第13章　轴对称阶段素养测评(6)(13.3～13.4)原卷版+答案版-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章　轴对称阶段小卷(六)(13.3～13.4) 时间：40分钟　　总分：100分 一、选择题(每小题4分，共28分) 1．等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为( ) A．80° B．50° C．80°或20° D．80°或50° 2．下列说法错误的是( ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍 3．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°.则∠2的度数是( ) A．70° B．65° C．60° D．55° 4．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE 5．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝2，下列结论错误的是( ) A．∠ADE＝30° B．BD＝4 C．△EFC的周长为18 D．△ABC的周长为21 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 二、填空题(每小题5分，共25分) 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ ． 9．如图，AC，BD相交于O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则∠AOD＝ ． 　　　 10．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠COD＝ °. 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD＝1，则AD的长为 ． 12．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是 ． 三、解答题(共47分) 13．(11分)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)判断△BOC的形状，并说明理由． 14．(11分)如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝6，AC＝4，BC＝7. (1)求PA＋PB的最小值，并说明理由； (2)求△APC周长的最小值． 15．(11分)过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，求DE的长． 　　 16．(14分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE. (1)若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数； (2)若∠BAC＝α(α＞30°)，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数； (3)猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．(不必证明) 学科网（北京）股份有限公司 $$第13章 轴对称阶段小卷(六)(13.3~13.4) 时间:40分钟 总分:100分 一、选择题(每小题4分,共28分) 1.等腰三角形的一个角是80 ,它的底角的大小为(D) A.80 B.50 C.80 或20 D.80 或50 2.下列说法错误的是(B) A.等腰三角形的两个底角相等 B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 D.等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍 3.如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25 ,∠1=60 .则∠2的度数是(A) A.70 B.65 C.60 D.55 4.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(C) A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 5.如图, ABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EF∥AB,AE=2,下列结论错误的是(D) A.∠ADE=30 B.BD=4 C. EFC的周长为18 D. ABC的周长为21 6.如图,在 ABC中,∠ABC=60 ,∠C=45 ,AD是边BC上的高,∠ABC的平分线交AD于点F,交AC于点E,则图中等腰三角形的个数为(C) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,等边 ABC中,BF是AC边上中线,点D在BF上,连接AD,在AD的右侧作等边 ADE,连接EF,当 AEF周长最小时,∠CFE的大小是(D) A.30 B.45 C.60 D.90 二、填空题(每小题5分,共25分) 8.(2022 岳阳)如图,在 ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=6,则CD=_3_. 9.如图,AC,BD相交于O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40 ,∠ACB=35 ,则∠AOD=_75 _. 10.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75 ,则∠COD=_25_ . 11.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为_2_. 12.如图,正 ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且 ABC与 A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是_4_. 三、解答题(共47分) 13.(11分)如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O. (1)求证: ABD≌ ACE; (2)判断 BOC的形状,并说明理由. 证明:(1)∵AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴ ABD≌ ACE(SAS); (2) BOC是等腰三角形,理由如下:∵ ABD≌ ACE,∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,∴∠OBC=∠OCB,∴BO=CO,∴ BOC是等腰三角形. 14.(11分)(2022 椒江区校级月考)如图,直线m是 ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若AB=6,AC=4,BC=7. (1)求PA+PB的最小值,并说明理由; (2)求 APC周长的最小值. 解:(1)PA+PB=AB=6; 原因:两点之间,线段最短; (2)∵m是BC的垂直平分线,点P在m上,∴点C关于直线m的对称点是点B,则PB=PC. ∵C ABC=AP+PC+AC,AC=4,要使 APC周长最小,∴要使AP+PC最小.当点P是m与AB的交点时,PA+PB最小,即PA+PB=AB,此时C APC=AB+AC=6+4=10. 15.(11分)过边长为2的等边 ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于点D,求DE的长. 解:过P作BC的平行线交AC于F,∴∠Q=∠FPD.∵ ABC是等边三角形,∴∠APF=∠B=60 ,∠AFP=∠ACB=60 ,∴ APF是等边三角形,∴AP=PF.∵AP=CQ,∴PF=CQ.在 PFD和 QCD中,∴ PFD≌ QCD(AAS),∴FD=CD.∵PE⊥AC于E, APF是等边三角形,∴AE=EF,∴AE+DC=EF+FD,∴ED=AC.∵AC=2,∴DE=1.故DE的长为1. 16.(14分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=AE. (1)若∠BAC=90 ,∠BAD=30 ,求∠EDC的度数; (2)若∠BAC= ( >30 ),∠BAD=30 ,求∠EDC的度数; (3)猜想∠EDC与∠BAD的数量关系.(不必证明) 解:(1)∵∠BAC=90 ,AB=AC,∴∠B=∠C=45 , ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60 .∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=(180 -∠DAC)=60 .又∵∠AED=∠C+∠EDC,∴∠EDC=60 -∠C=15 ; (2)与(1)类似,∠B=∠C=90 - .∵∠DAC= -30 ,∴∠ADE=∠AED=(180 -∠DAC)=105 - ,∴∠EDC=∠AED-∠C=(105 - )-(90 - )=15 ; (3)∠EDC=∠BAD. 学科网(北京)股份有限公司 $$