精品解析：云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷

云南省2023年春季学期期末普通高中学业水平考试 数学试卷 （测试时间：100分钟，满分100分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件互斥，那么. 如果事件相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一､选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂. 1. 已知集合S=｛1，2｝集合T=｛1，2，3｝则 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 3. 已知都是实数.若，则（ ） A. B. C D. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 9. （ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角的对边分别是.若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 在中，内角的对边分别是，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 13. 已知平面向量.若，则实数的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 14. 下列函数中，是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 16. （ ） A. B. C D. 17. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 18. 设，则（ ） A. B. C. D. 19. 某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（ ） A. 10人 B. 12人 C. 13人 D. 15人 20. 已知.若，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 21. 某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（ ） A. B. C. D. 22. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D 向右平行移动个单位长度 非选择题（共34分） 二､填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上. 23. 已知是角终边上的一点，则角的正切值是__________. 24. 一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为__________平方米. 25. 已知，则的最小值是__________. 26. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 三､解答题：本大题共3个小题，第27小题5分，第28小题6分，第29小题7分，共18分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 27. 甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： （1）甲､乙两人都命中； （2）甲､乙两人至少有一人命中. 28. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，. （1）证明：； （2）若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 29. 已知常数满足，且. （1）证明：且是的一个零点； （2）若，使得，记，下列结论：，你认为哪个正确？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省2023年春季学期期末普通高中学业水平考试 数学试卷 （测试时间：100分钟，满分100分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件互斥，那么. 如果事件相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一､选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂. 1. 已知集合S=｛1，2｝集合T=｛1，2，3｝则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】S=｛1，2｝，T=｛1，2，3｝，. 故选:C. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知都是实数.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质依次判断即可． 【详解】对于A项，，由于，得，但的正负无法判断，故A项错误； 对于B项，当时，得，故B项错误； 对于C项，，由于，得，但的正负无法判断，故C项错误； 对于D项，由于，得，故D项正确， 故选：D 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可得：函数的最小正周期是. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式求解． 【详解】因为，所以， 故选：A 6. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 7. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断函数单调性即可. 【详解】对于选项A：因为在上单调递减，故A错误； 对于选项B：因为在上单调递减，故B错误； 对于选项C：因为在上单调递增，故C正确； 对于选项D：因为在内单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：C. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得， 则不等式的解集为：， 故选：D 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 10. 在中，内角的对边分别是.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由余弦定理得. 故选：A 11. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的几何意义求解． 【详解】复数在复平面内对应的点为，它在第三象限， 故选：C 12. 在中，内角的对边分别是，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】由正弦定理得，， 得，得， 故选：D 13. 已知平面向量.若，则实数的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，且，所以. 故选：A 14. 下列函数中，是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意奇偶性的性质和定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，故A错误； 对于选项BC：可知，均为奇函数，故BC错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，所以为偶函数，故D正确； 故选：D. 15. 已知，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，显然，所以. 故选：B. 16. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用逆用余弦差角公式得到答案. 【详解】. 故选：A 17. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合正方体的性质分析求解. 【详解】连接， 因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，可知异面直线与所成的角为（或其补角）， 由正方体可知，即为正三角形，可知， 所以异面直线与所成的角等于. 故选：C. 18. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件两边平方，由二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解． 【详解】由得， ， 得，得， 故选：B 19. 某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（ ） A. 10人 B. 12人 C. 13人 D. 15人 【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样知识求解． 【详解】由分层抽样知，应抽取该单位女职工人数为：， 故选：D 20. 已知.若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算法则进行计算. 【详解】. 故选：A 21. 某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概率公式求解． 【详解】若摸出球是红球，则参加社区植树， 则该同学参加社区植树的概率为：， 故选：A 22. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D. 【考点】三角函数图象的平移 【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象． 非选择题（共34分） 二､填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上. 23. 已知是角终边上的一点，则角的正切值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由正切函数的定义求解． 【详解】因为点是角终边上的上点，所以， 故答案：2 24. 一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为__________平方米. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式求解． 【详解】因为该球的半径为1米，所以该球的表面积为：（平方米）， 故答案为： 25. 已知，则的最小值是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题意知，， 当，即时，等号成立， 所以最小值是6. 故答案为：6 26. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 【答案】68 【解析】 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 三､解答题：本大题共3个小题，第27小题5分，第28小题6分，第29小题7分，共18分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 27. 甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： （1）甲､乙两人都命中； （2）甲､乙两人至少有一人命中. 【答案】（1）0.56 （2）0.94 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式进行求解； （2）先求出甲､乙两人均未命中的概率，从而利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲､乙两人都命中的概率为； 【小问2详解】 甲､乙两人均未命中的概率为， 故甲､乙两人至少有一人命中的概率为. 28. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，. （1）证明：； （2）若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，结合线面垂直的性质分析证明； （2）根据体积关系可得，利用等体积法可得到平面的距离为，再根据线面夹角的定义分析求解. 【小问1详解】 因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. 【小问2详解】 因为，，则， 由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为， 则三棱锥的体积，解得， 设到平面的距离为，则， 因为，则，解得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角正弦值为. 29. 已知常数满足，且. （1）证明：且是的一个零点； （2）若，使得，记，下列结论：，你认为哪个正确？请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先应用不等式性质证明，再根据零点定义证明即可； （2）先根据求出范围，再根据函数单调性求函数值范围，最后分类讨论判断式子正负即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 因为，所以是的一个零点. 【小问2详解】 ， 因为，可得， 所以所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以，而在上单调递增，所以， 所以， 因为，所以可得： 当时， 当时， 当时. 【点睛】方法点睛：先根据已知判断参数范围，再根据函数单调性求函数值范围，最后分类讨论判断式子正负即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$