专题19 双曲线的简单几何性质9种常考题型归类（118题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题19 双曲线的简单几何性质9种常考题型归类（118题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 双曲线的几何性质 题型二 由双曲线的几何性质求标准方程 题型三 双曲线的渐近线 题型四 双曲线的离心率问题 （一）求双曲线的离心率 （二）求双曲线离心率的取值范围 （三）根据双曲线的离心率求参数 题型五 直线与双曲线的位置关系 （一）根据直线与双曲线的位置关系求参数 （二）弦长问题 （三）三角形面积问题 （四）中点弦问题 题型六 双曲线的最值（范围）问题 题型七 双曲线的向量问题 题型八 双曲线的定点、定值、定直线问题 题型九 双曲线的实际应用 知识点1：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点2：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点3：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 知识点4：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点5：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 知识点6：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 解题策略 1．双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标(实轴端点坐标)、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关． 注：(1)由双曲线的方程研究几何性质的四个解题步骤 (2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上． (3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线． 依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形． 2、求双曲线的标准方程的方法与技巧 (1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程． (2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．　 (3)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． 注：已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏． 3.巧设双曲线方程的六种常用方法 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． (3)与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 4．求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝求解． (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解． 注：求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a，c，计算e＝； (2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解． 5．求双曲线离心率范围的思路 求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. 双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 6．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程． 7.双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A(c，)，B(c，－)，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a>0，b>0)的通径长也是. 注意：若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长； 若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 8、直线与双曲线的位置关系 (1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． (2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　 (3)双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 注：（1）弦长公式 直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.在运用弦长公式时，注意根与系数的关系的应用． （2）弦中点问题的解决方法 对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度． 另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决． 9.双曲线与其他知识的综合 此类题涉及的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线与双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值或取值范围． 题型一 双曲线的几何性质 1.【多选】（2024·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为1 B．虚轴长为2 C．离心率 D．渐近线方程为 2．【多选】（2024·江苏盐城·高二统考期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 3．【多选】（2024·云南怒江·高三校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（　　） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为 4．【多选】（2024·浙江金华·高二统考期末）已知双曲线，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 5.【多选】（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 6．（2024·内蒙古包头·高二统考期末）若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 7．（2024·云南昆明·高二统考期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 8．【多选】（2024·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（    ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 9.（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（    ） A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为 C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为 题型二 由双曲线的几何性质求标准方程 10．（2024·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2， (1)求双曲线标准方程； (2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. 11．（2024·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）与双曲线有公共焦点，且长轴长为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·高二专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 13．（2024·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 15．（2024·全国·高三对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（    ） A． B． C． D． 16.（2024·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 17.（2024·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题： （1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程； （2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程． 题型三 双曲线的渐近线 18．（2024·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ． 19．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·河南平顶山·高二统考期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 21．（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 . 22．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（    ） A．1 B． C．2 D．1或 23.（2024·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 24.（2024·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）已知F为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（    ） A． B．2 C． D． 26．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ． 27．（2024·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为 ． 28.（2024·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ）    A．3 B． C． D． 29．（2024·陕西西安·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ，直线的斜率为 . 题型四 双曲线的离心率问题 （1） 求双曲线的离心率 30．（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率等于（    ） A． B． C．2 D．3 31.（2024·福建泉州·高二校联考期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 . 32．（2024·全国·高三专题练习）设分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 34.（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 35．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 36．（2024·湖南·高二校联考期末）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 37．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 38．（2024·广东揭阳·高二统考期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ． 39．（2024·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 40．（2024·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 . 41.（2024·湖南衡阳·高二统考期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . （2） 求双曲线离心率的取值范围 42．（2024·高二校考单元测试）已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ． 43.（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ． 45．（2024·四川攀枝花·统考三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 46．（2024·河北承德·统考模拟预测）已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47.（2024·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 . 48.（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 49．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，记为双曲线：的左焦点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，若，则的离心率的取值范围为 51.（2024·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 52.（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53.（2024·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （三）根据双曲线的离心率求参数 54.（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 ． 55．（2024·北京石景山·校考模拟预测）已知双曲线的离心率大于，则m的取值范围是 . 56．（2024·北京密云·统考三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . 57．（2024·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 58．（2024·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为 . 59.（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 60．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 . 题型五 直线与双曲线的位置关系 （1） 根据直线与双曲线的位置关系求参数 61．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 62．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条． A．0 B．2 C．3 D．4 63．（2024·高二课时练习）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 64.【多选】（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 65.（2024·高二课时练习）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ． 66.（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．    67．（2024·高二单元测试）如果函数的图象与曲线C：恰好有两个不同的公共点，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（2024·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二）弦长问题 69．（2024·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 70．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 71．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 72．（2024·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 73.（2024·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长； (3)求的周长． 74.（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 75．（2024·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且. (1)求双曲线的标准方程; (2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围. 76．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且. (1)求双曲线及其渐近线的方程； (2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求. （三）三角形面积问题 77．（2024·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3． (1)求的方程； (2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程． 78．（2024·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 79.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 80.（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点. (1)证明：； (2)若的面积为8，求直线的斜率. （三）中点弦问题 81．（2024·河南信阳·高二统考期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 82．（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ） A． B． C． D． 83．（2024·高二课时练习）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 84．（2024·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 85．（2024·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 86．（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 87.（2024·甘肃兰州·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 88.（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 89.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 90．（2024·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 双曲线的最值（范围）问题 91．【多选】（2024·高二课时练习）已知实数满足，则下列正确的选项有（    ） A．的最小值为 B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 92．（2024·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 93．（2024·全国·高三专题练习）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是 ． 94．（2024·四川·高二成都七中校考期中）若是曲线上不同的两点，为坐标原点，则的取值范围是 . 95．（2024·全国·高三专题练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 96．（2024·全国·高三校联考开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(    ) A． B． C． D． 97．（2024·高二校考课时练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 题型七 双曲线的向量问题 98．（2024·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 99．（2024·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求的值． 100．（2024·上海黄浦·高二格致中学校考期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．    (1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离； (2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由. 101.（2024·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上． (1)求C的方程； (2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率． 102.（2024·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3. (1)求A的轨迹； (2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程. 103．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 题型八 双曲线的定点、定值、定直线问题 104.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 105．（2024·重庆·高二校联考阶段练习）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M. 106．（2024·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上. (1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积； (2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点. 107．（2024·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点. (1)求，的方程； (2)设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点. 108．（2024·广东茂名·高二统考期末）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为1. (1)求该双曲线的方程； (2)过点的动直线（存在斜率）与双曲线的右支交于两点，轴上是否存在一个异于点的定点，使得成立．若存在，请写出点的坐标，若不存在请说明理由. 109．（2024·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点. 110．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点． (1)求的方程； (2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值． 111．（2024·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为. (1)求点的坐标和的方程； (2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 112.（2024·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 113．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． (1)求的方程； (2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由． 114.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 115.（2023·全国·高三专题练习）在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答． 已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______． (1)求C的标准方程； (2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 题型九 双曲线的实际应用 116．（2024·河南商丘·高二虞城县高级中学校联考开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 117．（2024·陕西汉中·高二校联考期中）伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 118．（2024·高二课时练习）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题19 双曲线的简单几何性质9种常考题型归类（118题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 双曲线的几何性质 题型二 由双曲线的几何性质求标准方程 题型三 双曲线的渐近线 题型四 双曲线的离心率问题 （一）求双曲线的离心率 （二）求双曲线离心率的取值范围 （三）根据双曲线的离心率求参数 题型五 直线与双曲线的位置关系 （一）根据直线与双曲线的位置关系求参数 （二）弦长问题 （三）三角形面积问题 （四）中点弦问题 题型六 双曲线的最值（范围）问题 题型七 双曲线的向量问题 题型八 双曲线的定点、定值、定直线问题 题型九 双曲线的实际应用 知识点1：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点2：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点3：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 知识点4：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点5：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 知识点6：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 解题策略 1．双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标(实轴端点坐标)、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关． 注：(1)由双曲线的方程研究几何性质的四个解题步骤 (2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上． (3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线． 依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形． 2、求双曲线的标准方程的方法与技巧 (1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程． (2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．　 (3)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． 注：已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏． 3.巧设双曲线方程的六种常用方法 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． (3)与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 4．求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝求解． (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解． 注：求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a，c，计算e＝； (2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解． 5．求双曲线离心率范围的思路 求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. 双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 6．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程． 7.双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A(c，)，B(c，－)，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a>0，b>0)的通径长也是. 注意：若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长； 若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 8、直线与双曲线的位置关系 (1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． (2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　 (3)双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 注：（1）弦长公式 直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.在运用弦长公式时，注意根与系数的关系的应用． （2）弦中点问题的解决方法 对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度． 另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决． 9.双曲线与其他知识的综合 此类题涉及的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线与双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值或取值范围． 题型一 双曲线的几何性质 1.【多选】（2024·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为1 B．虚轴长为2 C．离心率 D．渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为， 离心率，渐近线方程为，即. 故选：BCD 2．【多选】（2024·江苏盐城·高二统考期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C选项，双曲线的实轴长为，C对； 对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 3．【多选】（2024·云南怒江·高三校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（　　） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】BC 【分析】根据给定的双曲线，求出焦点坐标、离心率、及焦点到渐近线的距离判断作答. 【详解】双曲线的焦点在y轴上，A错误， 实半轴长，虚半轴长，半焦距， 双曲线的顶点坐标为，B正确； 双曲线的离心率，C正确； 双曲线的渐近线方程为：，因此焦点到渐近线的距离为，D错误. 故选：BC 4．【多选】（2024·浙江金华·高二统考期末）已知双曲线，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程求双曲线，焦点坐标，离心率，实轴长. 【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴， 所以， 所以渐近线方程为，故A正确， 焦点坐标为，故B正确， 离心率为：，故C错误， 实轴长为：，故D正确， 故选：ABD. 5.【多选】（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 【答案】ABD 【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确； 双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴， 故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确； 焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线， 根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误； 椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确. 故选：ABD 6．（2024·内蒙古包头·高二统考期末）若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线， ， 所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确； 因为，所以离心率不相等，故A错误； 因为，所以实轴长不相等，故C错误； 因为，所以虚轴长不相等，故D错误. 故选：B. 7．（2024·云南昆明·高二统考期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 【答案】B 【分析】根据焦点相同求出双曲线方程为，逐项分析即可判断. 【详解】对A，因为椭圆的方程为，所以，故焦点为， 故双曲线的焦点坐标为，故A错误； 对B，由A得，解得，故双曲线方程为， 故其渐近线方程为，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，由双曲线方程可知其实轴长为2，故D错误； 故选：B. 8．【多选】（2024·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（    ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 【答案】CD 【分析】根据双曲线的标准方程，表示出，求得焦距、顶点坐标、离心率以及渐近线方程，可得答案. 【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，， 则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为. 故选：CD. 9.（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（    ） A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为 C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为 【答案】C 【详解】对A，C的实轴长为，A错； 对B，C的渐近线方程为，B错； 对C，C的离心率为，C对； 对D，C的焦点的坐标为，D错. 故选：C 题型二 由双曲线的几何性质求标准方程 10．（2024·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2， (1)求双曲线标准方程； (2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程； （2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可. 【详解】（1）由题知，，解得，所以， 所以双曲线标准方程为：. （2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上， 所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即. 11．（2024·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）与双曲线有公共焦点，且长轴长为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和的关系可得椭圆方程. 【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：，椭圆焦点在轴上，且， 又长轴长为，即，，， 椭圆方程为：. 故选：A. 12．（2024·全国·高二专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解． 【详解】解：设双曲线方程为，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 13．（2024·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 14．（2024·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质求解. 【详解】由题可得，解得， 因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 15．（2024·全国·高三对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线及渐近线方程的定义求解即可. 【详解】（1）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为， 因为与双曲线有相同渐近线， 所以，设该双曲线的焦距为， 又因为焦距，所以，所以， 联立，解得，则双曲线方程为； （2）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为， 因为与双曲线有相同渐近线， 所以，设该双曲线的焦距为， 又因为焦距，所以，所以， 联立，解得，则双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为：或. 综上，双曲线标准方程为. 故选：D 16.（2024·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率， 所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率， 即，所以， 又因为双曲线的虚轴长为， 即，所以， 即， 所以， 所以所求双曲线的方程为：. 故选：C. 17.（2024·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题： （1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程； （2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，得，即， 又，即， 双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得． 所以，双曲线的方程为． （2）椭圆的焦点为， 设双曲线的方程为， 所以，且， 所以， 所以，双曲线的方程为． 题型三 双曲线的渐近线 18．（2024·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入方程，求出，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线经过点， ，，解得，所以双曲线方程为， 又，则该双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 19．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个双曲线有相同的焦点，由，得到双曲线的方程求解. 【详解】由，得， 由题得， 解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：C. 20．（2024·河南平顶山·高二统考期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】依题意得，，， 所以，，， 所以渐近线方程为，右焦点为， 所以点到渐近线的距离为. 故选：A 21．（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】  （或） 【分析】写出双曲线 的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可. 【详解】解：双曲线 的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为 ， 因为双曲线 的焦点到渐近线的距离为5， 所以， 解得 所以该双曲线的渐近线方程为y= 故答案为：  （或） 22．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（    ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程写出焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离即可得解. 【详解】不妨取双曲线的右焦点，由题可知，设双曲线的渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离， 故选：B 23.（2024·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得. ∴双曲线的离心率为. 故选：C. 24.（2024·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得双曲线的渐近线方程为． ∵双曲线的离心率为2， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为 ． 故选：A． 25．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）已知F为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解. 【详解】由双曲线可得， 则双曲线的左焦点，渐近线为， 由题意可得：直线与渐近线平行，则，解得. 故选：C. 26．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程得右焦点坐标和渐近线方程，可得直线l的方程，与双曲线联立方程组，利用韦达定理可求M，N两点的纵坐标之和. 【详解】双曲线C：，右焦点，渐近线方程为．如图所示， 假设直线l垂直于，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 将直线l与双曲线C联立消x得， 设，，故； 同理可得，当直线l垂直于时，解得． 故答案为： 27．（2024·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】先根据直线的交点结合两点间距离公式求出三角形的边长，再由三角形面积等于周长与内切圆半径的积的一半，计算求解即可. 【详解】 双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离, 联立方程组， 解得 可得， 设的内切圆的半径为，在中，， 故答案为：. 28.（2024·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由双曲线的定义得，， 又由得，即，解得，所以， 在直角中，由勾股定理得，即， 整理得，则，双曲线的渐近线斜率为． 故选：B． 29．（2024·陕西西安·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ，直线的斜率为 . 【答案】 2 【分析】先根据双曲线的方程求出和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求出，过作轴于，可求出点的坐标，从而可求出直线的斜率. 【详解】由，得，渐近线方程为， 所以， 所以，， 由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等， 不妨取渐近线，则， 在直角中，， 过作轴于，则， 所以， 所以或， 所以直线的斜率为或， 故答案为：2， 题型四 双曲线的离心率问题 （1） 求双曲线的离心率 30．（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】不妨设双曲线的方程为，由条件求关系，由此可求离心率. 【详解】不妨设双曲线的方程为，则 双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以，故， 所以双曲线的离心率， 故选：A. 31.（2024·福建泉州·高二校联考期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 . 【答案】 【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线， 所以，所以C的离心率为. 故答案为： 32．（2024·全国·高三专题练习）设分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由由求出a，c的关系，进而求出离心率． 【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点， 到渐近线的距离， 由渐近线的对称性，设渐近线为，① 则直线方程为∶ ②， 由①②可得， 则， 左焦点，所以 ， 由，有，得， 即 ， ，则的离心率为 故选∶C· 33．（2024·高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义及正三角形，可得，利用双曲线定义可求解，从而求出离心率. 【详解】由题知双曲线的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线的焦距为. 如图，直线与双曲线右支相交于两点，设，则， 由为等边三角形，得，可得， 又由双曲线的性质知，故， 所以，. 所以，所以，； 故选：D.    34.（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】双曲线的渐近线的方程为. 圆的标准方程为：， 故该圆的圆心为，半径为2， 而圆心到渐近线的距离为， 故渐近线被该圆截得的弦长为， 整理得到：或， 而，故，故离心率为. 故答案为：. 35．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件联立方程组，求点的坐标，结合点在以线段为直径的圆上，列关系式求离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设的方程为， 设双曲线的半焦距为， 因为直线与直线平行， 所以直线的方程为，又直线的方程为， 联立，可得， 故点的坐标为， 因为在以线段为直径的圆上， 所以，为坐标原点， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率， 故选：A.    36．（2024·湖南·高二校联考期末）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D.    【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值； 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 37．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出点的坐标为，得，再根据为的平分线，推出，，由此可得离心率. 【详解】因为为的平分线，所以， 又因为，所以， 设，因为点在渐近线上，所以， 因为，所以，所以，所以， 又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为， 所以，所以，所以， 所以，可得，    故选：C. 38．（2024·广东揭阳·高二统考期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用向量的中点性质与双曲线的定义求得，，再利用余弦定理得到关于的齐次方程，解之即可. 【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则，，    因为是的中点，所以， 故由得， 因为，，所以， 在中，， 在中，， 所以，则，即双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的运算法则与双曲线的定义，从而得到所需线段的长度，再构造关于的齐次方程即可得解. 39．（2024·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可. 【详解】   如图所示，设，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作轴于D，， 故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故答案为： 40．（2024·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 . 【答案】/ 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，利用双曲线的定义即可得到，则得到关于的方程，则得到离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点， 则. 由双曲线的定义可得， 则， 因为，所以， 则周长的最小值为，结合， 整理得，即，解得（负舍）. 故答案为：.    41.（2024·湖南衡阳·高二统考期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【答案】/ 【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，， 则，，可得四边形为平行四边形，    又及托勒密定理，可得四边形为矩形． 设，， 在中，， 则，， ，，， ，解得． 双曲线的离心率为． 故答案为：． （2） 求双曲线离心率的取值范围 42．（2024·高二校考单元测试）已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，曲线为双曲线，得到，再根据离心率公式可求出结果. 【详解】当时，∴曲线方程化为，曲线为双曲线， 所以，，， 所以，因为，所以. 故答案为：. 43.（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线（其中）， 得， 则双曲线离心率， 因为，所以，则， 所以， 所以，即双曲线离心率的取值范围为. 故选：A. 44．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，根据题意可得， 设，则直线的方程为， 所以直线与轴的交点， 由可得，即， 整理得，即； 又因为P为双曲线右支上一点，所以， 当时，共线与题意不符，即； 可得，整理得，即， 解得或（舍）； 即双曲线E的离心率的取值范围为. 故答案为： 45．（2024·四川攀枝花·统考三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解. 【详解】 依题意，可得，则， 又因为直线l垂直平分线段，所以， 因为直线l与C存在公共点， 所以，即， 则，即，解得， 所以双曲线C的离心率的取值范围是. 故选：B 46．（2024·河北承德·统考模拟预测）已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围. 【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上. 所以必须满足，得，，，， 又，. 故选：B 47.（2024·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形， 所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限， 因为，所以，则， 因为为直线的倾斜角，且， 所以在中，，且， 则，即，即， 即，解得， 所以该双曲线离心率的取值范围是， 故答案为： 48.（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 【答案】 【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则. 因为直线过原点，由对称性，原点平分线段， 又原点平分线段，所以四边形为平行四边形. 在和中，分别有中位线，，， 因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形. 不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且， 在Rt中可得：， 所以， 因为，所以， 又在上为增函数， 所以. 故答案为：    49．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得到的距离为及，根据，结合题意转化为的不等式，即可求解离心率的范围. 【详解】由题意，双曲线， 则其中一条渐近线方程为，即 可得到渐近线的距离为，即，则， 设，即，其中， 因为，可得， 整理得，所以， 解得：， 又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：A． 50．（2024·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，记为双曲线：的左焦点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，若，则的离心率的取值范围为 【答案】 【分析】根据条件，可得，，利用余弦定理，结合直角三角形，通过的范围，推出，的范围，然后求解离心率的范围． 【详解】由为双曲线：的左焦点， 以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点， 可得，，， 记双曲线的右焦点为，， 在中，， 为直角三角形， ，，化简得， 线段与交于点，且，，即， ，即， ，， 故答案为：． 51.（2024·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为， 不妨设双曲线的这条渐近线方程为， 由，得：或，所以， 双曲线的左顶点为，则， 所以，， 因为，所以，化简得， 所以，所以，所以， 又，所以. 故答案为： 52.（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意直线：，即，又， 所以，， 所以，所以， 即，即，解得， 又，所以. 故选：B 53.（2024·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A. （三）根据双曲线的离心率求参数 54.（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，则， 所以，解得：. 故答案为：. 55．（2024·北京石景山·校考模拟预测）已知双曲线的离心率大于，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可 【详解】双曲线的离心率大于， 可得，解得m＞1. 故答案为：. 56．（2024·北京密云·统考三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线焦点坐标和渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线方程为， 则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为. 故答案为：；. 57．（2024·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可 【详解】因为表示双曲线的方程， 所以有，因此， 因为， 所以由 ， 即k的取值范围为， 故答案为：. 58．（2024·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用已知条件求解双曲线的离心率，列出不等式，求解，然后求解虚轴长的范围即可． 【详解】因为，所以， 所以，所以，解得， 则，故虚轴长. 故答案为：. 59.（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A 60．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义结合勾股定理得出，再由等面积法得出，，再由结合离心率公式以及范围得出k的取值范围. 【详解】设，由题可知，∴. ∴，∴，∴. 又由，可知，∴，解得. ∵，，∴. ∴，依题意，，∴. 故答案为： 题型五 直线与双曲线的位置关系 （1） 根据直线与双曲线的位置关系求参数 61．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式研究即可. 【详解】联立，消去得， 当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点； 当时，，解得或. 故选：C. 62．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点； 过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点． 【详解】由双曲线得其渐近线方程为． ①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点； ②设过点且与双曲线相切的直线为，联立， 化为得到，解得． 则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点． 综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条． 故选:. 63．（2024·高二课时练习）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 【答案】A 【分析】利用双曲线的图形及性质，求出t的范围，即可得到选项． 【详解】在中，， 当或时，均只有一个交点， 当时，有两个交点， 当时，无交点． 故选A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 64.【多选】（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】联立，消去y得，. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为，故A，D符合题意. 故选：AD. 65.（2024·高二课时练习）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得， 方程在有两个不相等的负实根， 所以,解得. 故答案为：. 66.（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点， 则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等， 于是，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为：    67．（2024·高二单元测试）如果函数的图象与曲线C：恰好有两个不同的公共点，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，分、确定函数的图象与方程的曲线必相交于，为了使函数的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．代入曲线方程，可得结论，根据对称性，同理可得时的情形． 【详解】由可得，时，；时，， ∴函数的图象与方程的曲线必相交于， 为了使函数的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点， 则代入方程，整理可得， 当时，，交点为， 当时，由于，2是方程的根， ∴当，即时，方程两根异号，满足题意； 代入方程，整理可得， 当时，，交点为，所以满足题意； 由于，是方程的根， ∴当，即时，方程两根异号，满足题意； 综上知，实数λ的取值范围是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对函数讨论去绝对值再与曲线方程联立，结合公共点的个数求得λ的取值范围，本题考查曲线的交点及二次方程根的问题，考查分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想． 68．（2024·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得曲线，即，可得； 当时得到即； 当时得到； 由以上可得曲线的如图中所示， 易知直线与双曲线的一条渐近线平行； 把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时； 继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点． 当直线与椭圆的上半部分相切时， 联立直线与椭圆的方程代入整理得 即或（舍），由图示可得； 综上可知. 故选：C （二）弦长问题 69．（2024·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可. 【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为； 故可设， 与双曲线联立可得， ， 由弦长公式知， 则或. 故存在四条直线满足条件. 故选：D 70．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|. 故选：D. 71．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得. 【详解】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，， 故选：D 72．（2024·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解 【详解】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知， 可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C 73.（2024·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长； (3)求的周长． 【答案】(1) (2)25 (3)54 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， 由题意得，解得，所以双曲线方程为. （2）依题意得直线AB的方程为，设，. 联立，得， ，且， 所以. （3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且， 由双曲线定义，， 从而， 的周长为． 74.（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 【答案】(1)=1 (2)3 【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点， 所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C两条准线之间的距离为1， 所以有， 又因为离心率为2， 所以有代入中，可得， ∴C的标准方程为：； （2） 由上可知：该双曲线的渐近线方程为， 所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等. 又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为， 方程为与双曲线方程联立为： ， 设，则有， 75．（2024·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且. (1)求双曲线的标准方程; (2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得得双曲线方程； （2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围各结论． 【详解】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为； （2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点， 联立消去，得， 所以，解得， 且， 所以 . 联立可得，同理可得， 所以， 所以， 其中，则，所以. 【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标． 76．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且. (1)求双曲线及其渐近线的方程； (2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，求出，再由双曲线的定义求出，即可得出方程； （2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出， 再联立直线与渐近线方程得出的横坐标，再由弦长公式求出，再由即可得解. 【详解】（1）由题意知，，即， 由轴，可知，代入双曲线方程可得， 又，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，，所以， 设直线方程为 ，，，，， 由，可得， ，， ， 由可知双曲线的渐近线方程为和， 联立可得，同理可得 由可得，， 化简可得，即， 整理得，，解得. （三）三角形面积问题 77．（2024·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3． (1)求的方程； (2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设，表示出分别与，连线的斜率之积，再将化简即可得出答案； （2）联立直线PQ方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出的范围，表示出的面积，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）由题，不妨设点，，的方程为． 因为在上，则，即有， 则分别与，连线的斜率之积为， 所以的方程为．    （2）由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立方程组消去，得， 令，，则， 因为直线分别交的左、右支于M，N两点， 则，， 则，的面积， 则， 解得或（舍去），则，所以的方程为．    【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出代入的面积，然后通过计算得到的值. 78．（2024·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立方程组，消元后得到，分、两种情况求解即可； （2）先由题意可得，令直线l与y轴交于点，从而得到，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由，消去，得①， 当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）. 当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时）， 综上得的取值是或； （2）设交点，由，消去，得， 首先由，得且， 并且， 又因为与的左右两支分别交于A､B两点， 所以，即，解得， 故. 因为直线l与y轴交于点， 所以， 故. 解得或. 因为，所以. 79.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 80.（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点. (1)证明：； (2)若的面积为8，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且， 而，则线段中点为，又，则， 所以，则中点在双曲线上或外部， 即，仅当重合时等号成立，故. （2）若，则， 令，，联立双曲线， 则，而，则，， 所以，故，可得（负值舍）， 所以，故直线斜率为. （三）中点弦问题 81．（2024·河南信阳·高二统考期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 【详解】设直线l：，由， 得，（※） 设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在. 故选：A 82．（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】不妨设，， 从而，， 由两式相减可得，， 又因为线段AB的中点为，从而，， 故，即直线AB的斜率为， 直线AB的方程为：，即， 将代入可得，， 从而，， 故. 故选：C. 83．（2024·高二课时练习）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设出，，利用“点差法”即可求出结果. 【详解】设，，则有与，两式相减得：，即， 又因为为AB的中点，所以，得到， 即直线AB的斜率为6. 故选：D. 84．（2024·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得， 所以双曲线的标准方程为， 设，所以①，②， ①-②得，， 化简得③， 因为线段的中点为，所以， 代入③，整理得， 显然，所以直线的斜率. 故选：B 85．（2024·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 86．（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故选：A. 87.（2024·甘肃兰州·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即， 所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）解：设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 88.（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得， 又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即， 联立方程组，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在， 设直线的斜率为，且， 则，两式相减得，所以， 因为的中点为，所以，所以，解得， 直线的方程为，即， 把直线代入，整理得， 可得，该方程没有实根，所以假设不成立， 即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为. 89.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为 所以， 由可得 ,解得，， 故双曲线的标准方程为 （2）设，AB中点的坐标为 则①，②， ②①得：， 即，又， 所以， 所以直线的方程为，即 90．（2024·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程. 【详解】设，，则，由点差法得． ∵，∴，，∴，又， ∴，∴渐近线方程为. 故选：A． 题型六 双曲线的最值（范围）问题 91．【多选】（2024·高二课时练习）已知实数满足，则下列正确的选项有（    ） A．的最小值为 B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A，将双曲线方程代入可得，再结合或求解最小值即可；对B，设，根据题意可得与有交点，再数形结合分析的范围即可；对C，根据展开，结合基本不等式取等号的条件判断即可；对D，注意到所求式为二次时，故可根据“1”的妙用，可得，再根据双曲线性质可得，再换元根据基本不等式求解即可. 【详解】对A，因为，故，故，又由双曲线性质可得或，故当时原式取最小值，故A正确； 对B，设，则与有交点，此时分析相切时的临界条件. 联立，即，故，解得，数形结合可得或，故B正确； 对C，，当且仅当，即时取等号，但代入可得无解，故的最大值不能取到，故C错误； 对D，由题，，由双曲线的渐近线可得，，故可设，则，当且仅当，即时取等号，此时，故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 92．（2024·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案. 【详解】由题知：设，，则， 由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，    则 ，当时，等号成立， 故， 故答案为:. 93．（2024·全国·高三专题练习）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设点P(x,y),（x≥1），所以，再对y分类讨论利用函数的单调性求的取值范围. 【详解】设点P(x,y),（x＞1），所以， 因为，当y＞0时，y=, 所以， 由于函数在[1，+∞）上都是增函数， 所以函数在[1，+∞）上是增函数， 所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1. 当y≤0时，y=, 所以， 由于函数在[1，+∞）上都是增函数， 所以函数在[1，+∞）上是减函数， 所以当y≤0时函数k(x)＞0. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，考查双曲线的简单几何性质，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 94．（2024·四川·高二成都七中校考期中）若是曲线上不同的两点，为坐标原点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】先整理化简得，设，，得到，分轴和不垂直于轴，两种情况讨论，当不垂直于轴，设:，两方程联立消，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理，代入，化简整理即可得出结果. 【详解】∵， ∴可化为， 设，， 则， 则，， ∴， 若轴，此时，， ∴， 若不垂直于轴，设:， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】分轴和不垂直于轴，两种情况讨论，当不垂直于轴，设:，两方程联立消，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理是解决本题的关键. 95．（2024·全国·高三专题练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案. 【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得 ，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是． 故选：D. 96．（2024·全国·高三校联考开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可. 【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F， 由题可知，，， 又∵， ∴ ∴根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)， ∴此时M恒坐标； 当M在第三象限时，如图， 同理可得， ∴根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，∴此时M恒坐标； 综上，M点的横坐标的取值范围. 故选：A. 97．（2024·高二校考课时练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案. 【详解】设双曲线上的点满足，即 ， 即， 又， ，即， ，且，， 则，， 又，实数b的取值范围是， 故答案为：. 题型七 双曲线的向量问题 98．（2024·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解； （2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以， 又因为双曲线C：过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知：，则， 由题意设直线方程为，令，得，则， 设，则， 因为， 所以，则， 解得，因为点Q在双曲线上， 所以，解得， 所以直线l的斜率为. 99．（2024·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值． 【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即， 所以到的一条渐近线的距离为，所以， 又，解得，所以的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，， 所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，解得， 所以，， 所以 ． 综上，． 100．（2024·上海黄浦·高二格致中学校考期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．    (1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离； (2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)2 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式可直接求解； （2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答. 【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，， 则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为， 当直线平行于的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离为. （2）不存在，理由如下： 当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此， 又，所以， 设的右支上的点，则， 由得， 又，联立消去得， 由韦达定理知，此方程无正根， 因此，在的右支上不存在点P，满足. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题关键是能够利用来构造等量关系，结合韦达定理得到结论. 101.（2024·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上． (1)求C的方程； (2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以， 可得， 将代入可得，解得； 所以双曲线C的方程为. （2）由（1）可知，上焦点， 设直线l的斜率为，，则直线l的方程为， 联立整理得； 所以 又，即，可得， 所以，即，解得； 所以直线l的斜率为 102.（2024·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3. (1)求A的轨迹； (2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设，由题意，化简可得 所以A的轨迹为. （2）由题设过定点的直线方程为，将其与 联立有：，消去y得： 因交于、两点，则 . 设，则由韦达定理有：. 又，则， ， 则. 又， ，解得， 则的方程为：或. 103．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可； （2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程. 【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得， 焦点，，. 所以，，故C：. （2）设l的方程为，则，故， 由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：， 由已知得，，设，， 则，① 由，得：，， 消去得：， 即② 由①②得：，由已知， 故存在定直线l：满足条件. 题型八 双曲线的定点、定值、定直线问题 104.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）当直线的斜率不为0时，设，则 联立方程组，得 整理得：. ，且 ，, ，令得， ， 直线过定点. 当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点. 综上：直线过定点. 105．（2024·重庆·高二校联考阶段练习）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出双曲线标准方程，由共焦点得a2+b2=6，再将点代入标准方程联立即可求解； （2）要证以AB为直径的圆过点M，即证AM⊥BM，设直线l为y=m（m≠0），结合双曲线方程求出，证明即可. (1) 由已知设双曲线C的方程为， 由已知得a2+b2=12-6=6，且， 解得a2=b2=3，∴双曲线C的方程为； (2) 证明：设直线l的方程为y=m（m≠0）， 与x2-y2=3联立解得或， 不妨设， 由（1）知点， ∴AM，BM的斜率分别为， ， 所以AM⊥BM， 故以AB为直径的圆过点M. 106．（2024·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上. (1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积； (2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点. 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可； （2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可. 【详解】（1）如图：    因为双曲线的实轴长为， 所以，即.又因为C的一条渐近线斜率为， 所以，所以，故双曲线. 则其右焦点坐标为，因为直线l过C的右焦点，且斜率为， 所以直线l的方程为：，设，. 联立得：， 所以由韦达定理得：，. 所以， 点到直线l的距离为：. 所以. （2）证明：如图      设直线PQ的方程为：，设，. 联立得：. ，即 所以：，. 而，则，. 因为，所以 整理的：， 所以， 所以：， 所以， 整理得：， 代入韦达定理得：， 所以， 整理得：， 即，则或. 当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点； 当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点. 即为，因为P，Q为双曲线C上异于点的两动点，所以不符合题意. 故直线PQ过的定点为. 【点睛】与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理建立关系即可解决问题. 107．（2024·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点. (1)求，的方程； (2)设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出双曲线渐近线方程，由已知列出关于a，b的方程组即得方程，代入求出得的方程. （2）求出点A的坐标，设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及向量数量积探求、计算判断作答. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为：， 因为的渐近线过，则有，解得， 则，由抛物线过，得，则， 所以，的方程分别为，. （2）由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在，设的方程为，    由消去y得：，， 即，则，， ， 由，解得，于是，， 由，得，即 ， 整理得：，即， 显然不在直线上，即，于是，满足， 因此直线的方程为，即，恒过定点， 所以直线过定点. 【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 108．（2024·广东茂名·高二统考期末）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为1. (1)求该双曲线的方程； (2)过点的动直线（存在斜率）与双曲线的右支交于两点，轴上是否存在一个异于点的定点，使得成立．若存在，请写出点的坐标，若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组求解即可； （2）假设存在定点满足已知条件，故设，结合正弦定理得，则，当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线联立，由直线与双曲线的右支交于两点，求得范围，然后结合韦达定理及求解即可. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为1， ，解得， 双曲线的方程为. （2）假设存在定点满足已知条件，故设， ，， 在和中，由正弦定理得 ，及， ，及， ， 又， ， 直线与直线的倾斜角互补，，    当直线的斜率为0时，显然不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，得， 所以， 又因为直线与双曲线的右支交于两点， ，即，， 则，解得， ， 又， ，即， ， 即，解得， 存在定点，使得成立. 109．（2024·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意代入相应的点运算求解即可； （2）设直线的方程以及的坐标，再根据题意结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）易知双曲线关于轴对称，，关于轴对称，故，都在双曲线上， 若，，在双曲线上， 则，解得，不满足； 若，，在双曲线上， 则，解得，满足； 综上所述：双曲线的方程为. （2）设直线与直线的斜率分别为， 如果直线斜率不存在，则，不符合题设， 设直线：，，，， 联立，整理得， ，化简得：. 则，， 则， 整理得， 即， 化简得：，解得或， 当时，直线的方程为， 令时，，所以直线过定点， 又因为直线不经过点，不合题意； 当时，直线的方程为， 当时，，所以直线过定点； 综上所述：过定点.    【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 110．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点． (1)求的方程； (2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可； （2）设出直线的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线，，联立最终得到点的轨迹方程，即可求解. 【详解】（1）依题意：. （2）证明：如图：    设、，， 直线：，即：. （记，）代入中得： . 所以，. 又因为直线：、直线：联立得： . . . . 即或（舍）. 所以. 所以，点轨迹为，以为圆心，2为半径的圆上，所以，. 111．（2024·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为. (1)求点的坐标和的方程； (2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)， (2)是，3 【分析】（1）将直线化简为即可得出点的坐标，再根据渐近线方程即可求出的方程； （2）联立双曲线和直线表达出韦达定理，表达出代入韦达定理即可求出结果. 【详解】（1）由直线知，， 得定点. 则，解得， 故的方程为. （2）   由（1）知，，设，. 联立， 整理得， 则，且， ∴且， ∴，， ∴ 所以直线，的斜率之和是为定值，定值为3. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 112.（2024·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 113．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． (1)求的方程； (2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值． 【分析】（1）由的面积为4可得c，后由离心率可得a，b，即可得椭圆方程；（2） 设，利用导数几何意义可得切线l方程，后可得到M，N坐标表达式，后利用两点间距离公式结合可得答案. 【详解】（1）的面积为4，则，得．由离心率为，得，解得，所以，所以的方程为． （2）为定值． 设，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为． 由，可得，所以在第一象限内. 所以，故． 因为，所以， 代入直线的方程，得. 即．由，可得，所以直线的方程为，即． 因为直线的方程为，所以直线与直线的交点的坐标为. 直线与直线的交点的坐标为. 所以. . 所以，即的值为定值．    【点睛】关键点睛：本题为圆锥曲线中的定值问题，处理定值问题，可用变量去表示需要判断是否为定值的表达式，通过验证表达式是否与变量有关可解决问题. 114.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【答案】(1)1 (2)是在定直线上，定直线 【详解】（1）由题意得，所以， 设，，， 则， 作差得， 又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，， 直线l：，， 设，， 联立得， 所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 115.（2023·全国·高三专题练习）在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答． 已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______． (1)求C的标准方程； (2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）选① 因为C的渐近线方程为，所以， 故可设C的方程为， 代入点P的坐标得，可得， 故C的标准方程为． 选②． 因为C的离心率为，所以，得， 故可设C的方程为， 代入点P的坐标得，可得， 故C的标准方程为． （2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为． 设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为， 联立直线和双曲线方程得， 所以，， 直线PM：，即， 直线QN：，即， 消去y，得， 整理得， 则． 因为，所以A的横坐标为1． 故A在定直线上． 题型九 双曲线的实际应用 116．（2024·河南商丘·高二虞城县高级中学校联考开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案. 【详解】根据题意：，，故，解得，即， 当水面宽度为米时，即时，， 拱顶M到水面的距离为. 故选：D 117．（2024·陕西汉中·高二校联考期中）伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值． 【详解】依题意，双曲线的离心率为， 则，解得， 所以双曲线方程为， 则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图， 根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即， 又点P为双曲线上支上的动点，则， 过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M， 则， 所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为． 故选：C． 118．（2024·高二课时练习）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设观察员可能出现的位置为点,由题意可知,即可判断出观察员所有可能出现的位置为双曲线的左支.结合，，即可求出其轨迹； （2）设轨迹上一点为，利用两点的距离公式则可表示出，再结合点在轨迹上，消元后利用二次函数的单调性，即可得出的最小值.即可写出答案. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置为点， 由题意，得， 故点的轨迹为双曲线的左支， 设双曲线方程为，又，， 所以， 故点的轨迹方程为； （2）设轨迹上一点为，则， 又，所以， 所以|， 当且仅当时，取得最小值， 故扫描半径r至少是． $$