2.1.1 倾斜角与斜率 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.1.1　倾斜角与斜率 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角、直线的斜率的概念. 3.掌握倾斜角与斜率之间的关系. 4.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴　　　　与直线l 　　　 　　之间所成的角α叫做直线l的倾斜角  规定 当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°   注意区分直线倾斜角为0 °的情形和向量夹角为0 °的情形 记法 α 图示   正向 向上的方向 取值 范围 0°≤α<180° 作用 (1)表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度; (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可 名师点睛 倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 过关自诊 1.倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同? 提示 倾斜角相等的直线的倾斜程度相同. 2.[人教B版教材习题]分别写出下列直线的倾斜角: (1)垂直于x轴的直线; (2)垂直于y轴的直线; (3)第一、三象限的角平分线; (4)第二、四象限的角平分线. 解 (1)90°;(2)0°;(3)45°;(4)135°. 知识点2　直线的斜率 1.定义与表示 定义 (α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的　　　叫做这条直线的斜率  α=90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示,即k=tan α α∈ 范围 　　 　  作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴的倾斜程度 正切值 R 2.斜率与倾斜角的对应关系 任何一条直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率 图示         倾斜角 α=0° 0°<α<90° 　 　  90°<α<180° 斜率 　   k>0 不存在 　　　   斜率 变化 规律 定值 直线逆时针旋转,倾斜角α在0°至90°间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为正数 不存在 直线逆时针旋转,倾斜角α在90°至180°间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数 α=90° 0 k<0 过关自诊 1.为什么倾斜角为90°时,直线没有斜率? 2.直线的倾斜角越大,斜率就越大吗? 提示 当α=90°时,tan α不存在,由斜率的定义,可知此时直线斜率不存在. 3.[人教B版教材习题]根据下列直线的倾斜角α,判断直线的斜率是否存在,如果存在,求出斜率的值: (1)α=0°;(2)α=60°;(3)α=90°;(4)α=150°. 知识点3　直线的斜率公式 名师点睛 1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直. 2.斜率公式与点P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的. 3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k= ,即下标的顺序一致. 过关自诊 1.利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗?为什么? 2.[北师大版教材习题]根据图中提供的信息,按从大到小的顺序排列图中各条直线li(i=1,2,3,4,5)的斜率ki,并写出各条直线的斜率. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的倾斜角 【例1】 (多选题)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角可以为(　　) A.α B.90°-α C.90°+α D.180°-α BC 解析 如图所示,当直线l向上的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当直线l向上的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α. 规律方法 求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角. (2)关注点:结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论. 变式训练1设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么直线l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135° D 解析 根据题意,画出图形,如图所示: 由条件可知0°≤α<180°,通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,直线l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D. 探究点二　直线的斜率 【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? 思路分析 用直线的斜率公式求直线的斜率. 变式探究 1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时,实数m的取值范围. 变式探究 2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何? 规律方法 直线斜率的计算方法 一 判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在 二 若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式k= (其中x1≠x2)进行计算 探究点三　倾斜角和斜率的应用 【例3】 若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角,则实数t的取值范围是　　　　　.  (-2,1) 解得-2<t<1. 故实数t的取值范围是(-2,1). 规律方法 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度,二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 变式训练2已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的倾斜角及其取值范围; (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳:数形结合思想. 3.常见误区:(1)容易忽视倾斜角取值范围,图形理解不清;(2)对于倾斜角的变化如何反映斜率的变化理解不到位;(3)容易忽视斜率公式的使用条件. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一][2023广东佛山期末]如图,直线l的倾斜角为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点一]若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=(　　) A.6 B.-6 C.4 D.-4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点三](多选题)已知直线斜率的绝对值为 ,则直线的倾斜角可以为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点二]如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 解析 设直线l1,l2,l3的倾斜角分别是α1,α2,α3, 由题图可知α1>90°>α2>α3>0°, 所以k1<0<k3<k2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点一、二]若直线AB与y轴的夹角为60°,则直线AB的倾斜角为　　　 　　,斜率为　　　　　.  30°或150° 解析 因为直线AB与y轴的夹角为60°, 所以直线AB的倾斜角为30°或150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.[探究点三]如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 必备知识基础练 7.[2023辽宁大连期末]若直线l的方向向量是e=(1, ),则直线l的倾斜角为 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选题)下列命题中,错误的是(　 　) A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α ABC 解析 直线的倾斜角 时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误,故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.[2023江西南昌月考]已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为　　　　　.  解析 设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为α,则tan α=3, 由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为α+45°,α-45°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2, -1),直线l过点P,且与线段MN相交.求: (1)直线l的倾斜角α的取值范围; (2)直线l的斜率k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图, 所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 必备知识基础练 12.直线l的方向向量为(-1,2),直线l的倾斜角为α,则tan 2α的值是(　　) A 提示 不是,如,但斜率分别为和-,而>-.应分区间说明, 当α∈和α∈时,上述结论在这两个区间上分别成立. 解 (1)存在,k=0. (2)存在,k=. (3)不存在. (4)存在,k=-. 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=. 提示 不能,当直线与x轴垂直时,k=无意义. 解k2>k1>k5>k4>k3;k1=,k2=4,k3=-,k4=-,k5=0. 解 (1)kNM==1,解得m=. (2)直线l的倾斜角为90°,即直线l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1. 解 由题意知>0,解得1<m<2. 故实数m的取值范围为(1,2). 解 (1)由题意知=1,解得m=2. (2)由题意知m+1=3m,解得m=. 解析 由题意知,kAB=. 因为直线的倾斜角为钝角,所以kAB=<0, 解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=, 直线AC的斜率kAC=, 故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为. (2)如图所示,当点D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC, 所以直线AD的斜率的变化范围是. A. B. C. D. 解析 由题图可知,直线l的倾斜角为.故选C. 解析 由题意可得tan 45°=,即=1,解得m=4,故选C. 解析 由题意得直线的斜率为或-,故直线的倾斜角为60°或120°. 或- 当倾斜角为30°时,斜率为tan 30°=; 当倾斜角为150°时,斜率为tan 150°=-. 解 l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=. ∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°, ∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=-. A. B. C. D. 解析 由直线l的方向向量是e=(1,)得直线l的斜率为, 设直线的倾斜角是α(0≤α<π),tan α=⇒α=.故选B. 8.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于(　　) A. B.- C.2 D.-2 解析 ∵A,B,C三点共线, ∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab,得1=,即. D.直线的倾斜角α∈或α∈时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 α∈或α∈ -2, 因为tan(α+45°)==-2,tan(α-45°)=, 所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为-2,. 解 (1)kPN==-,kPM==1, (2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). A. B.- C. D.- 解析 ∵直线l的方向向量为(-1,2), ∴直线l的斜率等于-2,∴tan α=-2,tan 2α=. $$