2.4.2 圆的一般方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.理解圆的一般方程及其特点. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　圆的一般方程 二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项 名师点睛 1.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形. 2.几个常见圆的一般方程 (1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0); (2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0); (3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0); (4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0); (5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 过关自诊 1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件? 提示 (1)A=C,且均不为0; (2)B=0; (3)D2+E2-4AF>0. 2.[北师大版教材习题改编]根据下列条件,求圆的一般方程: (1)圆经过A(0,2),B(-1,1)两点,且圆心在直线x+2y-1=0上; (2)圆经过O(0,0),M(1,1),N(4,2)三点. 所以圆的方程为(x-1)2+y2=5. 化为一般方程为x2+y2-2x-4=0. 知识点2　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题 1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 此关系式有的可化为函数关系,有的则不能,但都可以当作方程 2.点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于x,y之间的方程. 过关自诊 轨迹和轨迹方程有什么区别? 提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　圆的一般方程初步理解 【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径. 规律方法 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法: (1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种形式,若不是,则要化为这种形式再求解. 变式训练1[北师大版教材例题]讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎样的图形. 探究点二　求圆的一般方程 【例2】 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值. 解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0, ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上, ∴a2+22-8a-2×2+12=0, 即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6. 变式探究 1若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y= -x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程? 变式探究 2将本例改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上,试求△QMN面积的最大值”. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时的注意点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出D,E,F. 变式训练2[2023河南南阳期末]已知圆C过点R(2,0),S(4,-2),且圆心C在直线2x-y-8=0上.求圆C的方程. 探究点三　求动点的轨迹方程 【例3】 已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形. 思路分析 设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简. 解 设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|. 由两点间距离公式, 又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且点B,C不能为一直径的两端点,故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10 (除去(3,5)和(5,-1)),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点. 变式探究 求本例中线段AC的中点M的轨迹方程. 解 设点M(x,y),又点A(4,2),M为线段AC的中点,∴点C(2x-4,2y-2). ∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10上, ∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10, 规律方法 求动点的轨迹方程的常用方法 变式训练3如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆x2+y2+2x-3 =0上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程. 解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),因为点C的坐标是(4,3), 于是有x0=8-x,y0=6-y.① 因为点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动, 所以点A的坐标满足方程x2+y2+2x-3=0, 把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 整理,得(x-9)2+(y-6)2=4. 所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)圆的一般方程; (2)求动点的轨迹方程. 2.方法归纳:待定系数法、几何法、定义 法、代入法. 3.常见误区:忽视方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.已知方程x2+y2-2x+my+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(　　) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.[2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) D 解析 根据题意,若方程x2+y2-2x+my+m=0表示圆, 则有(-2)2+m2-4m>0,即m2-4m+4=(m-2)2>0,解得m≠2, 即m的取值范围为(-∞,2)∪(2,+∞), 故选D. 1 2 3 4 5 2.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　) A.x+y-3=0 B.x-y-3=0 C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0 C 解析 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.所求直线的斜率k= =2,根据直线的点斜式方程可知所求直线方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0. 1 2 3 4 5 3.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0(　 　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 ABC 解析 x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5, 即圆心的坐标为(2,0). 圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确; 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B正确; 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故C正确; 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故D不正确. 1 2 3 4 5 4.已知点A(-1,1),B(3,3),则以AB为直径的圆的一般方程为　　　　　　　. x2+y2-2x-4y=0 AB的中点坐标为(1,2),所以以AB为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,化为一般方程为x2+y2-2x-4y=0. 1 2 3 4 5 5.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且边AC上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　　　.  (x-8)2+y2=36(y≠0) 当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以为圆心, 为半径的圆,这个方程叫做圆的一般方程. 解 (1)设圆心C(a,b),则由|CA|=|CB|, 得,所以a+b-1=0. 又圆心C(a,b)在直线x+2y-1=0上,所以a+2b-1=0. 所以b=0,a=1,所以半径r=, (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圆经过O点,得F=0. 把M,N两点坐标代入上述方程,得所以 所以圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0. 点M在圆外⇔+Dx0+Ey0+F>0; 点M在圆上⇔+Dx0+Ey0+F=0; 点M在圆内⇔+Dx0+Ey0+F<0. 解 (1)根据题意知(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为. (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0化成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径r=. 解 将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.① 当λ=1时,方程①是一元一次方程6x-9=0,表示与x轴垂直的直线. 当λ≠1时,方程①可进一步整理为+y2=.② 当λ<0时,方程②无解,故原方程不表示任何图形; 当λ=0时,方程②只有一组解故原方程表示一个点(3,0); 当λ>0且λ≠1时,原方程表示一个圆心在点,半径为的圆. 由题意,得解得 解 ∵kAB=,AB的中点坐标为, ∴AB的垂直平分线的方程为y-=-3. 联立即圆心C的坐标为. 圆C的半径r=, ∴圆C的方程为2+2=. 解 由例2(1)的结论,可知圆Q的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,即(x-4)2+(y-1)2=5. △QMN的面积S=|QM||QN|sin∠MQN≤. 故△QMN面积的最大值为. 解 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则有解得 ∴圆C的方程为x2+y2-8x+12=0. 得=, 整理,得(x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示. ∴(x-4)2+(y-2)2=, 又由2x-4≠3,得x≠,由2y-2≠5,得y≠;由2x-4≠5,得x≠,由2y-2≠-1,得y≠. ∴中点M的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=. 且点C是线段AB的中点,所以4=,3=, 即(x0+1)2+=4,② 解析 因为点A(-1,1),B(3,3),所以|AB|==2, 解析 设点C(x,y)(y≠0), 则点D. ∵点B(4,0),且边AC上的中线BD的长为3, ∴=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0). $$