专题24 全等证明——变式训练【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题24 全等证明——变式训练 1．（1）已知是直角三角形，，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、当点，位于直线的同侧时如图，易证如图，若点在直线的异侧，其它条件不变，是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）变式一：如图，中，，直线经过点，点、分别在直线上，点、位于的同一侧，如果，求证：． （3）变式二：如图，中，依然有，若点，位于的两侧，如果，，求证：． 2．【问题探究】 如图，在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，试说明：． 【变式拓展】 如图，在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，试探究线段三者之间的数量关系，并说明理由． 3．【问题提出】如图1，是直角三角形，，直线经过点，分别过点向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】若图1中的点在直线的两侧，其他条件不变（如图2所示），判断与是否依然全等，并说明理由； 【深入思考】如图3，在中，，直线经过点，且点位于直线的两侧，若，判断线段之间的数量关系，并加以说明．    4．【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：； 【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求； 【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值． 5．已知是直角三角形，，，直线经过点，分别过点、向直线作垂线，垂足分别为、. （1）如图1，当点，位于直线的同侧时，证明：. （2）如图2，若点，在直线的异侧，其它条件不变，是否依然成立？请说明理由. （3）图形变式：如图3，锐角中，，直线经过点，点，分别在直线上，点，位于的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并直接写出线段，，的数量关系. 6．如图1，AC=BD，∠CAB=∠DBA，试说明：BC=AD 变式1：如图2，AC=BD，BC=AD，试说明：∠CAB=∠DBA； 变式2：如图3，AC=BD，∠C=∠D，试说明：（1）AO=BO（2）CO=DO（3）BC=AD． 7．数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如下图，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到 ，进而得到__________，__________．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．    （2）【模型应用】如下图，为等边三角形，，，求证：；    （3）【模型变式】如下图，在中，，，于点E，于点D，，，则__________．    8．【问题提出】如图1，等腰中，，平分．若，求证：；      【问题变式】如图2，等腰中，，平分．若，求证：． 【问题拓展】如图3，已知，，且，直接写出的度数是_________． 9．（1）【问题解决】 如图①，在中，是中线，若，，求的取值范围. 图① 思路点拨：延长至点，使，则，连接，完成填空： ①__________； ②在中，根据三角形三边关系，可得的取值范围是___________. （2）【变式应用】 如图②，在中，，是的中线，联想（1）中【问题解决】的方法，求证：. 图② 10．如图1，在中，过点作，且，连接． (问题原型)(1)若，且，过点作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______． (变式探究)(2)如图2，若，，用含的代数式表示的面积，并说明理由． (拓展应用)(3)如图3，若，，则的面积为______． 11．已由在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内郃，，求证：，小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程： 【类比探究】 (2)如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 (3)如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 12．（1）【问题背景】如图1，已知，连接．求证：； （2）【运用探究】如图2，与都是等边三角形，直线经过边的中点F，连接．求证：； （3）【创新拓展】如图3，与都是等边三角形，直线经过边的中点F，连接，使，连接．若P为内一点，当时，直接写出的度数__________．（不需要写出求解过程） 变式：【运用探究】如图2，与都是等腰三角形，，直线经过边的中点F，连接．求证． 13．（1）【问题背景】如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF； （2）【变式运用】如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE.   14．数学模型学习与应用： (1)【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______． 15．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题． (1)【课本习题】如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．   求证：DB=DE (2)【尝试变式】如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD． 求证：DB=DE． (3)【拓展延伸】如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论． 16．（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 17．【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    18．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． (1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 证明：延长到G，使， 在与中 ∴理由：， 进而证出：__________，理由：（_______） 进而得 (2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题24 全等证明——变式训练 1．（1）已知是直角三角形，，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、当点，位于直线的同侧时如图，易证如图，若点在直线的异侧，其它条件不变，是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）变式一：如图，中，，直线经过点，点、分别在直线上，点、位于的同一侧，如果，求证：． （3）变式二：如图，中，依然有，若点，位于的两侧，如果，，求证：． 【答案】（1）成立，证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要是通过角与角之间的互余关系，互补关系，外角关系以及内角和关系来推导等角关系． （1）通过在和中利用角的互余关系证明等角，从而证明全等； （2）通过和中外角的性质证明等角，从而证明全等； （3）先证明，再证明，从而证明全等，利用全等的性质即可证明结论． 【详解】解：（1）成立， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 2．【问题探究】 如图，在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，试说明：． 【变式拓展】 如图，在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，试探究线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】问题探究：见解析；变式拓展：．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明． 问题探究：由余角的性质推出，由即可证明问题． 变式拓展：由三角形外角的性质得到，由证明，得到，即可推出． 【详解】解：问题探究：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴； 变式拓展：． 理由：设， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∴． 3．【问题提出】如图1，是直角三角形，，直线经过点，分别过点向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】若图1中的点在直线的两侧，其他条件不变（如图2所示），判断与是否依然全等，并说明理由； 【深入思考】如图3，在中，，直线经过点，且点位于直线的两侧，若，判断线段之间的数量关系，并加以说明．    【答案】【问题提出】见解析； 【变式探究】与依然全等，理由见解析； 【深入思考】，说明见解析． 【分析】（1）根据题意得出，然后根据角角边证明两三角形全等即可； （2）同（1）的方法证明两个三角形全等即可； （3）证明，根据全等三角形的性质以及等量代换即可得证． 【详解】证明：由已知得， ∴，， ∴． 又∵， ∴； 【变式探究】与依然全等； 理由：∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴； 【深入思考】； ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4．【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：； 【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求； 【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）8． 【分析】（1）通过，，，找到，证，即可得到结果； （2）过点B作，垂足为E，结合（1）的结果可进行计算； （3）过点B作，垂足为F，结合（1）的结果可进行计算． 【详解】解：（1），， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）过点B作，垂足为E， ，， 由（1）知，， ； （3）过点B作，垂足为F， ，， 由（1）知，， ， ，，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；按照“问题背景”证明三角形全等是解题的关键． 5．已知是直角三角形，，，直线经过点，分别过点、向直线作垂线，垂足分别为、. （1）如图1，当点，位于直线的同侧时，证明：. （2）如图2，若点，在直线的异侧，其它条件不变，是否依然成立？请说明理由. （3）图形变式：如图3，锐角中，，直线经过点，点，分别在直线上，点，位于的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并直接写出线段，，的数量关系. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3），. 【分析】（1）易证∠ABD=∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE； （2）易证∠ABD=∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE； （3）由∠CEA=∠ADB=∠BAC，根据三角形内角和定理和平角的定义可得∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB，得出∠DAB=∠ECA，由AAS即可证得△ABD≌△CAE，得出AD=EC，DB=AE，则ED=EC+DB． 【详解】解：（1）在中，， ∵，∴，∴. 又∵，， ∴. （2）在中，， ∵，∴，∴， ∵，， ∴. （3），. 理由如下： ∵∠CEA=∠ADB=∠BAC， ∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB， ∴∠DAB=∠ECA， 在△ABD和△CAE中，    ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD=EC，DB=AE， ∴ED=AD+AE=EC+DB． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理、平角的定义、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 6．如图1，AC=BD，∠CAB=∠DBA，试说明：BC=AD 变式1：如图2，AC=BD，BC=AD，试说明：∠CAB=∠DBA； 变式2：如图3，AC=BD，∠C=∠D，试说明：（1）AO=BO（2）CO=DO（3）BC=AD． 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据SAS即可证明△ABC≌△BAD，根据全等三角形的对应边相等即可证得； 变式1：根据SSS即可证明△ABC≌△BAD，根据全等三角形的对应角相等即可证得； 变式2：利用AAS即可证得△AOC≌△BOD，然后根据全等三角形的对应边相等证得． 证明：∵在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD， ∴BC=AD； 变式1：∵在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA； 变式2：∵在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD， ∴AO=BO，CO=DC， ∴BC=AD． 考点：全等三角形的判定与性质． 7．数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如下图，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到 ，进而得到__________，__________．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．    （2）【模型应用】如下图，为等边三角形，，，求证：；    （3）【模型变式】如下图，在中，，，于点E，于点D，，，则__________．    【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴ ， ， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴， ； （3）解：，， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：． 8．【问题提出】如图1，等腰中，，平分．若，求证：；      【问题变式】如图2，等腰中，，平分．若，求证：． 【问题拓展】如图3，已知，，且，直接写出的度数是_________． 【答案】问题提出：见解析；问题变式：见解析；问题拓展： 【分析】问题提出：延长至，使，证明得到，，由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，证出，从而得到，推出，即可得证； 问题变式：如图，以为边作等边三角形，在上截取，连接并延长交于，证明可得，，再证明即可得证； 问题拓展：延长至使，连接，则，证明，可得，，设，则，，由三角形内角和定理可得，即，求出的值，再利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】问题提出： 证明：如图，延长至，使， ，， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ； 问题变式： 证明：如图，以为边作等边三角形，在上截取，连接并延长交于， 为等边三角形， ，， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， 平分， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，即； 问题拓展：如图，延长至使，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 9．（1）【问题解决】 如图①，在中，是中线，若，，求的取值范围. 图① 思路点拨：延长至点，使，则，连接，完成填空： ①__________； ②在中，根据三角形三边关系，可得的取值范围是___________. （2）【变式应用】 如图②，在中，，是的中线，联想（1）中【问题解决】的方法，求证：. 图② 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形三边的关系等等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键. （1）①利用即可证明；②根据全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系得到，据此可得答案； （2）如图所示，延长到F使得，则，连接，证明，得到，，再由，得到，进而证明，得到，即可证明． 【详解】解：（1）①延长至点，使，则，连接， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，延长到F使得，则，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图1，在中，过点作，且，连接． (问题原型)(1)若，且，过点作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______． (变式探究)(2)如图2，若，，用含的代数式表示的面积，并说明理由． (拓展应用)(3)如图3，若，，则的面积为______． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)． 【分析】(1)如图1中，由定理可证，就有．进而由三角形的面积公式得出结论； (2)如图2中，过点作的垂线，与的延长线交于点，由定理可证得，就有．进而由三角形的面积公式得出结论． (3)如图3中，过点作与，过点作 交延长线于点，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出就可以得出，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】解：(1)∵在中，， 过点作且过点作的的边上的高， ∴ ∴ ∵ ∴． 在与中， ∴， ∴ 故答案为： (2)理由：过点作延长线于点 ∴ ∵， ∵ ∴． 在与中， ∴， ∴ (3)如图3中，∵ ∴． 过点作与，过点作的延长线于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴的面积为16． 故答案为：16 【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键． 11．已由在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内郃，，求证：，小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程： 【类比探究】 (2)如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 (3)如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)会变化，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质证明，进而得出答案； （2）在上取一点，，然后证明，进而得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，同理证明，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上取一点，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴； （3）的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点，使得 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 12．（1）【问题背景】如图1，已知，连接．求证：； （2）【运用探究】如图2，与都是等边三角形，直线经过边的中点F，连接．求证：； （3）【创新拓展】如图3，与都是等边三角形，直线经过边的中点F，连接，使，连接．若P为内一点，当时，直接写出的度数__________．（不需要写出求解过程） 变式：【运用探究】如图2，与都是等腰三角形，，直线经过边的中点F，连接．求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；变式：见解析 【分析】（1）由，得，利用即可证明； （2）连接，延长至G，使，连接，由（1）可知，，易知，，由F是边的中点，可得，可证，可得，，设，可知，，由平角可得，根据，可得，进而可得，即得证； （3）作，，垂足分别为M、N，易知，进而可得由（2）易证，，则，则，如图①所示，作交于点O，连接，可证为等边三角形，即可得，即得，（另外一种方法： 如图②，延长至Q，使，连接，可证是等边三角形，即可得即得）； 变式：由等腰三角形的性质可知，连接，延长至G，使，连接，类比（1）（2）可证，，由平角可得，即得证． 【详解】（1）证明： ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵，，， ∴ （2）连接，延长至G，使，连接， 由（1）可知， ∴， ∵F是边的中点， ∴ 在和中， ∵，， ∴ ∴， 设 ∴， ∵E、D、F在一条直线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）作，，垂足分别为M、N， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵由（2）易证，，则 ∴ 方法1：如图①所示，作交于点O，连接 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∴ 方法2： 如图②，延长至Q，使，连接 ∵   ∴是等腰三角形 ∴   又∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 故答案为：； 变式：证明：∵与都是等腰三角形， ∴，即， 连接，延长至G，使，连接， 类比（1）（2）可证，， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 13．（1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF； （2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE.   【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）根据∠DEM=∠B+∠BDE，∠B=∠DEF，可得∠BDE=∠MEF，利用AAS即可证明； （2）延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，根据BE=BN，可得∠BNE=∠BEN，即有∠BNE=∠BEN=30°，进而得∠C=∠BNE，根据∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE；根据△DEF是等边三角形，可得DE=EF，∠DEF=60°，即有∠CEF=∠BDE，利用AAS即可证明，则有EC=DN，即可得EC=BD+BE． 【详解】（1）证明：∵B、E、M三点共线， ∴∠DEM=∠B+∠BDE， ∴∠DEF+∠MEF=∠B+∠BDE， ∵∠B=∠DEF=∠M， ∴∠BDE=∠MEF， ∵DE=EF，∠B=∠M， ∴； （2）证明：延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，如图， ∵BE=BN，∴∠BNE=∠BEN， ∵∠BNE+∠BEN=∠DBE=60°，∴∠BNE=∠BEN=30°， ∵∠C=30°，∴∠C=∠BNE， ∵B、E、C三点共线， ∴∠DEC=∠DBE+∠BDE， ∴∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE=EF，∠DEF=60°， ∵∠DBE=60°， ∴∠DBE=60°=∠DEF， ∴∠CEF=∠BDE， ∵∠C=∠BNE，DE=EF， ∴， ∴EC=DN， ∵BE=BN，DN=BN+BD， ∴EC=BD+BE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及其性质，构造辅助线BN是解答本题的关键． 14．数学模型学习与应用： (1)【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得答案； （2）根据，求出，利用AAS证明△BDE≌△CFD即可得出结论； （3）根据，求出，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得到，，再根据线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴DE，AE， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ； （3），， ， ， ， 又， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． 15．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题． (1)【课本习题】如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．   求证：DB=DE (2)【尝试变式】如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD． 求证：DB=DE． (3)【拓展延伸】如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE成立，证明见详解 【分析】（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE； （2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论； （3）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠BCA=60°， ∵点D为线段AC的中点， ∴BD平分∠ABC，AD=CD， ∴∠CBD=30°， ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠CED， 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD， ∴2∠CED=60°， ∴∠CED=30°=∠CBD， ∴DB=DE； （2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，如图， ∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°， ∴△DGC为等边三角形， ∴DG=GC=CD， ∴BC-GC=AC-CD，即AD=BG， ∵AD=CE， ∴BG=CE， ∴BC=GE， 在△BDC和△EDG中， ， ∴△BDC≌△EDG（SAS） ∴BD=DE； （3）DB=DE成立， 理由如下：过点D作DF∥AB交BE于F， ∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB， ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF， ∴△CDF为等边三角形 ∴CD=DF=CF， 又AD=CE， ∴AD-CD=CE-CF， ∴BC=AC=EF， ∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°， ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°， ∴∠BCD=∠DFE，且BC=EF，CD=DF， ∴△BCD≌△EFD（SAS） ∴DB=DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 16．（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ． 在和中， ∴， ∴ ． 17．【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），．见解析 【分析】（1）根据即可求证； （2）设，延长至点，使，连接．证，在中利用三角形的三边关系即可求解； （3）延长至点，使得，连接，延长交于点．证、即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ． 在和中， ． （2）如图：设，延长至点，使，连接．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． 在中，， 即， ， 即． （3），． 证明：如图，延长至点，使得，连接，延长交于点．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上，可得，． 【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型―倍长中线模型，熟记模型的构成条件、求证过程及结论是解题关键． 18．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． (1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 证明：延长到G，使， 在与中 ∴理由：， 进而证出：__________，理由：（_______） 进而得 (2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)仍有，证明见解析 【分析】（1）根据前面的推理提示可得答案； （2）延长FD至点G，使，证明，证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：进而证出：，理由 （2）仍有，理由如下： 延长FD至点G，使， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴即 在和中， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$