． 故选：． 7．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，则二面角的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，， ，0，，，0，，，4，，，0，， ，0，，，4，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，3，， 平面的法向量为，0，， 设二面角的大小为，由图知是锐角， ，， 二面角的大小为． 故选：． 8．已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：由椭圆的定义可得， 又， 所以，， 根据题意可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：． 二．多选题 9．已知等差数列的前项和为，，且，则　　 A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 【答案】． 【解析】解：为等差数列， ，且， ，，， 是递减等差数列，最大，故正确，错误， ， 则，故错误． 故选：． 10．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：由已知，得， 又是的中点，所以， 又侧棱底面，可得侧棱平面， 又平面，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以， 若平面，则． 设，则，， 又，所以， 解得或． 故选：． 11．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是　　 A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是 C．双曲线的渐近线方程为 D． 【答案】． 【解析】解：由题意可得，即，抛物线的焦点， 即有，， 可得双曲线的方程为，渐近线方程为， 离心率为， 又抛物线的准线方程为， 联立解得， 则， 故正确；错误． 故选：． 三．填空题 12．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是 . 【答案】． 【解析】解：由于动点到点的距离等于它到直线的距离，满足抛物线定义，且 故答案为：． 13．已知空间内三点，2，，，1，，，，．则以向量，为一组邻边的平行四边形的面积 ． 【答案】． 【解析】解：，， ， 又，， ， 平行四边形的面积为． 14．在四面体中，棱，，两两垂直，且，，，为的重心，则　　． 【答案】． 【解析】解：如图所示，连接并延长与相交于点． 点是底面的重心， ， 又， 则 ． 故答案为：． 四．解答题 15．正项等差数列满足，且，，成等比数列，的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）； 【解析】解：（1）正项等差数列满足，且，，成等比数列， 设公差为， 所以：， 整理得：， 解得：或（舍去）． 故． （2）由（1）得：， 所以， 故， 16．已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】解：（1）， 由已知得（3）， 得，； （2）， 令， 得， 由得，此时为增函数， 由得，此时为减函数， 即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 即（3），， 所以函数有三个不同零点， 故只需，即，解得， 故的范围是 17．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：（1）正方形与梯形所在的平面互相垂直， ，，，，为的中点， 以为坐标原点，所在直角为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，2，，，0，，，4，，，2，， ，0，，平面的法向量，1，， ，平面，平面； （2），0，，，2，，，0，，，2，， ，，，， 又，平面； 18．在平面直角坐标系中，点，直线，圆． （1）求的取值范围，并求出圆心坐标； （2）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程； （3）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【答案】（1）的取值范围为，圆心坐标为； （2）或者； （3）． 【解析】解：（1）根据题意，圆，变形可得， 则有，解可得， 故的取值范围为，圆心坐标为； （2）由（1）知圆的圆心坐标为，当半径为1时， 圆的方程为：， 将代入得，则在圆外， 设所求圆的切线方程为，即， 则有，变形可得，即， 解可得或者， 所求圆的切线方程为：或者， 即或者； （3）根据题意，圆的圆心在直线上，所以，设圆心， 又圆的半径为1，则圆的方程为：， 又由，点在的中垂线上，的中点， 得直线， 则点应该既在圆上又在直线上 即圆和直线有公共点， 则有，变形可得； 终上所述，的取值范围为：． 19．如图，在长方体中，，为中点． （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． （3）若二面角的大小为，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）存在，; （3）2. 【解析】解：（1）以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 设，则，0，，，1，，，1，，，1，，，0， 故，1，，，1，，，0，，，1，， ； （2）假设在棱上存在一点，0，，使得平面．此时，，． 又设平面的法向量，，． 平面，，，得，取，得平面的一个法向量，，． 要使平面，只要，即有，有此得，解得，即，0，， 又平面， 存在点，满足平面，此时 （3）连接，，由长方体及，得． ，． 由（1）知，，且． 平面， 是平面的一个法向量，此时，1，． 设与所成的角为，则 二面角的大小为， ，即，解得，即的长为2 学科网（北京）股份有限公司 $$