精品解析：湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：蔡甸实验高中 命题教师：肜平 审题教师：陈婧华 考试时间：2024年4月18日 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求最多出现2个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 46种 D. 84种 5. ，则（ ） A. 31 B. 1023 C. 1024 D. 32 6. “”是“直线与曲线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（        ） A. B. C. D. 8. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B. 被7除后的余数为2 C. 若，则 D. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 10. 已知函数在区间上单调递减，则实数可以是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数是周期为4的周期函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是_______. 13. 已知函数，若成立，则的最小值为______. 14. 若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是______． 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 16. 在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为． （1）求n的值及展开式中的常数项是第几项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？ 17. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，求数列的前项和． 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围； （3）若存在不相等的实数，使得，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：蔡甸实验高中 命题教师：肜平 审题教师：陈婧华 考试时间：2024年4月18日 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 2. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本函数的导数和复合函数的导数运算可得. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D. 3. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项. 【详解】， 令，所以在和上单调递增， 又当时，，. 故选：C 4. 根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求最多出现2个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 46种 D. 84种 【答案】C 【解析】 【分析】分三类：（1）一个紫色格子也没出现，（2）出现1个紫色格子，（3）出现2个紫色格子，分别进行求解，然后利用分类加法原理求解即可 【详解】若一个紫色格子也没出现，可以传递1种信息； 若出现1个紫色格子，可以传递9种不同信息； 若出现2个紫色格子，可以传递种不同信息. 所以若最多出现2个紫色格子，可以传递种不同信息. 故选：C. 5. ，则（ ） A. 31 B. 1023 C. 1024 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 6. “”是“直线与曲线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数求得直线与曲线相切时，再根据直线与曲线相切即可得出结论. 【详解】若直线与曲线相切， 设切点为， 则解得，即必要性成立； 反之，若，可知直线与曲线相切，即充分性成立； 故选：C． 7. 已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数， 则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，， 因为，所以 故选：D 8. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 【详解】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B. 被7除后的余数为2 C. 若，则 D. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的计算即可判断A,根据二项式定理即可判断B，根据赋值法即可判断C，根据组合的定义及组合数运算即可判断D. 【详解】对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确； 对于B： ，展开式中只有最后一项不是7的倍数，所以被7除后的余数为5，故B错误； 对于C：在中， 令，得， 令，得， 两式相加除以2，得，故C正确； 对于D：10人两两握手，共次，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数在区间上单调递减，则实数可以是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将单调性求参转换为不等式恒成立问题，构造函数，求出其最小值即可得解. 【详解】在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，则，所以在区间上单调递增， 所以的最小值为，所以的取值范围是， 对比选项可知，只有ABD符合题意. 故选：ABD. 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数是周期为4的周期函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解A,由周期函数的定义即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C,根据函数周期性的性质即可求解D. 【详解】因为是偶函数，所以，则， 所以函数的图象关于直线对称，由两边求导得， 所以，得， 所以函数的图象关于点对称，故选项A正确； 令得，所以，因为函数为偶函数，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 所以函数,所以的周期为，所以选项B正确； 又因为的周期为，故，所以， 因此，所以函数的图象关于直线对称，所以选项C错误； 因为，所以，又因为，所以， 所以，所以选项D正确. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是_______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算即得. 【详解】在的展开式中，含的项是6个因式中任取5个用， 余下一个因式用常数项相乘积的和，因此展开式中含的项是， 所以的系数是9. 故答案为：9 13. 已知函数，若成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数求出函数的最小值即得. 【详解】函数，由，得，则， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由转化为，然后构造函数，再利用导数求函数的单调性，从而求解. 【详解】因为，，所以，不等式可以化为， 令，则，所以． 当时，，故函数在上单调递增． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，因为在上单调递增，， 所以，即．令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，所以在上单调递增，故， 所以，即，矛盾，故舍去． 当时，，所以当时，， 所以，即． 综上可得，实数的取值范围是． 【点睛】根据不等式构造函数，利用导数研究求解函数单调性，从而求解不等式. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 【详解】（1）由，得，， 于是，整理得，解得， 所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得， 所以. 16. 在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为． （1）求n的值及展开式中的常数项是第几项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】（1），第17项 （2）第7项和第8项 【解析】 【分析】（1）由二项式展开式的通项公式结合题设条件得出，进而由赋值法求解； （2）根据不等式法结合通项进行求解. 【小问1详解】 二项式展开式的通项公式为． 因为第3项和第4项的系数比为，所以， 化简得，解得，所以． 令，得，所以常数项为第17项． 【小问2详解】 设展开式中系数最大的项是第项，则， 解得． 因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，求数列的前项和． 【答案】（1） 由，得， 令，则，解得； 当时，， 所以，所以， 所以当时，， 有， 又满足上式， 所以，得， 所以数列是等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算可得当时，利用累乘法可得，进而，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，结合错位相减求和法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 故， 两式相减，得 ， 所以. 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以函数在区间单调递减，单调递增， 当时，取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：由不等式恒成立，即恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 设，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，， 所以，即，所以实数的取值范围为. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围； （3）若存在不相等的实数，使得，证明：. 【答案】（1）时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） （3）证明：， 由（1）可知，当时，在上是增函数， 故不存在不相等的实数，使得，所以. 由得，即， 不妨设，则，则， 要证，只需证， 即证，只需证， 令，则只需证，即证， 令，则， 所以在上是增函数，所以， 从而，故 【解析】 【分析】（1）分类讨论解不等式，求解函数的单调性； （2）化简不等式，构造新函数，利用导数求最值，由此求参数范围即可； （3）化简设新的参数解决双元问题，应用新函数求导函数结合单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由得，所以在上单调递增； 由得，所以在上单调递减； 故时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由的图象恒在轴上方，可得 因为且，不等式两边同时除以，可得 设可得 令，解得 令，解得 所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时取得最大值， 所以即所以的范围是 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：化简设新的参数解决双元问题，应用新函数求导函数结合单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $