培优课 椭圆的综合问题及应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 培优课　椭圆的综合问题及应用 人教A版 数学 选择性必修第一册 重难探究·能力素养全提升 探究点一　椭圆的中点弦问题 【例1】 已知椭圆 的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程. 解 (方法1)易知直线AB的斜率k存在. 设所求直线的方程为y-1=k(x-2), (方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2. ∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2. (方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1), 则另一个交点为B(4-x,2-y). ∵A,B两点都在椭圆上, ①-②,得x+2y-4=0. 显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0. 规律方法 处理椭圆的中点弦问题的三种途径 (1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解. (2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法. (3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得. 变式训练1已知椭圆 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为　　　　　. 探究点二　直线与椭圆的位置关系 规律方法 直线与椭圆位置关系的判断方法 变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点. (1)求线段AB的中点坐标; (2)求△OAB的面积. 探究点三　椭圆中的最值与范围问题 【例3】 如图,点A,B分别是椭圆 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF. (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 规律方法 解决与椭圆有关的最大(小)值或范围问题的方法 (1)定义法:利用椭圆定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大(小)值点(或临界点),进而求解. (3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或范围. 变式训练3[2023四川达州期末]古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆Γ的中心为原点O,焦点F1,F2均在x轴上,离心率等于 ,面积为15π. (1)求Γ的标准方程; (2)若直线l与圆M:x2+y2=16相切,且直线l与Γ交于C,D两点,求△COD面积的最大值. ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2), 因为直线l与圆M相切, 探究点四　椭圆中的定点、定值问题 (1)求椭圆C的方程. (2)已知P(0,2),过点Q(-1,-2)作直线l交椭圆C于A,B两点(异于点P),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.试问k1+k2是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由. (2)k1+k2为定值4. ①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-1, ②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-(-2)=k[x-(-1)],即y=kx+k-2, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 规律方法 定点、定值问题的求法 定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思想.具体处理方法有以下两种: (1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与椭圆的位置关系; (2)椭圆中的中点弦、最值与范围、定点与定值问题. 2.方法归纳:分类讨论法、点差法. 3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点三]已知F1,F2是椭圆 +y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(　　) A.(-2,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点二]过椭圆 +y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点四]已知F1为椭圆C: +y2=1的左焦点,直线l:y=x-1与椭圆C交于A,B两点,那么|F1A|+|F1B|的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一][2023山西阳泉期末]已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为F(2,0),该椭圆被直线x+3y-4=0所截得的弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为　 　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 必备知识基础练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.直线y=x+2与椭圆 (m>0且m≠3)有两个公共点,则m的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞) C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞) B ∴Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0. 又m>0且m≠3,∴m>1且m≠3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 如图所示,依题意得∠F1PF2=90°,|PF2|=c, ∴|PF1|=2a-c. 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 若C上存在点P满足∠APB=120°, 则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°. 故分析长半轴与短半轴的关系即可. 当焦点在x轴时,若∠APB≥120°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知P是椭圆 (a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,∠F1PF2= 120°,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为　　　　　.  解析 设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=3m. 由∠F1PF2=120°得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 必备知识基础练 17.有一椭圆形溜冰场,长轴长是100 m,短轴长是60 m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴,以长轴的中点为坐标原点O, 建立如图所示的平面直角坐标系. 设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上. 易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴对称. 已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则a=50 m,b=30 m, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 =1 由得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根, ∴x1+x2=.又M为AB的中点, ∴=2,解得k=-,且满足Δ>0. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 又A,B两点在椭圆上,∴=16,=16, 两式相减,得()+4()=0, ∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴=-=-=-,即kAB=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. ∴ =1 =1 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知x1≠x2,则=1,=1,两式相减, 可得=0.∴=-. ∵线段AB的中点坐标为(1,-1),∴. ∵直线的斜率为,∴. ∵右焦点为F(3,0),∴a2-b2=9. ∴a2=18,b2=9.∴椭圆的方程为=1. 【例2】 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭 圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围. 解 由已知条件知直线l的方程为y=kx+, 代入椭圆方程得+(kx+)2=1, 整理得x2+2kx+1=0, 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>, 所以k的取值范围为. 解 (1)设椭圆C的方程为=1, 由题意a=3,c=2,于是b=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. 由得10x2+36x+27=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=, 故线段AB的中点坐标为. (2)设点O到直线y=x+2的距离为d, 则d=. 又由(1)知x1x2=, 所以|AB|= =, 故S△OAB=. =1 解 (1)由已知可得A(-6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y), 则=(x+6,y),=(x-4,y). 由已知得 消去y得2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6. 由于y>0,只能x=,于是y=. 故点P的坐标是. (2)直线AP的方程是x-y+6=0. 设点M的坐标是(m,0),则点M到直线AP的距离是,于是=|m-6|. 又-6≤m≤6,解得m=2. 设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d, 有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=+15. 由于-6≤x≤6,因此当x=时,d取最小值. 即椭圆上的点到点M的距离d的最小值为. 解 (1)由题意可得 解得所以Γ的标准方程为=1. (2)①当直线l的斜率不存在时, 由题意知直线l的方程为x=±4,代入Γ的方程可得y2=9×, 可得|y|=,可得|CD|=, 这时S△COD=×4×. 所以圆心O到直线l的距离d==4,可得t2=16(1+k2), 联立整理可得(9+25k2)x2+50ktx+25t2-225=0, Δ=502k2t2-4(9+25k2)(25t2-225)>0,即t2<9+25k2, 即16(1+k2)<9+25k2, 可得k2>,且x1+x2=,x1x2=, 所以|CD|= , 所以S△COD=|CD|·d=·4=60·, 令k2=m,则m>,S△COD=60·=60·, 令y=,m>,则y-=-<0恒成立, 所以y<,即S△COD<.综合①②可得,△COD面积的最大值为. 【例4】 已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2. 解 (1)由题意得解得a2=8,b2=4, 所以椭圆C的方程为=1. 联立 不妨令A,B, 于是k1=,k2=,所以k1+k2=4,为定值. 由方程组消去y,得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0, 则(*) ∴k1+k2== ==2k+(k-4)·, 将(*)式代入上式得k1+k2=4,为定值. 变式训练4设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5. (1)求椭圆C的方程; (2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标. (1)解 设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线. ∴|OM|=|AF1|,|MF|=|AF|, ∴|OM|+|MF|==a=5. ∵e=,∴c=2,∴b=. ∴椭圆C的方程为=1. (2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y整理,得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0. ∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=, ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=, y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =. ∵P(0,1),=-4, ∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4, ∴+5=0, 整理得3m2-m-10=0, 解得m=2或m=-(舍去). ∴直线l过定点(0,2). A. B. C. D. 解析 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF1|·|PF2|≤=4, 当且仅当PF1=PF2=2,即点P坐标为(0,-1)或(0,1)时,等号成立.故选D. 3.[探究点四]若AB是过椭圆=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM等于(　　) A.- B.- C.- D.- 解析 因为在+y2=1中,a2=4,b2=1, 所以c2=3,所以右焦点的坐标为(,0), 将x=代入+y2=1得y=±,故|AB|=1. 5.[探究点二]若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为　　　　　.  解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y得3x2-4x=0,得x=0或x=, 不妨令A(0,-1),B. 又F1(-1,0),∴|F1A|+|F1B|=. =1 8.[探究点三]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1, F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的 最大值. 解 (1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2. ∵e=,∴c=,∴b2=a2-c2=2, 即椭圆C的方程为=1. (2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2), 将y=x+n代入椭圆C的方程, 整理得5x2+4nx+2n2-4=0, Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10, ∴x1+x2=-,x1x2=, ∴|AB|=, 点O到直线AB的距离d=, ∴S△OAB=×|AB|×d= ×(10-n2+n2)=, ∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时,等号成立,∴△OAB面积的最大值为. 9.已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　) A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4] =1 解析 由消去y可得(3+m)x2+4mx+m=0, 11.A为椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点,P为椭圆C上一点(不与A重合),若=0(O是坐标原点),则(c为半焦距)的取值范围是(　　) A. B. C. D.以上说法都不对 12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P.若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为(　　) A.-1 B. C. D. ∴e2+2e-2=0,解得e=-1或e=--1(舍).故选A. 13.(多选题)设A,B是椭圆C:=1长轴的两个顶点,若C上存在点P满足∠APB= 120°,则k的取值可以是(　　) A. B.2 C.6 D.12 则⇒0<k≤, 当焦点在y轴时,若∠APB≥120°, 则⇒k≥12.故k∈∪[12,+∞), 由选项可知,A,D符合题意. 14.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过点F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为(　　) A. B. C. D. =1 即4c2=9m2+m2+3m·m,因此,c=m. 又2a=|PF1|+|PF2|=4m,∴a=2m. ∴e=. 16.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P,离心率是. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,求直线l与 坐标轴围成三角形的面积. 解 (1)由已知可得=1, c2=a2-b2,解得a=2,b=1. ∴椭圆的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,代入椭圆方程得=1,=1, 两式相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0, 由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1. ∴直线AB的斜率kAB==-,可得直线AB的方程为y-=-, 令x=0,可得y=,令y=0,可得x=, 则直线l与坐标轴围成的三角形面积为S=. 所以椭圆的方程为=1. 设点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0, 则=1,即(502-). 根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0. ∵(502-)=, ∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值. 这时x0=25,y0=15. 矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4×(25+15)=160(m). 因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点,这个矩形的周长为160 m. 8 $$