2024届江苏省南京市宁海中学高考前模拟数学试卷

宁海中学24届高三考前热身试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则　　 A．， B．， C．， D．， 2.   已知复数的共轭复数为，若，则　　 A． B． C． D．6 3. 向量在向量上的投影为，且，则　　 A． B． C． D． 4.  设函数，则满足的的取值范围是　　 A．， B． C． D． 5.  已知，且，则　　 A．2 B． C． D． 6.   已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为　　 A．2 B． C．3 D． 7.  已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为 　　 A． B． C． D． 8.  对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是　　 A．当时，数列有界 B．当时，数列有界 C．当时，数列有界 D．当时，数列有界 二、多选题 9.  已知一组样本数据，2，3，，，其中，2，3，，为正实数．满足，下列说法正确的是　　 A．样本数据的第80百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D．若样本数据的方差，则这组样本数据的平均数等于2 10. 已知，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 11.  定义在的函数满足如下条件：①；②当时，．则下列说法正确的是　　 A．（1） B．当时， C．在上单调递减 D．不等式的解集为 三、填空题 12.  的展开式中，的系数是_________. 13.  在中，内角，，的对边依次为，，，， ，，的面积为 　　．. 14.  已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是__________. 四、解答题 15.  已知数列满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱台中，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如表： 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布，其中近似为样本平均数的值，，试求的值． （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在，内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 18.   已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． （1）若曲线在处的切线经过点，求实数的值； （2）若函数在区间内有极值，求实数的取值范围．   19.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且． （1）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程； （2）设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁海中学24届高三考前热身试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解析】因为，， 则，． 故选：． 2.   已知复数的共轭复数为，若，则　　 A． B． C． D．6 【答案】 【解析】设，则， 由题意，， 则且，解得，， ． 故选：． 3. 向量在向量上的投影为，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意，，即， 又，则，即， 则. 故选：． 4.  设函数，则满足的的取值范围是　　 A．， B． C． D． 【答案】 【解析】函数，的图象如图： 满足， 可得：或， 解得． 故选：． 5.  已知，且，则　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【解析】原式可化为， ，，所以， 又，由题意，，，解得， 原式． 故选：． 6.   已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为　　 A．2 B． C．3 D． 【答案】 【解析】根据题意可得， ， 又，又为锐角， ，， 根据正弦定理可得， ，化简可得，，的离心率为． 故选：． 7.  已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为 　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：． 8.  对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是　　 A．当时，数列有界 B．当时，数列有界 C．当时，数列有界 D．当时，数列有界 【答案】 【解析】对于．时，令，，则，． ，，． 下面证明：． 由，，，，． 假设，则，因此成立． ，数列无界，因此错误． 对于．由，．设，，． ，函数在，上单调递减． ，，． ，化为：， ， ，， ， 数列有界，因此正确； 对于．时，，由，， 假设，则， 因此假设成立． 此时与都无界，因此不正确． 故选：． 二、多选题 9.  已知一组样本数据，2，3，，，其中，2，3，，为正实数．满足，下列说法正确的是　　 A．样本数据的第80百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D．若样本数据的方差，则这组样本数据的平均数等于2 【答案】 【解析】对于，， 样本数据的第80百分位数为，故错误； 对于，若去掉的是中间的数据，则极差不会受影响，故正确； 对于，由对称性知若平均数等于中位数，则两边对称；而图不对称，且右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故正确； 对于，， 样本数据的方差， 则， 故这组样本数据的平均数等于2，故正确． 故选：． 10. 已知，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】对于，因为，，所以，所以， 所以，又（当且仅当时，等号成立）， 又，所以，所以，故正确； 对于，因为，，所以， 由，得， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以，即，故错误； 对于，， 又，即， 由选项可知，，所以，故正确； 对于，由，得， 则，，解得， 又，所以，故正确． 故选：． 11.  定义在的函数满足如下条件：①；②当时，．则下列说法正确的是　　 A．（1） B．当时， C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】 【解析】令，则由题意可得（1）（1），（1），即正确； 令，即，则由题意可得（1）， 所以， 又因为当时，， 所以当时，有，，即， 所以时，有，故正确； 令， ， 结合选项结论，可知，，，， 所以，， 即在上单调递增，故错误；对于不等式，显然才有意义， 原式可化为，即， 由上可知，解之得，故正确． 故选：． 三、填空题 12.  的展开式中，的系数是_________. 【答案】205 【解析】， 所以的系数为. 13.  在中，内角，，的对边依次为，，，， ，，的面积为 　　．. 【答案】1或 【解析】因为， 所以，即， 所以，或， 因为， 所以，或． 因为，， 当时，，可得，； 当时，由正弦定理，可得，可得． 14.  已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】圆圆心，半径为 设弦中点为，连接，， 由，，可得点在弦上， 且，，， 又圆心到弦所在直线的距离为： ， 则， 则点在以为圆心半径为5的圆上运动， 又点在直线上， 则直线与以为圆心半径为5的圆有公共点， 则，解之得或， 所以的取值范围是． 四、解答题 15.  已知数列满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得，即， ， ， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 16. 如图，在三棱台中，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：如图所示，在等腰梯形中，连接， 又， 可以解得， 在三角形中，， ， 又平面平面， 且平面平面， ，且平面， 平面，． 又，且，平面， 平面． （2）由（1）可知，， ， 以为原点，以，为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可得． 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 又， 由 令，解得平面的一个法向量为， 即：， ，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如表： 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布，其中近似为样本平均数的值，，试求的值． （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在，内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1）0.1359；（2）；；1 【解析】（1）， 因为，所以， 则； （2）①“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，“抽取的零件为次品”记为事件， 则， 所以， ②所以； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在，内的概率，且随机变量服从二项分布， 所以， 所以随机变量的数学期望为1． 18.   已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． （1）若曲线在处的切线经过点，求实数的值； （2）若函数在区间内有极值，求实数的取值范围． 【答案】（1）3；（2） 【解析】（1）因为， 所以， 则，又， 所以，解得， 故实数的值为3； （2）设，， 因为函数在区间内有极值，所以在区间内有解， 即在区间内有变号零点， ①当时，，不满足题意； ②当时，， 因为在区间上单调递减，所以， 所以在区间上单调递减，故，不满足题意； ③当时，， 因为在区间上单调递减，又，， 所以由零点存在性定理可知在区间内存在零点， 且当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在内单调递减， ，， 所以由零点存在性定理可知，在区间内存在变号零点，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是．   19.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且． （1）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程； （2）设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）轴上存在一个定点，使得、、三点共线． 【解析】（1）由题意知，， 由得是线段的中点，故． 又因为直线与垂直，所以，即， 过、、三点的圆的圆心为，半径为． 因为过、、三点的圆恰好与直线相切，所以，解得． 又，所以，从而． 椭圆的方程为． （2）由（1）及得，，椭圆的方程为． 设直线方程为，，，，，则，， 联立得， △，． 直线的方程为， 令得 ． 故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$