3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3.1.1　椭圆及其标准方程 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义和标准方程. 3.会求椭圆的标准方程. 基础落实·必备知识全过关 知识点1 椭圆的定义 1.定义 此条件不可忽略  我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于　　　　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.　　　　　 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. 2.定义的集合语言表述 椭圆就是下列点的集合:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. 常数 名师点睛 在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(　　) (2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(　　) (3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.(　　) (4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.(　　) × × √ × 2.平面内一动点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a,则点M的轨迹为 (　　) A.椭圆 B.圆 C.椭圆或线段或不存在 D.不存在 C 解析 根据题意,得|MF1|+|MF2|=2a, ①当2a>|F1F2|时,满足椭圆的定义,可得点M的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆; ②当2a=|F1F2|时,|MF1|+|MF2|=|F1F2|,点M在线段F1F2上,点M的轨迹为线段F1F2; ③当2a<|F1F2|时,|MF1|+|MF2|<|F1F2|,不存在满足条件的点M. 综上所述,点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选C. 知识点2　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>b>0) 　　　　 　　  图形     焦点坐标 　 　　　　　  F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的 关系 a2=b2+c2 该关系中蕴含:①a>b,a>c;②可知二求一 F1(-c,0),F2(c,0) 名师点睛 1.两种椭圆 (a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2.给出椭圆方程 (m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 过关自诊 1.在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 2.能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置? 提示 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定. 提示 能.根据x2与y2的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个轴上. 3.[北师大版教材习题]椭圆 =1上一点P到该椭圆的一个焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离为　　　　　.  4 4.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)a= ,b=1,焦点在x轴上; (2)b=3,经过点(0,-4),焦点在y轴上. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求椭圆的标准方程 角度1.待定系数法 【例1】 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 规律方法 待定系数法应用注意事项 (1)利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下: ①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程. (2)焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算. 变式训练1[人教B版教材例题]分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8; (2)两个焦点分别是F1(0,-4),F2(0,4),并且椭圆经过点( ). 解 (1)由已知得2a=8,因此a=4. 又因为c=3,所以b2=a2-c2=42-32=7. 角度2.定义法 【例2】 一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程. 解 圆Q1和圆Q2的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, ∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3, ∴b2=a2-c2=25-9=16. 变式探究 本例题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程. 解设动圆圆心为P(x,y),半径为r. 由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1; 由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r. 则|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|. 则P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8, 即a=4,c=3,则b2=a2-c2=7. 规律方法 1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法. 2.一般步骤: (1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离); (2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴; (3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程. 探究点二　对椭圆标准方程的理解 A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25) C.(8,25) D.(8,+∞) B (2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 　 .  规律方法 根据椭圆方程求参数的取值范围 变式训练2若方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.  (-4,0)∪(0,3) 探究点三　椭圆中的焦点三角形问题 【例4】 已知F1,F2是椭圆 =1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为　　　　　.  规律方法 变式训练3如图,已知经过椭圆 =1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点. (1)求△AF1B的周长. (2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么? 故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|, ∴△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20, ∴△AF1B的周长为20. (2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长仍为20不变. 理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a, 和AB与x轴是否垂直无关. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)椭圆的定义及其应用; (2)椭圆的标准方程. 2.方法归纳:定义法、待定系数法. 3.常见误区:(1)忽视椭圆定义中a,b,c的关系;(2)混淆椭圆的两种标准方程. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法正确的是(　　) A.当a=2时,点P的轨迹不存在 B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3 C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6 D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆 AC 解析 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,故A正确; 当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,故B错误,C正确; 当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点一](多选题)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2 ,若|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则椭圆C的标准方程可以是(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点一]中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆满足下列两个条件: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 解析 如图,取MN的中点G,G在椭圆C上, 因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点一]求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 必备知识基础练 10.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可以是(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 如图, 设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆的半径为r. 若点A与点B不重合,由于两圆相内切,则|AC|=R-r, 由于r=|BC|,∴|AC|=R-|BC|,即|CA|+|CB|=R. ∴动点C到两个定点A,B的距离和为常数R. ∵B为圆内的定点,∴|AB|<R. ∴动点C的轨迹为椭圆. 若A,B重合为一点,则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知P为椭圆 上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2 +y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5 B.7 C.13 D.15 B 解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10, 从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知椭圆 的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　.  2 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 解析 由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2, |PF1||PF2|=9, ∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2, ∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 必备知识基础练 =1 =1(a>b>0) =1,=1 =1 解析 设所求距离为x.在=1中,a2=25, 所以a=5,所以x+6=5×2,所以x=4. 解 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0), 且a=,b=1,故椭圆的标准方程为+y2=1. (2)由题意可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),且b=3, 把点(0,-4)的坐标代入=1,可得a=4, 故椭圆的标准方程为=1. (3)经过点A(,-2)和点B(-2,1). 解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为=1(a>b>0). 因为2a==10,所以a=5. 又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为=1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以解得 故所求椭圆的标准方程为+x2=1. (3)(方法1)①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. ②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 因为不满足a>b>0,所以无解.综上可知,所求椭圆的标准方程为=1. (方法2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. ,- 因为椭圆的焦点在x轴上,所以所求椭圆的标准方程为=1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为=1(a>b>0). 由已知得c=4.又因为c2=a2-b2,所以a2=b2+16. 因为点(,-)在椭圆上,所以=1,即=1. 从而有=1,解得b2=4或b2=-12(舍去). 因此a2=4+16=20,从而所求椭圆的标准方程为=1. 故动圆圆心的轨迹方程为=1. 故动圆圆心的轨迹方程是=1. 【例3】 (1)若方程=1表示椭圆,则实数m的取值范围是(　　) 解析 依题意有解得-9<m<8或8<m<25, 即实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25). 解析 由题意知m≠0,将椭圆方程化为=1, 依题意有解得m<-, 即实数m的取值范围是. (1)给出方程=1,其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0,其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0. (2)若给出椭圆方程Ax2+By2=C(ABC≠0),则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式=1,再研究其焦点的位置等情况. 解析 方程化为=1, 依题意应有12-a>a2>0,解得-4<a<0或0<a<3. 解析 如图,由=1, 知a2=9,b2=7,c2=2. 所以a=3,b=,c=. 所以|F1F2|=2. 设|AF1|=x,则|AF2|=6-x. 因为∠AF1F2=45°,所以(6-x)2=x2+8-4x·. 所以x=.所以×2. 解 (1)由题意知A,B在椭圆=1上, 2.[探究点一][2023江西鹰潭期末]方程=10 化简的结果是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 3.[探究点二]如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(　　) A.(3,4) B. C. D. 解析 由题意可得,方程=1表示焦点在y轴上的椭圆, 所以4-m>0,m-3>0,并且m-3>4-m,解得<m<4.故选D. A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析 由已知2c=|F1F2|=2,所以c=. 因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,所以a=2.所以b2=a2-c2=9. 故椭圆C的标准方程是=1或=1.故选BC. 5.[探究点三]已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,若△PF1F2的内切圆半径的最大值为a-c,2a=4,则△PF1F2的面积的最大值为(　　) A.2 B.2 C. D. ①椭圆一个焦点坐标为(0,2); ②椭圆经过点(-,-),则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.  =1 解析 由条件①可得椭圆的焦点在y轴上,且c=2,所以a2-b2=12,① 则可设椭圆方程为=1,代入点(-,-),得=1,② 由①②可得a2=20,b2=8,所以椭圆的方程为=1. 7.[探究点一]过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　　.  =1 8.[探究点二]已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=　　　　　. 故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|, 所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12. (1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3); (2)经过两点(2,-),. 解 (1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义知2a==12, 所以a=6. 又c=2,所以b==4. 所以椭圆的标准方程为=1. (方法2)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设其标准方程为=1(a>b>0). 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为=1. (2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为=1. 同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在. 综上,所求椭圆的标准方程为=1. (方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 将两点(2,-),代入,得解得 所以所求椭圆的标准方程为=1. A.=1(y≠0) B.=1(y≠0) C.=1(y≠0) D.=1(y≠0) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 =1 =1 解析 由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2. 在△PF1F2中,cos∠F1PF2==-. 故∠F1PF2=120°. 15.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=　　　　　.  16.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为. (1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E; (2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值. 解 (1)如图,设动圆C的半径为R. 由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R,① |CC2|=2+R,② ①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|. 解得x=2, 由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部,C2的外部),其轨迹方程为=1(x<2). (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=,=. 由=5可得,=5, 所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18, 由P,Q是轨迹E上的两点,得解得 所以x1=0,y1=-3.所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6. 17.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,则=　　　　　.  解析 由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3. ∵△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上, ∴|BC|+|AB|=2a=10, ∴由正弦定理可知. $$