江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年高二下学期南京市二十九中三月月考数学试卷 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 3．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”，将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设为等比数列，，则（    ） A． B． C．3 D．9 5．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．若圆锥的内切球半径为1，圆锥的侧面展开图为一个半圆，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（　　） A．2 B． C．6 D． 8．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（　　） A.若两人站在一起，则有48种方法 B.若不相邻，则共有12种方法 C.若在左边，则有60种排法 D.若不站在最左边，不站最右边，则有72种方法 10．在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是 11．已知函数（，），且，，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．为奇函数 三、填空题 12．已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，设 ， 是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为 ． 13．已知二项式展开式中，项的系数为80，则 . 14．写出一个具有性质①②③的函数 ①的定义域为；②；③当时， 四、解答题 15．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表. 16．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，. (1)求证：平面⊥平面； (2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由：若存在，求的长. 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，、分别为线段、上的动点，且满足. （1）若，求点的坐标； （2）设点的坐标为，求的外接圆的一般方程，并求的外接圆所过定点的坐标. 18．设是实数，函数. (1)当时，过原点作曲线的切线，求切点的横坐标； (2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“巧点”，当时试问函数是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由. 19．已知数列中. （1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数. 20．如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)在中，记，，求最大值. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二下学期南京市二十九中三月月考数学试卷 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由方程解得或，得， 不等式解得，得， 所以. 故选：A． 2．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则对应复数1. 故选：A． 3．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”，将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“仁义礼智信”排成一排，任意排有种排法，其中“仁”排在第一位， 且“智信”相邻的排法有种排法，故概率 故选：A 【点睛】本题考查的是古典概型和排列的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 4．设为等比数列，，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， ，即，所以，所以， 由， 故选：B． 5．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 6．若圆锥的内切球半径为1，圆锥的侧面展开图为一个半圆，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为 h， 圆锥侧面展开图为半圆， 侧面展开图扇形弧长为，则， 作出圆锥的轴截面如下图所示，其中O为圆锥内切球球心， ， 又， ，解得：，， 圆锥体积为. 故选：C 7．.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（　　） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】 因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高， 所以，且在中，， 所以 . 故选：D. 8．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 二、多选题 9．五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（　　） A.若两人站在一起，则有48种方法 B.若不相邻，则共有12种方法 C.若在左边，则有60种排法 D.若不站在最左边，不站最右边，则有72种方法 【答案】AC 【详解】对于选项A：若A、B两人站在一起，则有种方法，故A正确； 对于选项B：A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则有种方法， 所以A、B不相邻共有种方法，故B错误； 对于选项C：根据对称可知A在B左边有种排法，故C正确； 对于选项D：A站在最左边，则有种方法， B站最右边，则有种方法， A站在最左边，B站最右边，则有种方法， 所以A不站在最左边，B不站最右边，有种方法，故D错误. 故选：AC 10．在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是 【答案】BCD 【详解】方法一：    如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，, ，则， 对于A，因为为正方体， 所以， 由三垂线定理得，， 因为，平面， 所以平面， 是平面一个法向量， 假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错． 对于B，若存在，与所成角为，则或，或， ，不满足条件， 假设不成立，B对． 对于C， ． 表示与，距离之和，      ，，C对． 对于D，， 时最小，，， 设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，， 因为， 所以球与面为圆心，为半径的圆弧， 因为， 所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确；    方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确；      对于B，同法一，B正确； 对于C，可将面与面摊平，，C正确．    对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为， 截面圆半径， 过作分别交，于，，，    球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确， 故选：BCD． 11．已知函数（，），且，，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据，，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为函数（，），且， 所以，又，所以，故A错误； ，则， 则， 又，则，所以，故B正确； ，因为，所以，故C正确； ，为偶函数，故D错误， 故选：BC 三、填空题 12．已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，设 ， 是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆定义用表示，再利用余弦定理可解. 【详解】设，则，又 由椭圆定义，得， 所以 又因为，所以， 所以． 故答案为：. 13．已知二项式展开式中，项的系数为80，则 . 【答案】2 【分析】根据二项展开式的通项公式，将项的系数表达式求出等于 ， 再求解关于的方程即可． 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 则项的系数，解得； 故答案为：． 14．写出一个具有性质①②③的函数 ①的定义域为；②；③当时， 【答案】（答案不唯一） 【详解】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义域上是减函数，故可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表. 【答案】(1)5400（种） (2)840（种） (3)3360（种） 【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种，后排有种， 所以共有不同选法（种）. （2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排， 共有不同选法（种）. （3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生， 所以共有不同选法（种）. 16．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，. (1)求证：平面⊥平面； (2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由：若存在，求的长. 【答案】(1)证明见详解. (2)在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为， 的长为. 【详解】（1）证明：取中点连接，如图所示： 因为三棱柱的所有棱长都为2， 所以， 又因为且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以． 在直角三角形中，， 所以， 在三角形中，， 所以， 所以， 又因为平面 所以平面． 又因为平面， 所以平面平面． （2）假设在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为， 则以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因此，，． 因为点在棱上， 则设，其中． 则 设平面的法向量为， 由得，取 所以平面的一个法向量为． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 化简得解得， 所以， 所以在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为， 此时的长为. 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，、分别为线段、上的动点，且满足. （1）若，求点的坐标； （2）设点的坐标为，求的外接圆的一般方程，并求的外接圆所过定点的坐标. 【答案】（1）；（2），和 【解析】(1)设点，利用两点之间距离公式和C点在线段OA上得出关系式：联立求解即可得出点C的坐标； (2)由题意求出D点坐标，设外接圆的一般方程为由三点坐标得出关系式， 联立解得圆的方程，将圆的方程转化为，令求解即可得出圆过定点的坐标. 【详解】解：（1）设点，当时，，则， 由 点在线段 上则有，且，则联立 解得,则点的坐标为. （2）由点的坐标为，可得，，可得点的坐标为， 设点的外接圆的方程为， 代入点、、的坐标可得，解得， 可得的外接圆的一般方程为， 可化为， 令，解得或， 故的外接圆所过定点的坐标为和. 18．设是实数，函数. (1)当时，过原点作曲线的切线，求切点的横坐标； (2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“巧点”，当时试问函数是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)横坐标为1 (2)存在，横坐标为2 【分析】（1）设切点为，求得，由斜率公式求得斜率，列出方程求得，结合函数为单调递增函数，且，即可求解. （2）求得在处的切线方程，令，设，求得，得出函数的单调性，求得函数在和上不存在“巧点”，再由时，，进而得到点为“巧点”. 【详解】（1）解：当时，设切点为， 由函数，可得， 则，即切线的斜率， 又由直线的斜率为， 所以，即， 令，可得，为单调递增函数，且， 所以函数在上递增，且是一根，所以是唯一根， 所以过原点作曲线的切线，切点横坐标为. （2）解：当时，可得，可得， 则且， 所以函数在其图象上一点处的切线方程为： ， 令， 设，则， 且 ， 当时，，在上单调递增， 从而有，所以； 当时，，在上单调递增， 从而有，所以， 因此函数在和上不存在“巧点”， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以当时，且， 当时，且， 所以点为“巧点”，其横坐标为. 19．已知数列中. （1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数. 【答案】（1）（2）1和2． 【详解】试题分析：（1）设 ，依题意，可得若数列是等比数列，则必须（常数）；（2）由（1）得 是以﹣为首项，为公比的等比数列，于是，利用分组求和的方法，分别用等比数列的求和公式与等差数列的求和公式即可求得S2n，分n=1与2讨论，计算即可得到答案． 详解： （1）设，因为 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即 ， 此时 所以存在实数，使数列是等比数列. （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故 ，即 由，得， 所以， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，，所以当时，； ， 同理，当且仅当时， 综上，满足的所有正整数为1和2. 20．如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)在中，记，，求最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先代入点求出抛物线方程，然后设直线方程：，联立得到方程，解出，再替换得到，计算出即可； （2）解出，，则直线方程：，求出焦点到直线的距离，，，再利用抛物线的定义，将代换，最后化成与相关的函数，利用换元等方法求解其最值即可. 【详解】（1）将点代入抛物线方程可得：，抛物线： 设直线方程为：，与抛物线方程联立可得： ，所以， 用代可得：， 因此，， 即，故直线的斜率为定值. （2）由（1）可知，，将带入直线方程，解得， 则，用代可得：， 因此直线方程：， 到直线的距离 所以 因为， 所以， 令，易得此函数在时为单调增函数，则， 所以 当且仅当（负值舍去）时取等号. 试卷第4页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$