江苏省南京市第十二中学2023-2024学年高二下学期期初测试数学试卷

2023—2024学年度高二第二学期南京第十二中学二月期初 数学试卷（2024.3） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卡上. 1.曲线在点处的切线倾斜角为（ ） ． ． ． ． 2.抛物线的焦点坐标为（ ） ． ． ． ． 3.设等差数列的前项和为，若，则（ ） ．12 ．14 ．16 ．18 4.已知函数的导函数为，且，则（ ） ． ． ． ．3 5.若函数的图像与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）. . . . ． 6.现有8个圆的圆心排列在同一条直线上，它们的半径由左至右依次构成首项为1，公比为3的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，若分别为第1个圆与第8个圆上任意一点，则的最大值为（ ） ．1024 ．2046 ．6560 ．6561 7.若对任意都有成立，其中为实数，则的最小值为（ ） ． ． ． ． 8.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点.若,为的中点，且,则双曲线的离心率为（ ） ． ． ． ． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分。请把答案填写在答题卡上. 9.已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的值可能为（ ） ． ．0 ．1 ．2 10.已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） ．直线恒过定点. ．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. ．圆与曲线恰有三条公切线，则. ．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线,其中为切点，则直线经过点. 11.已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ） .时，恒成立. .时，是的极值点. .若有3个零点，则的范围为 .时，有唯一零点，且 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 13.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，抛物线的方程为 . 直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则 . 14.在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为 . 四、解答题：本题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16.（本题满分15分） 已知圆过点，且与圆外切于点. （1） 求圆的方程； （2） 设倾斜角为的直线与圆交于两点，若,求的方程. 17.（本题满分15分） 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设函数，若存在，使得，求的取值范围. 18. （本题满分17分） 已知圆上有一动点，点坐标为.四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值. 19.（本题满分17分））. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：....已知在处的阶帕德近似为. 注：， （1）求实数的值； （2）求证：； （3）求不等式的解集，其中， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度高二第二学期南京第十二中学二月期初 数学试卷（2024.3） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卡上. 1.曲线在点处的切线倾斜角为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】∵ ∴ ∴曲线在处的切线斜率为，故倾斜角为，答案选. 2.抛物线的焦点坐标为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】由题意得：抛物线的焦点坐标为，故选 3.设等差数列的前项和为，若，则（ ） ．12 ．14 ．16 ．18 【答案】 【解析】由题意设该等差数列的公差为，由,得，解得，又∵，∴，解得，所以，所以，故选 4.已知函数的导函数为，且，则（ ） ． ． ． ．3 【答案】 【解析】根据导数的性质，，所以，，所以，故选. 5.若函数的图像与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）. . . . ． 【答案】 【解析】函数的图像如图所示： 由图像得：当直线过点时，； 当直线与半圆相切时，， 解得：或（舍去） 因为函数的图像与直线有公共点，所以实数的取值范围是，故选. 6.现有8个圆的圆心排列在同一条直线上，它们的半径由左至右依次构成首项为1，公比为3的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，若分别为第1个圆与第8个圆上任意一点，则的最大值为（ ） ．1024 ．2046 ．6560 ．6561 【答案】 【解析】由题意可知：的最大值为这8个圆的直径之和，由等比数列前项和公式可得：最大值为，故答案选. 7.若对任意都有成立，其中为实数，则的最小值为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】令，则 由可得：或，由可得 ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值为，在处取得极小值为， 又∵ ∴ 若对任意，都有成立，则 ∴，故答案选. 8.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点.若,为的中点，且,则双曲线的离心率为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】∵为的中点，且 ∴为等腰三角形 ，即 ∵ 故设，则 由双曲线定义可知：，则 又∵，∴，解得： 由勾股定理可得： 其中， 在三角形中，由勾股定理得：,即 解得：，故答案选. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分。请把答案填写在答题卡上. 9.已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的值可能为（ ） ． ．0 ．1 ．2 【答案】 【解析】由题意得：对于恒成立，即，所以 ∵，∴（时等号成立）即，故答案为. 10.已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） ．直线恒过定点. ．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. ．圆与曲线恰有三条公切线，则. ．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线,其中为切点，则直线经过点. 【答案】 【解析】 对于选项，，整理得：，所以，解得，所以直线恒过定点，故错误； 对于选项，当时，直线为，则圆心到直线的距离为，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故错误； 对于选项，当时，曲线为为，整理得：，则圆心为，半径为3；圆的圆心，半径为2； ∴两圆的圆心距为，所以两圆外切，故两圆恰有3条公切线，故选项正确； 对于选项，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即 ∵圆，∴两圆的公共弦的方程为， 整理得：∴，解得： ∴直线经过点.故选项正确. 故选. 11.已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ） .时，恒成立. .时，是的极值点. .若有3个零点，则的范围为 .时，有唯一零点，且 【答案】 【解析】 对于,当时，，令 令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，∴在上单调递增，，故错误； 对于，当时，，令，令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，∴在上单调递增，无极值，故错误； 对于,令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则,记，则，令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，故正确； 对于,当时，，令，则在上单调递增，在上单调递减，故，∴在上单调递增，则此时至多只有一个零点，又∵，又由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，满足，故选项正确； 故答案为. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵ ∴，由在区间上单调递增，可得：在上恒成立，即在上恒成立， ∴当时，取得最大值，即为2 ∴的取值范围是. 13.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，抛物线的方程为 . 直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则 . 【答案】，10 【解析】∵抛物线的焦点到准线的距离为4 ∴根据抛物线定义可得，则抛物线方程为；则，又∵是线段的中点，∴，即,故直线的方程为，由，得，故 14. 在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为 . 【答案】 【解析】∵，∴是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴，又因为，所以，所以，∵，整数满足，所以，的前120项和为 四、解答题：本题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】（1）∵数列的首项，且. ∴整理得：，转换为，故，∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴，故经检验，首项符合该通项公式，∴ （2）由（1）得：，故 设，记其前项和为，故 ① 则 ② ①-②得： 整理得： ，故 16.（本题满分15分） 已知圆过点，且与圆外切于点. （1）求圆的方程； （2）设倾斜角为的直线与圆交于两点，若,求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 （1）∵圆与圆外切于点 ∴三点共线，且的方程为，又∵中点为，，则的中垂线的斜率为 ∴中垂线的方程为联立直线，可得圆心坐标为,则半径， 故圆的方程为； （2）因为的倾斜角为 ∴ 又因为，得 又∵ ∴， ∴圆心到直线的距离为 设的方程为,则，解得： ∴直线的方程为或 17.（本题满分15分） 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设函数，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 （1）由题意得： 当时，在上恒成立， 当时，令，得；令, 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由题意得：在上有解，则，令，则，当变化时，的变化情况如下表： ∴， ∴，∴的取值范围为. 18.（本题满分17分） 已知圆上有一动点，点坐标为.四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 （1）连接,由题意得：圆的半径为 ∵线段的垂直平分线交交于点 ∴ ∴ ∴点的轨迹是以为左右焦点的椭圆，且长轴长，半焦距 ∴短半轴 ∴轨迹的方程为 （2）由（1）知，曲线的方程为 ∴当直线的斜率为0时，与曲线无交点， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立，得， 设，则 直线的方程为 令，得，同理可得： ∴ 代入得： ∴线段的中点坐标为，为定点； 不妨设点在点的上方，则 ∴ 当点为椭圆的上定点时，取等号； ∴面积的最大值为4. 19.（本题满分17分））. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：....已知在处的阶帕德近似为. 注：， （1）求实数的值； （2）求证：； （3）求不等式的解集，其中， 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 （1）∵ ∴ ∵，则， 由题意得： ∴解得：； （2） 由（1）知，即证 令，则且 即证时，记 则 ∴在上单调递增，在和上单调递增 当时，，即，即成立， 当时，，即，即成立， 综上所述，时， ∴成立，即成立. （3） 由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或 首先考虑，该不等式等价于，即， 又由（2）知成立， ∴使得成立的的取值范围是 再考虑，该不等式等价于， 记，则， ∴当时时， ∴在上单调递增，在上单调递减 ∴，即， ∴， 当时由，可知成立； 当时由，可知不成立； 所以使得成立的的取值范围是 综上可得：不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$