2.2.1 直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程,并会用它们求直线的方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线的点斜式方程 名称 几何要素 示意图 方程 使用范围 点斜式方程 点P(x0,y0)和斜率k   　　 　  斜率存在的直线 y-y0=k(x-x0) 名师点睛 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0. 过关自诊 提示 不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0). 2.[2023四川绵阳期末]已知直线l过点(1,1),且倾斜角为90°,则直线l的方程为(　　) A.x+y=1 B.x-y=1 C.y=1 D.x=1 解析 因为直线l的倾斜角为90°,所以该直线斜率不存在,与x轴垂直.又因为直线l过点(1,1),所以直线l的方程为x=1.故选D. D 3.[北师大版教材习题]写出下列直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出这些直线,通过观察,指出方程y-2=k(x-1)表示的直线具有的与k取值无关的特征: (1)经过点(1,2),斜率为1; (2)经过点(1,2),斜率为-2; (3)经过点(1,2),斜率为0. 解 (1)y-2=1×(x-1),即x-y+1=0. (2)y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. (3)y-2=0×(x-1),即y-2=0. 在同一平面直角坐标系中画出这些直线如图. 方程y-2=k(x-1)表示的直线都过定点(1,2). 知识点2　直线的斜截式方程 名称 几何要素 示意图 方程 使用范围 斜截式方程 斜率k和直线l在y轴上的截距b 截距不是距离   　　 　  斜率存在的直线 y=kx+b 名师点睛 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,在y轴上的截距为-1. 过关自诊 1.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同? 提示 一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0. 2.[人教B版教材习题]根据下列条件求直线的斜截式方程: (1)斜率是 ,截距是-2; (2)倾斜角是135°,截距是3. 知识点3　根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;直线l1,l2的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2; l1⊥l2⇔k1k2=-1. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)斜率不相等的直线一定不平行.(　　) (2)斜率相等,截距相等的两直线平行.(　　) (3)互相垂直的直线截距一定不相等.(　　) √ × × 2.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为(　　) D 3.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为(　　) A 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的点斜式方程 【例1】 [北师大版教材例题]求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线: (1)倾斜角为 ; (2)与x轴垂直; (3)与x轴平行. 思路分析 先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程. 图① (2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1,如图②. (3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2,如图③. 图② 图③ 规律方法 点斜式方程的求法 (1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程. (2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0. 变式训练1直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程. (1)直线l2∥l1; (2)直线l2⊥l1. 解 (1)由已知直线l1的斜率k1=tan 135°=-1. 因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1. 又直线l2经过点B(-1,4), 代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)], 即y=-x+3. (2)由已知直线l1的斜率k1=tan 135°=-1. 又直线l2经过点B(-1,4), 代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5. 探究点二　直线的斜截式方程 【例2】 求满足下列条件的直线方程: (1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直; (2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同. 思路分析 写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程. 解 (1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直, (2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2. 由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2. 由直线方程的斜截式,得y=-2x-2. 规律方法 求直线的斜截式方程的三种策略 策略一 直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要已知直线的斜率、与y轴的交点,就可以直接用斜截式表示 策略二 直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可 策略三 利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入截距b;同理,如果已知截距b,只需引入斜率k 变式训练2已知斜率为- 的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的点斜式方程; (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合思想. 3.常见误区:(1)求直线方程时忽视斜率不存在的情况;(2)混淆截距与距离. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一][2023河南开封月考]经过点(2,5),斜率为-2的直线的点斜式方程为(　　) A.y+5=-2(x+2) B.y-5=-2(x-2) C.y-5=2(x+2) D.y-5=-2(x+2) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.[探究点一][2023上海浦东新区期末]过点P(-5,7),倾斜角为135°的直线方程为(　　) A.y=x+12 B.y=-x+2 C.y=-x+12 D.y=x+2 B 解析 直线的斜率为tan 135°=-1, 故直线方程为y-7=-(x+5),即y=-x+2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.[探究点一][2023福建宁德期中]已知直线l的一个法向量为(2,-1),且经过点(1,3),则直线l的方程为(　　) A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-7=0 A 解析 直线l的一个法向量为(2,-1),且经过点(1,3),则直线l的斜率为2, 故直线l的方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.[探究点二]直线l与直线y=-x+2垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　　　　　　.  y=x+4 解析 设直线l的方程为y=x+m.又l在y轴上的截距为4, ∴m=4,∴直线l的方程为y=x+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.[探究点二]已知直线l的斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.[探究点二]求满足下列条件的m的值. (1)直线l1:y=-x+1与直线l2:y=(m2-2)x+2m平行; (2)直线l1:y=-2x+3与直线l2:y=(2m-1)x-5垂直. 解 (1)∵l1∥l2,∴两直线的斜率相等. ∴m2-2=-1且2m≠1,∴m=±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 必备知识基础练 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.若y=a|x|与y=x+a(a>0)的图象有两个交点,则a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.⌀ D.(0,1)∪(1,+∞) A 解析 y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a的图象有两个交点,且a>0,则根据图象可知a>1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a大致图象的是(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 必备知识基础练 11.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R). (1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.方程k=与y-y0=k(x-x0)一样吗? 解 (1)y=x-2. (2)y=-x+3. A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 解析 由题意可设所求直线方程为y=kx+4,又由2k=-1,得k=-, ∴所求直线方程为y=-x+4. A.y=-x+ B.y=-x+1 C.y=3x-3 D.y=x+1 解析 将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,得到直线y=-x, 再向右平移1个单位长度,所得到的直线为y=-(x-1),即y=-x+. 解 (1)因为直线的倾斜角为,所以该直线的斜率为k=tan. 因为直线经过点P(-1,2)且斜率为, 所以该直线方程的点斜式为y-2=[x-(-1)],化简,得x-y++2=0,如图①. 因为l2⊥l1,所以直线l2的斜率k2=-=1. 所以所求直线斜率为-. 又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-x-2. 解 设直线l:y=-x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=b. 由题意,得|b|·=6,∴b2=16,∴b=±4. 故直线l的方程为y=-x±4. 3.[探究点二]已知直线l的斜率是直线y=x+1的斜率的相反数,在y轴上的截距为2,则直线l的方程为(　　) A.y=2x- B.y=-(x-2) C.y=-x+2 D.y=x-2 解析 ∵直线l的斜率是直线y=x+1的斜率的相反数,∴kl=-. ∵在y轴上的截距为2, ∴直线l的方程为y=-x+2,故选C. y=x+1或y=x-1 解析 设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b. 由题意可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1. 故直线l的方程为y=x+1或y=x-1. (2)∵l1⊥l2,∴2m-1=,∴m=. 8.(多选题)直线y=ax+的图象可能是(　　) 解析 由直线y=ax+可得a≠0. 若a>0时,直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都大于0,可能为A; 若a<0时,直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都小于0,可能为B. 故选AB. 解 (1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2, 要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0, 故k的取值范围是[0,+∞). (2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0, 所以A,B(0,4k+2), 故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16, 当且仅当4k=,即k=时,等号成立. 故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4. $$