3.2.1 双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3.2.1　双曲线及其标准方程 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.了解双曲线的定义. 2.掌握双曲线的几何图形与标准方程. 3.会求双曲线的标准方程. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　双曲线的定义 1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于   　(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.  此条件不可或缺 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}. 非零常数 名师点睛 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小. (1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支; (2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(　　) (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　) (4)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同. (　　) × × × × 2.把双曲线定义中的“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或将定义中的非零常数改为零,结果如何? 提示 ①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点); ②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在; ③若为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 3.[人教B版教材例题]已知F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2,求动点P的轨迹方程. 知识点2　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>0,b>0) 　　 　　　  (a>0,b>0) 几何图形     焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) 　　　 　　  a,b,c的关系 c2=a2+b2 此关系蕴含①c>a,c>b;②可知二求一 F1(0,-c),F2(0,c) 名师点睛 两种双曲线 (a>0,b>0)的相同点:它们的形状、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2;不同点:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 过关自诊 1.如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置? 提示 “焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. 2.[2023陕西渭南期末]已知两定点F1(5,0),F2(-5,0),曲线C上的点P到F1,F2的距离之差的绝对值是8,则曲线C的方程为(　　) B 解析 根据双曲线的定义知,P的轨迹是以F1(5,0),F2(-5,0)为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为 . 故选B. 3.[北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆 的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　双曲线定义的应用 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 思路分析 (1)直接利用定义求解. (2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|. 解 (1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6. 解得|MF2|=10或|MF2|=22. 规律方法 求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积S的方法 变式训练1已知双曲线 的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积. 解在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0). 由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6, 两边平方,得m2+n2-2mn=36. 又∠F1PF2=90°, ∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100. 探究点二　求双曲线的标准方程 【例2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. ∵点P,Q在双曲线上, 规律方法 待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 (1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0); (3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值. (4)结论:写出双曲线的标准方程. 变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,c=4,焦点在x轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6). 探究点三　双曲线标准方程的应用 (1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围; (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围. 思路分析 根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解. 若该方程表示双曲线,则有(4+k)(k-1)>0,解得k>1或k<-4, 故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). 规律方法 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 (1)对于方程 =1,当mn<0时表示双曲线,进一步,当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线. (2)对于方程 =1,当mn>0时表示双曲线,且当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线. (3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围. 变式训练3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示(　　) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 D (2)若方程x2sin α-y2cos α=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是 　　　　　.  探究点四　双曲线的实际生活应用 【例4】 [人教B版教材习题]相距1 400 m的A,B两个观察站都听到了一声巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4 s.已知当时的声速是340 m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方程. 解 以线段AB的中点为坐标原点, 的方向为x轴的正方向, 建立平面直角坐标系(图略),设发出巨响的点为P. 由题意可知|PB|-|PA|=340×4=1 360,易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,即2a=1 360,2c=1 400,解得a=680,c=700,所以b2=27 600. 规律方法 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 变式训练4如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km,则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是 　　　　km.  解析 如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支. 故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1=3, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)双曲线的定义及应用; (2)双曲线的标准方程及其推导过程; (3)双曲线在实际生活中的应用. 2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、 转化化归法. 3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条件; (2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点三]若方程E: 表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为(　　) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,2) D.(1,+∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[探究点一]已知双曲线 上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点四]许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径AB=20 米,上底直径CD=20 米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-1,+∞) (-∞,-5)∪(-5,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点二]焦点在x轴上的双曲线经过点P(4 ,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 必备知识基础练 9.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　　　.  解析 设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8. ∴点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支. 又2c=8,∴c=4.∴b2=c2-a2=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积. (2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少? 若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 必备知识基础练 16.[2023浙江杭州模拟]如图所示,平面直角坐标系中有两点O1(-1,0)和O2(1,0).以O1为圆心,正整数i为半径的圆记为Ai.以O2为圆心,正整数j为半径的圆记为Bj.对于正整数1<k<5,点Pk是圆Ak与圆Bk+1的交点,且P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限.则这5个点都位于(　　) A.直线上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 由题意可知|PiO2|-|PiO1|=1,且P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限, 而|O1O2|=2, 则这5个点都位于双曲线上.故选D. 解 因为=1<2, 所以根据双曲线的定义可知,P一定在a=1,c=2且焦点在x轴上的双曲线上. 这就是说,点P的坐标(x,y)一定满足x2-=1. 另一方面,由|PF1|-|PF2|=2>0可知|PF1|>|PF2|, 因此P的横坐标要大于零,从而可知P的轨迹方程为x2-=1(x>0). =1 =1 =1,=1 A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 =1 =1 解 椭圆=1的左、右顶点坐标分别为(-2,0),(2,0),右焦点坐标为(1,0),因此,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),且经过点(1,0), 可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). c=2,2a=||=2,a=1, 所以b2=c2-a2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. 【例1】 若F1,F2是双曲线=1的两个焦点. (2)由=1,得a=3,b=4,c=5. 由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6, -2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=64, ∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16. 方法 一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2求得面积 方法 二 利用公式S=×|F1F2|×|yP|求得面积 方法 三 若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则面积S=.这一结论适用于选择或填空题 =1 ∴mn=32,∴mn=16. (1)a=4,经过点A; (2)与双曲线=1有相同的焦点,且经过点(3,2); (3)过点P,Q且焦点在坐标轴上. 解(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为=1(b>0), 把点A的坐标代入,得b2=-<0,不符合题意; 当焦点在y轴上时,设所求标准方程为=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=9. 故所求双曲线的标准方程为=1. (2)(方法1)∵焦点相同,∴设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), ∴c2=16+4=20,即a2+b2=20.① ∵双曲线经过点(3,2),∴=1.② 由①②得a2=12,b2=8,∴双曲线的标准方程为=1. (方法2)设所求双曲线的方程为=1(-4<λ<16). ∵双曲线过点(3,2),∴=1,解得λ=4或λ=-14(舍去). ∴双曲线的标准方程为=1. ∴解得 ∴双曲线的标准方程为=1. ②与双曲线=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为=1(-b2<k<a2). 解 (1)a=3,c=4,则b2=c2-a2=16-9=7. 又焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为=1. (2)焦点为F1(0,-6)和F2(0,6), 设方程为=1,且c=6,所以a2+b2=c2=36.① 因为经过点A(-5,6),所以=1.② 由①②解得a2=16,b2=20. 所以双曲线的标准方程为=1. 【例3】 给出曲线方程=1. 解(1)将所给方程化为=1, (2)将所给方程化为=1,若该方程表示焦点在y轴上的双曲线, 则有解得k<-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4). 解析 方程化为=1. 因为mn<0,所以<0,故方程表示焦点在y轴上的双曲线. 解析 方程化为=1, 依题意有>0,即sin α·cos α>0. 因为0≤α<π,所以0<α<. 因此发出巨响的点所在曲线的方程为=1(x<0). x2-=1(x>0) 2-2 故轨迹方程为x2-=1(x>0). 根据题意知C(3,), |MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2-2, 当A,M,C共线时,等号成立. 1.[探究点二](多选题)过点(1,1),且的双曲线的标准方程可以是(　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.y2-=1 =1 解析 ∵方程E:=1表示焦点在y轴上的双曲线, ∴解得1<m<2. ∴实数m的取值范围为(1,2).故选A. 3.[探究点二]已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为(　　) A.-y2=1 B.=1 C.x2-=1 D.=1 =1 解析 设双曲线的右焦点为F2,连接ON(图略),ON是△PF1F2的中位线, ∴|ON|=|PF2|. ∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6, ∴|ON|=|PF2|=7或3. A.10米 B.20米 C.10米 D.10米 6.[探究点三]若方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是 　　　 　　;若表示椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.  解析 若方程表示双曲线,则应有m+1>0,即m>-1; 若表示椭圆,则有解得m<-1且m≠-5. =1 解析 设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 则由QF1⊥QF2,得=-1,∴=-1,∴c=5. 设双曲线的方程为=1(a>0,b>0), ∵双曲线过点(4,-3),∴=1. 又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9, ∴双曲线的标准方程为=1. 8.[探究点二]已知与双曲线=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程. 解 已知双曲线=1, 则c2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). 依题意知b2=25-a2, 故所求双曲线方程可写为=1. ∵点P在所求双曲线上,∴=1, 化简得4a4-129a2+125=0, 解得a2=1或a2=. 当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不符合题意,舍去,∴a2=1,b2=24, ∴所求双曲线的标准方程为x2-=1. 10.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若+8,则=(　　) A.2 B.6 C.8 D.10 11.(多选题)已知方程=1表示的曲线为C,下列说法正确的有(　　) A.当1<t<4时,曲线C为椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C为双曲线 C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4 解析 A错误,当t=时,曲线C为圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0, ∴t<1或t>4;C正确, 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴1<t<;D正确, 若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4. 12.(多选题)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|+|PF2|= C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2= 13.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程||=4的解为x=　　　　　.  ± =1(x≤-2) ∴动圆圆心的轨迹方程为=1(x≤-2). 15.已知双曲线=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上. 解 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2, 因为r1r2sin θ,θ已知,所以只需求r1r2即可. (1)当θ=90°时,r1r2sin θ=r1r2. 由双曲线方程知a=2,b=3,c=,由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4, 两边平方,得-2r1r2=16. 又=|F1F2|2,即|F1F2|2-4=16, 也即52-16=4,求得=9. (2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中, |F1F2|2=-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52, 所以r1r2=12,求得r1r2sin 120°=3. 同理,可求得当∠F1MF2=60°时,=9. $$