第三章 圆锥曲线的方程章末总结提升课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 章末总结提升 人教A版 数学 选择性必修第一册 知识网络·整合构建 专题突破·素养提升 专题一　圆锥曲线的定义及标准方程 1.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法:动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)定义法:动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量. (3)代入法:动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. (4)待定系数法:根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数. 2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. (1)点M的轨迹是什么曲线?请写出它的标准方程. (2)已知定点T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值为1,求t的值. 规律方法 1.应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. 2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决. 3.在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决. 变式训练1P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标. 解 抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D, 那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|. 如图所示,根据平面几何知识, 当M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小, 且最小值为|MD|=2-(-2)=4, 所以|PM|+|PF|的最小值是4. 专题二　圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型: (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 规律方法 求解离心率的三种方法 (1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e= ,已知其中的任意两个参数,可以求其他参数,这是基本且常用的方法. (2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观. A 专题三　直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式. 2.通过解决直线与圆锥曲线的位置关系问题培养数学运算的核心素养. (2)直线l的方程为y=k(x-2), 设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),x1x2y1y2≠0. 规律方法 1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断. 2.一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具. (1)若A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程; (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围. 若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,则线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解. 专题四　圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题的解决培养逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)求椭圆E的方程; (2)P为椭圆E上一个动点,求△PAB面积的最大值. 易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k(x+2)+1, 代入①可得(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2-4b2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 规律方法 1.最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解. 2.圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解. 变式训练4已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,倾斜角为45°的直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=8. (1)求抛物线C的方程; (2)设点E为直线x= 与抛物线C在第一象限的交点,过点E作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交抛物线C于点M,N,如果k1+k2=-1,证明:直线MN过定点,并求定点坐标. ∴|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=4p=8, ∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x. 【例1】 动点M的坐标(x,y)在其运动过程中总满足关系式=6. 解 (1)由于点(x,y)满足=6, 即点(x,y)到两个定点(-,0),(,0)的距离之和等于常数6, 由椭圆的定义可知,此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=3,c=, 故b=2,故椭圆的标准方程为=1. (2)由于|MT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+4,0≤x≤3, 记f(x)=(x-t)2+4=2-t2+4,0≤x≤3. ①当0≤t<3且0<t<3,即0<t<时,|MT=f=-t2+4, 又|MT=1,∴-t2+4=1,解得t=,而t=∉,故舍去. ②当t≥3且0<t<3,即≤t<3时,|MT=f(3)=t2-6t+9, 又|MT=1,∴t2-6t+9=1,解得t=2或t=4,而4∉[,3),2∈[,3), 故t=4不符合题意,t=2符合题意.综上可知,t=2. 此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点P的坐标是. 【例2】 已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为　　　　　　　　. x±y=0 解析 设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=. 因为e1·e2=,所以,即,所以. 故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0. 变式训练2已知椭圆=1(a>b>0)的半焦距是c,A,B分别是长轴、短轴的一个端点,O为原点,若△ABO的面积是c2,则此椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析 由已知得ab=c2,即a2(a2-c2)=12c4,所以(a2+3c2)(a2-4c2)=0, 所以a2=4c2,a=2c,故e=. 【例3】 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A(m<0)到点F的距离为. (1)求抛物线的方程及点A的坐标; (2)设斜率为k的直线l过点B(2,0)且与抛物线交于不同的两点M,N,若=λ且λ∈,求斜率k的取值范围. 解 (1)由抛物线的定义可知,|AF|=,得p=2, ∴抛物线的方程为x2=4y, 将点A(m<0)代入抛物线方程得m=-, ∴点A的坐标为. 联立消去y,整理得x2-4kx+8k=0, Δ>0⇒16k2-32k>0⇒k<0或k>2,且x1+x2=4k,x1x2=8k. 又=λ,即(x1-2,y1)=λ(x2-2,y2),∴y1=λy2⇒λ=. ∵=4y1,=4y2,∴λ=2∈⇒∈∪. 又=2k=+2+⇒k=+1, 令=t∈∪,∴k=+1∈(-,0]∪[2,). 又k<0或k>2,∴k的取值范围是∪. 变式训练3已知椭圆E:=1(a>b>0),其焦点为F1,F2,离心率为,直线l:x+2y-2=0与x轴、y轴分别交于点A,B. 解 (1)由椭圆的离心率为,得a=c, 由A(2,0),得a=2,∴c=,b=, ∴椭圆的方程为=1. (2)由e=,设椭圆方程为=1, 联立得6y2-8y+4-a2=0, 设f(y)=6y2-8y+4-a2,∴ ∴≤a2≤4.又a>0,故a的取值范围是. 【例4】 已知椭圆E:=1(a>b>0),离心率为,如图,AB是圆M: (x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点. 解(1)因为椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,所以=1-,即a=2b, 故可设椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.① 由题意可得圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=, 则x1+x2=,x1x2=. 由M为AB的中点,可得x1+x2=-4,得=-4,解得k=, 从而x1x2=8-2b2,于是|AB|=,解得b2=3,则椭圆E的方程为=1. (2)设P(2cos θ,sin θ), 由(1)可得AB的方程为x-2y+4=0, 点P到直线AB的距离为d=, ∴dmax=,故△PAB面积的最大值为S==2+2. (1)解 由题意,知F,倾斜角为45°的直线l过点F, 则直线的方程为y=x-, 代入抛物线方程得x2-3px+=0. 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=3p, 根据抛物线定义,可得|AF|=xA+,|BF|=xB+, (2)证明 抛物线方程为y2=4x,直线x=,即x=1,得E(1,2). ①当直线MN的斜率存在时,设直线MN:y=kx+b(k≠0),代入y2=4x中, 可得k2x2+(2kb-4)x+b2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠1,x2≠1,则x1+x2=-,x1x2=. 因为k1==k+,k2=k+, 所以k1+k2=2k+(b+k-2)·=-1,化简得b=-5k-6, 此时MN:y=k(x-5)-6,过定点(5,-6). ②当直线MN的斜率不存在时,设方程为x=t, 则不妨令M(t,2),N(t,-2),k1+k2==-1,解得t=5,∴方程为x=5. 综上,直线MN过定点(5,-6). $$