3.3.2 抛物线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3.3.2　抛物线的简单几何性质 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.了解抛物线的简单几何性质. 2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题. 3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形         范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 　 　  　 　  　 　  x轴 y轴 y轴 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点 F 　　 　  　　 　  　　 　  顶点 　　　　  准线 x= 　　　   　　 　  　 　　  离心率 　　   开口方向 向右 向　 　  向　　   向　 　  原点(0,0) e=1 左 上 下 名师点睛 1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平. 2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直. 过关自诊 1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同? 提示 抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线. 2.[北师大版教材习题]在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线: (1)y2=x;(2)y2=2x;(3)y2=4x. 通过观察这些图形,说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系. 解 如图,通过观察这些图形,抛物线方程中x的系数的绝对值越大,抛物线开口越大. 3.[人教B版教材例题]已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标原点且开口向左,又抛物线经过点M(-4,2 ),求这个抛物线的标准方程. 知识点2　直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 直线与抛物线只有一个公共点时,可以直线与抛物线相切,也可以相交 过关自诊 1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 C 解析 ∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0), 又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部, ∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点; 当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 2.[2023上海闵行期末]过点(0,4)作直线与抛物线y2=x有且仅有一个交点,这样的直线可以作出　　　　条.  3 解析 当过点(0,4)的直线斜率不存在时,显然x=0与抛物线y2=x有且只有一个交点. 当过点(0,4)的直线与抛物线y2=x的对称轴平行,即斜率为0时,显然y=4与抛物线y2=x有且只有一个交点; 当直线过点(0,4),斜率存在,且与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点, 设直线方程为y=kx+4,代入抛物线方程y2=x,消去y得k2x2+(8k-1)x+16=0, 综上可得,过点(0,4)的直线l与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线l共有3条. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　抛物线几何性质的应用 【例1】 已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 思路分析 (1)利用抛物线的对应性质求解; (2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解. 解 (1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞). (2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M. 因为焦点F是△OAB的重心, 规律方法 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化. 变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程. 探究点二　直线与抛物线的位置关系 【例2】 [2023北京海淀期末]已知抛物线C:y2=2px(p>0),点P(2,4)在抛物线C上. (1)求抛物线C的方程; (2)不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于P,Q两点,若OP⊥OQ,求m的值. 解(1)∵点P(2,4)在抛物线C上, ∴42=2p×2,∴p=4, 故抛物线C的方程为y2=8x. ∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=2m2+m(8-2m)+m2=0, ∴m=-8或m=0,经检验,当m=0时,直线过坐标原点,不符合题意,m=-8<2,符合题意. 综上,m的值为-8. 规律方法 1.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备. 2.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0. (1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. 变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　) C 解析 由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意. 故直线l的斜率存在, 设为k,则l的方程为y=k(x+2). 当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0, 即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1. 故直线l斜率的取值范围是[-1,1]. 探究点三　抛物线的焦点弦问题 【例3】 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F(1,0), l的方程为y=k(x-1)(k>0). (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 规律方法 AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论: 变式训练3过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　) C 探究点四　与抛物线有关的定点、定值问题 规律方法 定值与定点问题的求解策略 (1)欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即定值. (2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法:①通过方程判断;②对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;③利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等. 变式训练4已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点. (2)证明 当l的斜率存在时,易知k≠0,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程, l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0).综上,l过定点(3,0). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)抛物线的几何性质及应用; (2)直线和抛物线的位置关系; (3)抛物线中点弦问题,轨迹问题. 2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法. 3.常见误区:(1)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误; (2)数学运算的失误. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 ,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 A 解析 由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, ∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4, ∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点一]若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2 ,则点A到抛物线的准线的距离为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点一、二]设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点三]已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为(　　) A.18 B.24 C.36 D.48 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点一]设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则p=　　　　　,B到该抛物线准线的距离为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点四]已知点M到点F(1,0)和到直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)过点F作相互垂直的两条直线l1,l2,曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1, (1)解 ∵点M到点F(1,0)和到直线x=-1的距离相等, 由抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线, 设方程为y2=2px(p>0), ∵ =1,∴p=2.∴轨迹C的方程为y2=4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)证明 易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0,设l1的方程为y=k(x-1), 代入抛物线方程,整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4 ,则抛物线方程为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.已知点A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有(　　) A.|PP1|=|AA1|+|BB1| B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l作垂线得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是(　　) A.∠CFD=90° B.△CMD为等腰直角三角形 C.直线AB的斜率为± D.△AOB的面积为4 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 由y2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦点F(1,0),准线l:x=-1. 设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48 ,则p的值为　　　　　.  2 又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0. ∴x2-x1=0,即x1=x2. 根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分. (1)求直线l的方程. (2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0. 设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x, 可得y2-8my+16m-16=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N. (1)求y1y2的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (1)解 依题意,设AB的方程为x=my+2, 代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 必备知识基础练 17.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 　　　　　　　　　.  y2=3x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短, 又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3, 所以抛物线的方程为y2=3x. x= y=- y= F F F 解 根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0), 因为点M(-4,2)在抛物线上,所以(2)2=-2p×(-4),因此2p=3. 从而可知所求方程为y2=-3x. Δ=(8k-1)2-64k2=-16k+1=0,解得k=,即直线方程为y=x+4. 所以|OF|=|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0). 故设A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24, 所以m=2或m=-2(舍去). 所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=, 所以△OAB的周长为2+4. 解 由题意,设抛物线的方程为y2=2px(p≠0),焦点F,直线l:x=. ∴A,B两点的坐标分别为, ∴|AB|=2|p|.∵△OAB的面积为4, ∴·2|p|=4.∴p=±2. ∴抛物线的方程为y2=±4x. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 得x2+(2m-8)x+m2=0,Δ=(2m-8)2-4m2>0,得m<2,∴x1+x2=8-2m,x1x2=m2. 又OP⊥OQ,则=x1x2+y1y2=0, A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 由消去y,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此直线l的方程为y=x-1. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 1 以AB为直径的圆必与准线l相切 2 |AB|=2 3 |AB|=x1+x2+p 4 若直线AB的倾斜角为α,则|AB|= 5 6 A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值,即x1x2=,y1y2=-p2 7 S△AOB=(α为直线AB的倾斜角) 8 ∠A1FB1=90° A. B.2 C.2 D.3 解析 如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1). 联立得方程组 解得　或 ∵点M在x轴的上方,∴M(3,2). ∵MN⊥l,∴N(-1,2). ∴|NF|==4, |MF|=|MN|==4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形. ∴点M到直线NF的距离为2. 【例4】 已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点,且=2. (1)求抛物线C的方程; (2)点M的坐标为(-2,0),直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求证:为定值. (1)解 由题意可设l的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由-my-2=0. ∴y1+y2=2pm,y1y2=-4p. ∴=x1x2+y1y2=+y1y2=4-4p=2, ∴p=,∴抛物线C的方程为y2=x. (2)证明 ∵点M的坐标为(-2,0), ∴ . 由(1)可得y1+y2=m,y1y2=-2,∴=0为定值. (1)解 易知x1≠x2,=4x1,=4x2,两式相减得=4x1-4x2, 所以,所以直线l的方程为y-3=(x-3),即y=x+1. 整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2==-12,b=-3k, ∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则P(3,±2), A. B. C.2 D. A.2 B. C. D.3 解析 由已知得B,把点B坐标代入y2=2px得1=2p·, ∴p2=2,∴p=, ∴B,故d=. Q2,试证明:. 设P1,P2的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=, ∴|P1P2|=x1+x2+p=, 同理,可得|Q1Q2|=4+4k2,∴. 7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若 =-4,则点A的坐标是(　　) A.(2,±2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2) 解析 由题意知F(1,0),设A,则, 由=-4得y0=±2,∴点A的坐标为(1,±2). 8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　) A. B.3 C. D. A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=x 解析 设M(x1,y1),则由|MF|=4|OF|得x1+=4×,即x1=p,则=3p2, 则|y1|=p,则S△OMF=p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x. A. B.+1 C. D.-1 B.|PP1|=|AB| C.|PP1|>|AB| D.|PP1|<|AB| 故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|. 由得y2-4my-4=0, ∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.从而x1+x2=4m2+2,①x1·x2=1.② 又|AF|=3|BF|,∴x1+=3,即x1=3x2+2.③ 将③代入①得,x2=m2.将③代入②得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去). ∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,故C正确; C(-1,y1),D(-1,y2),∴=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确; M(2m2+1,2m),∴=4(m2+1)2+4m2-2m·(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=, 结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误; S△AOB=|OF||y1-y2|=,故D错误.故选AC. 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2). ∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2, ∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0. 由△OAB为等边三角形, 不妨设直线OB的方程为y=x, 由解得B(6p,2p), ∴|OB|==4p. ∵△OAB的面积为48, ∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2. 14.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点, 则p=　　　　　,=　　　　　.  判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m, 由8m=4,得m=, 所以直线l的方程为2x-y-2=0. (2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在, 则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立, 消去y,得x2-(n+8)x+n2=0, 其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,则n>-4. (*) 又因为xC+xD=4(n+8), 所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-,不满足(*)式. 所以满足题意的C,D两点不存在. (2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值. (2)证明 设M(x3,y3),N(x4,y4), , 设直线AM的方程为x=ny+1, 代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0, 所以y1y3=-4,同理y2y4=-4, , 由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值. 解析 由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F. 当直线PQ的斜率不存在时,易得|PQ|=2p; 当直线PQ的斜率存在时, 设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立得k2=2px, 整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0, 所以x1+x2=p+,x1x2=. 所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p. $$