2.2.2 直线的两点式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.2.2　直线的两点式方程 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.掌握直线的两点式方程和截距式方程. 2.会选择适当的方程形式求直线方程. 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线的两点式方程 名称 几何要素 示意图 方程 使用范围 两点式方程 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中x1≠x2, y1≠y2   　 　 　　  斜率存在且不为0 注意是“且”的关系,不是“或”的关系 名师点睛 1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标. 3.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与 过关自诊 1.把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y1)(x2-x1)= (y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗? 提示 这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程. 2.[2023山东聊城期末]过点(-1,2)和点(0,3)的直线在x轴上的截距为(　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 C 令y=0,则x=-3,即过点(-1,2)和点(0,3)的直线在x轴上的截距为-3. 故选C. 知识点2　直线的截距式方程 名称 几何要素 示意图 方程 使用范围 截距式方程 直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),a≠0,b≠0   　　　 　  　 　　  名师点睛 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. a≠0,b≠0 过关自诊 1.什么样的直线的方程不能用截距式表示? 提示 与坐标轴平行或重合及过原点的直线. 2.[北师大版教材习题]回答下列问题: (1)任意一条直线的方程都可以用直线的截距式表示吗? (2)经过点(1,2),且在x轴和y轴上的截距相等的直线有几条?请写出这些直线的方程. 解 (1)不一定,过原点的直线和与两坐标轴平行的直线不能用截距式. (2)有两条. 当截距相等且为0时,直线的方程为y=2x,即2x-y=0; 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的两点式方程 【例1】 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC边所在的直线方程; (2)BC边上中线所在的直线方程. 思路分析 已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程. 变式探究 例1已知条件不变,求: (1)AC边所在的直线方程; (2)AC边上中线所在的直线方程. 规律方法 利用两点式求直线方程要注意: (1)首先要判断是否满足两点式方程的条件,若满足就可用两点式方程,在斜率存在的情况下,也可先求斜率再代入点斜式方程即可得到直线方程. (2)在记忆和使用两点式方程时,注意不要将x,y或数字的顺序错位而导致错误,必须注意坐标的对应关系. 探究点二　直线的截距式方程 【例2】 直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程. 解 因为直线l过点(-3,4)且直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程. 变式探究 将例2中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程. 解 设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b. 若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0; 若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0. (2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0. 综上所述,所求直线方程为x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0. 规律方法 直线的截距式方程在解题中的应用 在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中,常设直线的截距式方程. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的两点式方程; (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳:分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区:(1)容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件; (2)利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一][2023江苏扬州期中]经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点二]直线3x+2y+1=0在x轴上的截距为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点一][2023福建福州检测]过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点一、二](多选题)[2023海南琼海月考]下列四个结论,其中正确的有(　　) B.直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3 C.直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2 D.过点P(1,2),且与两坐标轴截距相等的直线l方程仅有x+y-3=0 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故两个方程不可以表示同一条直线,故A错误; 对于B,令y=0,则x=-3,所以直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3,故B正确; 对于C,直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2,故C正确; 对于D,当直线在坐标轴上的截距都为0时,直线方程为y=2x,当直线在坐标轴上的截距都不为0时,可设其方程为 解得a=3,所以直线方程为x+y-3=0. 综上,过点P(1,2),且与两坐标轴截距相等的直线l方程为y=2x或x+y-3=0,故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点二][2023江苏南京联考]若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上截距互为相反数,则直线l的方程为　　　　　　　　　.  y=2x或x-y+1=0 解析 直线l在两坐标轴上截距为0时,直线l过点A(1,2),则直线l的方程为y=2x;直线l在两坐标轴上截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过点A(1,2),则1-2=a,解得a=-1,直线方程为x-y+1=0. 综上所述,直线l的方程为y=2x或x-y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.[探究点一、二][2023江西宜春期末]已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3, -3),C(0,2),求: (1)AC边所在直线的方程; (2)BC边上中线所在直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 必备知识基础练 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 B 解析 因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy(　　) A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值 C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选题)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A.x+y-5=0 B.x-y-5=0 C.x-4y=0 D.x+4y=0 AC 把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0. 综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为　　　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　.  x+2y-6=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 必备知识基础练 12.直线过点P 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件: (1)△AOB的周长为12; (2)△AOB的面积为6? 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. 若满足条件(2),则ab=12,③ 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0. 这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由两点式可得,也可以写成. 解析 由题意可得过点(-1,2)和点(0,3)的直线方程为,即x-y+3=0, =1 当截距相等且不为0时,设为a,则直线方程为=1, 将点(1,2)的坐标代入得a=3, 所以直线的方程为=1,即x+y-3=0. 解 (1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得, 化简得2x+y+3=0. (2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为,即D(-1,-1). 又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得,化简得x+3y+4=0. 解 (1)由两点式方程,得,化简得x-2y+4=0. (2)由中点坐标公式得AC边的中点E, 中线BE所在直线的方程为,化简得7x+6y+18=0. 设直线l的方程为=1,则a+b=12.① 又直线l过点(-3,4),所以=1.② 由①②解得 故所求的直线方程为=1或=1,即x+3y-9=0或4x-y+16=0. (1)当a≠0,b≠0时,设l的方程为=1, 因为点(-3,4)在直线上,所以=1. A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x-3 D.y=-x-3 解析 经过点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为,整理得y=-x-3. 故选D. A. B. C.- D.- 解析 直线3x+2y+1=0,令y=0,解得x=-.故选D. A. B.- C. D.- 解析 过两点(-2,4)和(4,-1)的直线的方程为,即y=-x+, ∴直线在y轴上的截距为.故选C. A.方程k=与方程y-2=k(x-1)可表示同一条直线 解析 对于A,因为方程k=中,x≠1,而方程y-2=k(x-1)中x∈R, =0,则=0, 解 (1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直线AC的截距式方程为=1, 化简得2x-5y+10=0,即AC边所在直线的方程为2x-5y+10=0. (2)∵B(3,-3),C(0,2),设BC中点坐标为D, ∴BC中点为D, 直线AD的斜率为k==-, 因此,直线AD的方程为y=-(x+5),化简得x+13y+5=0, 即为BC边上中线所在直线的方程. 7.若直线=1过第一、三、四象限,则(　　) 解析 线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=4(0≤x≤3), 从而xy=4x=-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3; 当x=0或3时,xy取最小值0. 解析 当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x,即x-4y=0; 当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为=1, 解析 设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1, ∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9, 当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立. ∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0. 解 存在.设直线方程为=1(a>0,b>0), 若满足条件(1),则a+b+=12.① 又直线过点P,∴=1.② 由①②可得5a2-32a+48=0,解得 ∴所求直线的方程为=1或=1, 由题意得=1,④ 由③④整理得a2-6a+8=0,解得 ∴所求直线的方程为=1或=1, $$