2.2.3 直线的一般式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.2.3　直线的一般式方程 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线的一般式方程 定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 　 一般式方程可以表示平面内任意一条直线 名师点睛 1.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 2.直线的一般式方程与其他形式的互化. 过关自诊 1.方程y-y0=0是二元一次方程吗? 2.直线与二元一次方程的关系是什么? 提示 是,是A为0的二元一次方程. 提示 二元一次方程都表示直线. 3.[北师大版教材习题]求经过点(0,-1),且倾斜角为 的直线的方程,并化成一般式. 4.[人教B版教材例题]已知直线l的一般式方程为2x-3y+6=0,求直线l的斜率以及在x轴和y轴上的截距. 知识点2　两条直线的位置关系 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) × × 2.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为(　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 A 3.已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 D 解析 由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0, ∴a=2或a=-1. 当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去; 当a=-1时,l1∥l2.∴a=-1. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的一般式方程 【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是 ,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 思路分析 先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式. 规律方法 直线的一般式方程的特征 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列. 变式训练[2023浙江杭州模拟]数学家欧拉提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线的一般式方程为(　　) A.3x+y=1 B.3x-y=1 C.x+3y=0 D.x-3y=0 C 解析 由题意,可得△ABC为直角三角形,且BC为斜边, 所以其欧拉线方程为斜边上的中线, 设线段BC的中点为D,由B(0,2),C(-6,0),所以D(-3,1). 所以欧拉线的一般式方程为x+3y=0. 故选C. 探究点二　由一般式方程判断两直线平行或垂直 【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值. (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值. 思路分析 利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解. 解 (1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2. 当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0, 显然l1与l2不重合,∴l1∥l2. 同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2, 故m的值为2或-3. (2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1. 故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 变式探究 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0. 求:(1)过点A和直线l平行的直线方程; (2)过点A和直线l垂直的直线方程. 解 (1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0, 又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14. 所求直线方程为3x+4y-14=0. (2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0, 又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2, 所以直线方程为4x-3y-2=0. 规律方法 由直线的一般式方程解决平行与垂直问题的两个等价关系.若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,A1和B1,A2和B2均不同时为0,则(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的一般式方程; (2)直线五种形式方程的互化; (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直位置关系. 2.方法归纳:分类讨论法、转化化归. 3.常见误区:(1)容易忽视直线斜率不存在的情况;(2)容易忽视两直线重合的情况;(3)容易对于直线的一般式方程形式化简不彻底. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]过点(2,1),斜率k=-2的直线的一般式方程为(　　) A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0 C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0 D 解析 由题可得,y-1=-2(x-2),即直线的一般式方程为2x+y-5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点二]已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 D 解析 由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0, ∴a=2或a=-1. 当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去; 当a=-1时,l1∥l2.∴a=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点二]若直线mx+4y-2=0与直线2x-y+n=0垂直,垂足为(1,p),则实数n的值为(　　) A.-2 B.-4 C.10 D.8 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点一]已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为　　　　　.  解析 把(3,0)代入已知方程,得(a+2)×3-2a=0, ∴a=-6,∴直线方程为-4x+45y+12=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点一]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 解 (1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距均为0, ∴a=2,此时直线l的方程为3x+y=0; ∴直线l的方程为x+y+2=0. 综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, 综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 必备知识基础练 6.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为(　　) A.(2,-2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,2) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为(　　) A.0 B.2 C.4 D. B 解析 由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0, ∴a2+b2=4. 又a2+b2≥2ab,∴ab≤2, 当且仅当a=b=± 时,等号成立. ∴ab的最大值为2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3围成一个三角形,则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 CD 解析 直线x+y=0,x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不能经过原点, 故只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行即可,即a≠±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则(　　) A.AB>0,BC<0 B.AB<0,BC>0 C.AB>0,BC>0 D.AB<0,BC<0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为　　　　　 　　　.  4x+3y-12=0或4x+3y+12=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.直线l过原点,且与x-3y+2 022=0平行.若角α的终边落在直线l上,则 =　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 必备知识基础练 12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH的一般式方程为 　　　　　　　　.  x+4y-14=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 过点H,F分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N(图略). ∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA. ∵OC=AM=1,MH=OA=2,∴OM=OA+AM=3, ∴点H的坐标为(2,3),同理,得F(-2,4), 解 直线的斜率k=tan, 直线的方程为y-(-1)=(x-0), 化成一般式为x-y-1=0. 解 直线l的一般式方程可以化为y=x+2, 所以直线l的斜率为,在y轴上的截距为2. 在方程中令y=0可得x=-3,因此l在x轴上的截距为-3. 方程 形式 斜截式 一般式 A1,B1不同时为0的意思 方程 y=k1x+b1, y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(), A2x+B2y+C2=0() 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 方程形式 斜截式 一般式 平行 重合 (1)直线l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则直线l的斜率k=-.(　　) (2)直线l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则直线在x轴、y轴上的截距分别为-,-. (　　) 解析 过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线的斜率为, 由点斜式求得直线的方程为y-3=(x-2),化简可得x-2y+4=0,故选A. 解 (1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5), 化为一般式方程为x-y+3-5=0. (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2, 化为一般式方程为4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为, 化为一般式方程为2x+y-3=0. (4)由截距式方程可得,所求直线方程为=1, 化为一般式方程为x+3y+3=0. 由kAD==-, 所以AD的方程为y=-x, 解析 由已知得解得n=-2. - 令x=0,得y=-. 当直线l不过原点时,a≠2,直线l在x轴和y轴上的截距分别为,a-2, ∴=a-2,解得a=0或a=2(舍去), ∵l不经过第二象限,∴解得a≤-1. 解析 设B的坐标为(a,b), 由题意可知 解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A. 解析 由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=->0,于是AB<0; 直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-<0, 于是BC>0. 解析 由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0), 令y=0,得x=-,令x=0,得y=-, 则S==6,得c2=122,c=±12, ∴直线l的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0. - ∴直线FH的方程为, ∴直线FH的一般式方程为x+4y-14=0. $$