3.2.2　双曲线的几何性质同步练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

·3.2.2　双曲线的几何性质 第1课时　双曲线的几何性质 一、知识梳理 1.双曲线的几何性质 标准方程 - = 1 - = 1 图　形 性　质 范　围 对称性 顶　点 轴　长 实轴长＝ ，虚轴长＝ 离心率 渐近线 2._________________的双曲线叫作等轴双曲线． 二、课前自测 1.若双曲线－＝1的离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2.已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近 线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程是(　　) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C.x2－＝1 D.y2－＝1 3.(多选题)已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是(　　) A.渐近线方程为y＝±x B.焦点坐标为(±2，0) C.顶点坐标为(±2，0) D.实轴长为2 4.若双曲线－＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则b＝________． 5.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 三、课后练习 6.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　) A.y＝±3x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 7.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，4)，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 9.已知双曲线C的方程为－＝1(k≥3)，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.(，] B.(1， ] C.(，6] D.(2，6] 10.(多选题)已知双曲线C：－＝1(mn＞0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的方程可以是(　　) A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D.y2－＝1 11.(多选题)关于双曲线－＝1与双曲线－＝1，下列说法正确的是(　　) A.焦距相等 B.实轴长相等 C.离心率相等 D.渐近线方程相同 12.已知双曲线经过点(4，)，且其渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为____________． 13.已知双曲线x2－＝1(b＞0)，若其左焦点到左顶点的距离为2，则b的值为________． 14.已知定点A，B，且AB＝4，动点P满足PA－PB＝3，则PA的最小值为________． 15.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点M(，2)．求： (1) 双曲线C的虚轴长； (2) 与双曲线C有相同渐近线，且经过点P(－2，4)的双曲线的标准方程． 16.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，点A(0，b)到其渐近线的距离为c. (1) 求该双曲线的离心率； (2) 若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标． 17.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，点F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍． (1) 求双曲线E的渐近线方程； (2) 若当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求双曲线E的方程． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2　双曲线的几何性质 第1课时　双曲线的几何性质 一、知识梳理 1.双曲线的几何性质 标准方程 - = 1 - = 1 图　形 性　质 范　围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶　点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 轴　长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝ ＝, e>1 渐近线 y＝±x y＝±x 2.____实轴和虚轴等长________的双曲线叫作等轴双曲线． 二、课前自测 1.若双曲线－＝1的离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由双曲线－＝1的离心率为2，可得e＝＝2，解得m＝12，所以该双曲线的标准方程为－＝1. 2.已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近 线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程是(　B　) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C.x2－＝1 D.y2－＝1 解析：由题意，可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由2c＝4，得c＝2，渐近线方程为y＝x，即＝，由c2＝a2＋b2，得b＝1，a＝，所以该双曲线的标准方程为－x2＝1. 3.(多选题)已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是(　BC　) A.渐近线方程为y＝±x B.焦点坐标为(±2，0) C.顶点坐标为(±2，0) D.实轴长为2 解析：由双曲线C： －＝1，知a＝2，b＝2，c＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，焦点坐标为(±2，0)，顶点坐标为(±2，0)，实轴长为4.因此AD选项错误，BC选项正确． 4.若双曲线－＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则b＝___1_____． 解析：因为双曲线－＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±x，由题，知渐近线方程为y＝±x，所以b＝1. 5.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解析：由9y2－4x2＝－36，得－＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝a2＋b2＝13.所以c＝.所以顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝4，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 三、课后练习 6.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　C　) A.y＝±3x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 解析：由3x2－y2＝3，得x2－＝1.令x2－ ＝0，得y＝±x，即该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 7.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，4)，则该双曲线的离心率为(　B　) A. B. C. D. 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线的一条渐近线经过点(3，4)，所以点(3，4)在渐近线y＝x上，则×3＝4，即＝.所以该双曲线的离心率e＝＝＝＝. 8.若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　D　) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 解析：若0＜k＜5，则5－k＞0，16－k＞0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.综上所述，可知两曲线的焦距相等. 9.已知双曲线C的方程为－＝1(k≥3)，则双曲线C的离心率的取值范围是(　A　) A.(，] B.(1， ] C.(，6] D.(2，6] 解析：由双曲线C的方程为－＝1(k≥3)，可得双曲线C的离心率e＝＝.由k≥3，可得0＜≤，所以－≤－＜0.所以≤1－ ＜1.所以e∈(，]． 10.(多选题)已知双曲线C：－＝1(mn＞0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的方程可以是(　AC　) A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D.y2－＝1 解析：因为双曲线C： －＝1(mn＞0)的渐近线方程为y＝±x，所以令－＝0，得y2＝x2＝2x2，即＝2.故选项AC正确． 11.(多选题)关于双曲线－＝1与双曲线－＝1，下列说法正确的是(　AD　) A.焦距相等 B.实轴长相等 C.离心率相等 D.渐近线方程相同 解析：双曲线－＝1的焦距为10，实轴长为8，离心率为，渐近线方程为3x±4y＝0；双曲线－ ＝1的焦距为10，实轴长为6，离心率为，渐近线方程为3x±4y＝0.所以这两个双曲线的焦距相等，渐近线方程相同． 12.已知双曲线经过点(4，)，且其渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为___－y2＝1_________． 解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为该双曲线经过点(4，)，所以－()2＝λ，解得λ＝1.故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 13.已知双曲线x2－＝1(b＞0)，若其左焦点到左顶点的距离为2，则b的值为__b＝2___． 解析：已知双曲线x2－ ＝1(b＞0)，若其左焦点到左顶点的距离为2，则c－a＝2，所以－1＝2，解得b＝2(负值舍去)． 14.已知定点A，B，且AB＝4，动点P满足PA－PB＝3，则PA的最小值为________． 解析：如图，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，则c＝2，2a＝3.当点P与双曲线的右支顶点M重合时，PA最小，最小值为a＋c＝＋2＝. 15.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点M(，2)．求： (1) 双曲线C的虚轴长； (2) 与双曲线C有相同渐近线，且经过点P(－2，4)的双曲线的标准方程． 解析：(1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.由双曲线的定义，可知MF1－MF2＝2a，所以2a＝2，即a＝1.因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以半焦距c＝.又因为a2＋b2＝c2，所以b＝.故双曲线C的虚轴长为2. (2) 由(1)，知双曲线C的方程为x2－＝1.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)．将点P(－2，4)的坐标代入上述方程，得4－＝λ，解得λ＝－4.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 16.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，点A(0，b)到其渐近线的距离为c. (1) 求该双曲线的离心率； (2) 若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标． 解析：(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为bx±ay＝0，由点A(0，b)到其渐近线的距离为c，可得＝＝ c，即有2ab＝c2＝a2＋b2，可得a＝b，c＝a，则e＝＝. (2) 由焦距为4，可得c＝2，a＝b＝，双曲线的方程为x2－y2＝2.设双曲线右支上存在一点P(m，n)，m＞0，即有m2－n2＝2①.由PF1⊥PF2，可得·＝－1，即有m2＋n2＝4②.联立①②，解得m＝，n＝±1.所以点P的坐标为(，1)或(，－1)． 17.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，点F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍． (1) 求双曲线E的渐近线方程； (2) 若当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求双曲线E的方程． 解析：(1) 因为双曲线E的渐近线方程为bx±ay＝0，则点F2到渐近线的距离为＝b，所以由题意，知c＋a＝2b.又因为a2＋b2＝c2，所以b＝a.所以双曲线E的渐近线方程是4x±3y＝0. (2) 因为∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理，得 ＋ －2PF1·PF2cos 60°＝F1 ，即＋ －PF1·PF2＝4c2①.又由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a，平方，得＋ －2PF1·PF2＝4a2②.①－②，得PF1·PF2＝4c2－4a2＝4b2.根据三角形的面积公式，得 S＝PF1·PF2·sin 60°＝·4b2＝b2＝48，解得b2＝48.由(1)，得a2＝b2＝27，故双曲线E的方程是－＝1. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$