3.1.2 椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3.1.2　椭圆的简单几何性质 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 2.能利用椭圆的简单性质求标准方程. 3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 (a>b>0) 　 　　　　　　  范围 　　　 　　,-b≤y≤b -b≤x≤b,　　   顶点 A1(-a,0),A2(a,0) 　　 　　  A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) -a≤x≤a -a≤y≤a B1(0,-b),B2(0,b) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) 　　　　 　  焦距 2c 对称性 对称轴:　　　 　　,  对称中心:　　　 　  离心率 (0<e<1) 离心率越大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆越接近于圆 F1(0,-c),F2(0,c) 坐标轴 原点(0,0) 名师点睛 1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最大(小)值、求轨迹等问题时的检验等. 2.利用方程研究曲线对称性的方法如下: (1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称; (2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称; (3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 过关自诊 B 2.[人教B版教材习题]根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)长轴长和短轴长分别为8和6,且焦点在x轴上; (2)一个焦点坐标为(-3,0),一个顶点坐标为(0,5). 3.[北师大版教材习题]根据下列条件,求椭圆的离心率: (1)长轴长与短轴长之比为3∶2; (2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形. 4.观察右图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?这个定量对椭圆的形状有何影响? 则0<e<1,e越大,∠BF2O越小,椭圆越扁; e越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【例1】 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 变式探究 本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 规律方法 确定椭圆几何性质的基本步骤 变式训练1已知椭圆C1: ,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、离心率. ①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于x轴、y轴、原点对称; ③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0); 探究点二　根据椭圆的几何性质求其标准方程 【例2】 根据下列条件求椭圆的标准方程: (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8. 思路分析 (1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入. 如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32. 规律方法 利用待定系数法求椭圆标准方程的关注点 (1)基本思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①确定焦点所在的坐标轴;②求出a2,b2的值;③写出标准方程. (2)在求解a2,b2时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式a2=b2+c2,e= 等构造方程(组)加以求解. 变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程. 探究点三　求椭圆的离心率的值(或取值范围) 【例3】 [人教B版教材例题]航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为n,设地球的半径为r,试用m,n,r表示出地球同步转移轨道的离心率. 规律方法 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.求离心率的取值范围时,注意应结合e∈(0,1)确定离心率的取值范围. 变式训练3(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围. (2)椭圆 (a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c,求椭圆的离心率. 解 如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P, 设点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c. 因为△PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)椭圆的简单几何性质; (2)由椭圆的几何性质求标准方程; (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳:分类讨论思想、方程法、不 等式法. 3.常见误区:(1)容易忽略椭圆离心率的范围及长轴长与a的关系; (2)容易忽视椭圆方程中参数的约束条件和范围. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)已知椭圆C:16x2+25y2=400,则关于椭圆C,下列叙述正确的是(　 　) A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的两个焦点分别为(0,-3)和(0,3) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 必备知识基础练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上 C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为　　　　　.  4 解析 由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积取得最大值, 即bc=2. ∴a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c= 时,等号成立. ∴a≥2,∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 必备知识基础练 10.(多选题)阿基米德是古希腊数学家,他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为 6 π,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为(　　) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =1 =1(a>b>0) 1.[2023北京朝阳期末]已知椭圆=1(b>0)的离心率为,则b的值可以 为(　　) A. B. C.2 D.3 解析 当椭圆的焦点在x轴上时,b2<4,,故b=; 当椭圆的焦点在y轴上时,b2>4,,∴b=.故选B. 解 (1)∵2a=8,2b=6,∴a=4,b=3. 又焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为=1. (2)由题意知,焦点在x轴上,c=3,b=5. ∴a2=b2+c2=34,∴椭圆的标准方程为=1. 解 (1)由题意知2a∶2b=3∶2,即a∶b=3∶2, 所以离心率e=. (2)由题意知a=2b,, 所以离心率e=. 提示 利用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度. 如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=, 解 已知方程化成标准方程为=1, 于是a=4,b=3,c=, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6, 离心率e=. 又知焦点在x轴上, ∴两个焦点坐标分别是(-,0)和(,0), 四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3)和(0,3). 解由已知得椭圆标准方程为=1, 于是a=,b=,c=. ∴长轴长2a=,短轴长2b=,离心率e=. 焦点坐标和, 顶点坐标,. =1 解 (1)由椭圆C1:=1可得其长半轴长为a=10,短半轴长为b=8, 焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=. (2)椭圆C2:=1. ④离心率:e=. (1)椭圆过点(3,0),离心率e=; 解 (1)若焦点在x轴上,则a=3, ∵e=,∴c=.∴b2=a2-c2=9-6=3. ∴椭圆的标准方程为=1. 若焦点在y轴上,则b=3, ∵e=,解得a2=27. ∴椭圆的标准方程为=1. 综上可知,椭圆的标准方程为=1或=1. (2)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 故所求椭圆的标准方程为=1. 解 若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 因为椭圆过点A(2,0),所以a=2. 因为2a=2×2b,所以b=1.所以方程为+y2=1. 若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 因为椭圆过点A(2,0),所以b=2.因为2a=2×2b,所以a=4. 所以方程为=1. 综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或=1. 解 设椭圆的半长轴长为a,半焦距为c,依照题意可知 解得a=,c=,因此离心率e=. (1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解;若已知a,b或b,c,可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解. 解 依题意可得2c≥2b,即c≥b, 所以c2≥b2,从而c2≥a2-c2,即2c2≥a2,e2=. 又因为0<e<1, 所以椭圆离心率的取值范围是. =1 所以|PF2|=2c. 根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a,即2c+2c=2a, 所以(+1)c=a,故e=-1. C.椭圆C的离心率等于 D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P,Q,则|PQ|= 解析 由题意知椭圆的标准方程为=1,则a=5,b=4,∴c=3. 长轴长为2a=10,故A正确; 两焦点为(3,0),(-3,0),故B错误; 离心率为e=,故C正确; 将x=3代入椭圆方程得16×32+25y2=400,解得y=±, ∴|PQ|=,故D正确. 2.[探究点一]已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴,椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等,则(　　) 3.[探究点三]若椭圆C:=1(a>b>0)满足a=2b,则该椭圆的离心率e=(　　) A. B. C. D. 解析 因为a=2b,所以e=.故选B. 4.[探究点三]设F1,F2为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆上存在点M,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,使得离心率e=,则e的取值范围为 　　　　　. (-1,1) 5.[探究点二]已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为　　　　　　　　.  =1 6.已知椭圆+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　) A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4] 解析 根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|, 则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-,2+], 所以∈[1,4].故选D. 7.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c= 0的两个实根为x1,x2,则点P(x1,x2)(　　) 解析 由已知x1+x2=-,x1x2=-, 从而=(x1+x2)2-2x1x2==1-e2+2e=1-+1=<2, 故点P在圆x2+y2=2内. 9.如图,已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程. 解 (1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知b=c, 则e=. (2)由已知a2-b2=1,A(0,b),设B(x,y), 则=(1,-b),=(x-1,y), 由=2,得(1,-b)=2(x-1,y), 解得x=,y=-,则=1, 得a2=3,因此b2=2,所以椭圆的方程为=1. A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析 由题意可知, 又a2=b2+c2,解得a=3,b=2,c=1, 所以椭圆的标准方程为=1或=1. $$