1.3空间向量及其运算的坐标表示（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.3空间向量及其运算的坐标表示 导学案 一、学习目标 (1)理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性. (2)借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. (3)会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算. (4)会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题. 二、重点难点 重点： （1）建立空间直角坐标系 （2）空间向量运算的坐标表示. 难点： （1）空间直角坐标系三要素与空间单位正交基的对应关系 （2）应用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 情境一： 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……对于集合,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算. 情境二： 情境Ⅰ:如图,数轴上有A,B两点. 情境Ⅱ:在平面直角坐标系中,点P,Q的位置如图所示. 情境Ⅲ:一个房间的示意图如图所示,我们如何表示板凳和气球的位置? 【思考】 (1)情境Ⅰ中如何表示A,B两点的位置? (2)情境Ⅱ中如何表示P,Q两点的位置? (3)对于情境Ⅲ,空间中如何表示板凳和气球的位置? 环节二：回顾旧知，学习新知 在平面向量的学习中，我们以平面直角坐标系中与轴 、轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了平面直角坐标系中的向量与点之间的一一对应关系，从而引入向量的坐标概念，并建立了向量运算的坐标表示，实现了把向量运算化归为数的运算的目标.本章我们学习了空间向量及其运算、空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，下面我们类比平面向量的坐标表示，学习空间向量的坐标表示. 问题1：我们是如何建立平面向量的坐标表示的?你能类比平面直角坐标系与平面向量单位正交基的关系，你能利用空间向量单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗? 问题2：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 追问：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 思考：在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 事实上,如图1.3-5,过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和.可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,,,=++,设点和在轴、轴、轴上的坐标分别是、和,那么点(向量)的坐标为. 问题3：有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗?请同学们类比平面向量运算的坐标表示研究空间向量运算的坐标表示，独立完成下列表格，并进行小组交流. 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 线性运算 加法 减法 数乘 数量积运算 向量在判断平行，垂直及长度夹角中的应用 平行关系 垂直关系 模长运算 夹角运算 两点间距离 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，C，，四点坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 方法规律： 1.在空间中根据点的坐标确定点的位置的方法 根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. 2.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的特性. 3.求点的坐标的方法 一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正号或负号),确定第三个坐标. 变式训练： 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 例2.如图1.3-8，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：． 例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间中的对称性问题 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 规律小结：求空间对称点的方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论. 变式训练： 1.设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 题型二：空间向量的坐标运算 2.已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 变式训练： 2. (1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)我们是如何利用空间单位正交基底构建空间直角坐标系的? (2)在空间直角坐标系中的点和向量是如何与坐标(有序数组)建立一一对应关系的，两者有怎样的联系? (3)在空间直角坐标系中讨论向量的表示，你对空间向量有了哪些新的认识? (4)回顾研究过程，我们是如何得出空间向量各种运算的坐标表示的? (5)如何用空间向量运算的坐标表示研究相关几何性质? (6)利用空间向量坐标运算解决空间立体几何问题的基本思路是什么? 本节课通过类比平面向量坐标表示的研究路径，利用空间单位正交基底的概念，建立空间直角坐标 系，关键是空间单位正交基底的基向量的大小、方向与空间直角坐标系的单位长度、坐标轴方向一致.利 用空间向量基本定理，对空间直角坐标系中的向量用基向量表示为从而建立了空间 直角坐标系中的点和向量与有序数组的一一对应关系，得到空间中点和向量的坐标表示.在空 间直角坐标系中讨论向量，可以用空间单位正交基底的线性组合表示空间向量的坐标，由此可以实现向量运算的实数化，为后续用空间向量解决立体几何问题奠定基础. 本节课通过类比平面向量运算的坐标表示，应用单位正交基底及向量坐标表示的概念，得出空间向 量运算的坐标表示.通过向量的坐标运算表示空间两向量间平行或垂直的位置关系，空间向量的长度公 式、夹角公式，并推导空间两点间的距离公式的坐标表示，初步体会用空间向量运算的坐标表示解决空间 立体几何问题的基本思路.通过两个例题的解决，进一步体会其中的基本思路和步骤，同时也体会在正方体背景下，用向量法解决立体几何问题的思路的一致性和方法的普适性. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第21页练习第4、5题 教科书第22-23页习题第6、7、8题 巩固作业答案： P21-4.如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长． P21-5.如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． P22-6求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形． P22-7. 已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长． P23-8 如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.3空间向量及其运算的坐标表示 导学案 一、学习目标 (1)理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性. (2)借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. (3)会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算. (4)会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题. 二、重点难点 重点： （1）建立空间直角坐标系 （2）空间向量运算的坐标表示. 难点： （1）空间直角坐标系三要素与空间单位正交基的对应关系 （2）应用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 情境一： 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……对于集合,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算. 情境二： 情境Ⅰ:如图,数轴上有A,B两点. 情境Ⅱ:在平面直角坐标系中,点P,Q的位置如图所示. 情境Ⅲ:一个房间的示意图如图所示,我们如何表示板凳和气球的位置? 【思考】 (1)情境Ⅰ中如何表示A,B两点的位置? (2)情境Ⅱ中如何表示P,Q两点的位置? (3)对于情境Ⅲ,空间中如何表示板凳和气球的位置? 提示: 情境Ⅰ中，A,B两点分别表示2和-2. 情境Ⅱ中，P,Q两点的坐标分别是(a,b)和(m,n). 情境Ⅲ，可类比平面坐标系建立空间直角坐标系,如图所示,进而表示出板凳和气球的位置. 环节二：回顾旧知，学习新知 在平面向量的学习中，我们以平面直角坐标系中与轴 、轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了平面直角坐标系中的向量与点之间的一一对应关系，从而引入向量的坐标概念，并建立了向量运算的坐标表示，实现了把向量运算化归为数的运算的目标.本章我们学习了空间向量及其运算、空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，下面我们类比平面向量的坐标表示，学习空间向量的坐标表示. 问题1：我们是如何建立平面向量的坐标表示的?你能类比平面直角坐标系与平面向量单位正交基的关系，你能利用空间向量单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗? 选取单位正交基底单位向量的大小、方向与轴 、轴的单位长度、方向保持一致；平面内的任一向量,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 、,使得;这样平面内的任一向量可以由有序实数对唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作. 类似地,在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点, 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分. 画空间直角坐标系时,一般使(或),. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 问题2：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的坚坐标. 追问：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 思考：在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 事实上,如图1.3-5,过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和.可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,,,=++,设点和在轴、轴、轴上的坐标分别是、和,那么点(向量)的坐标为. 问题3：有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗?请同学们类比平面向量运算的坐标表示研究空间向量运算的坐标表示，独立完成下列表格，并进行小组交流. 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 线性运算 加法 减法 数乘 数量积运算 向量在判断平行，垂直及长度夹角中的应用 平行关系 垂直关系 模长运算 夹角运算 两点间距离 ， 则 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，C，，四点坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 解：（1）点在z轴上，且，所以． 所以点的坐标是．同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 方法规律： 1.在空间中根据点的坐标确定点的位置的方法 根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. 2.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的特性. 3.求点的坐标的方法 一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正号或负号),确定第三个坐标. 变式训练： 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1）因为，，， 所以 （2）因为， ， 例2.如图1.3-8，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：． 分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积运算即可． 证明：不妨设正方体棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则 ，， 所以． 又，， 所以． 所以． 所以，即． 例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果． 解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点A的坐标为，点M的坐标为． 于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以． 所以 所以，与所成角的余弦值是． . 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间中的对称性问题 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 解:(1)因为点关于轴对称后,它在轴对应的数不变,在轴、轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为 (2)因为点关于平面对称后,它在轴、轴对应的数不变,在轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为. (3)设对称点的坐标为,则为线段的中点, 所以 所以点的坐标为 规律小结：求空间对称点的方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论. 变式训练： 1.设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 【答案】（1），（2），（3），（4）. 【详解】若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 （1）与点M关于轴对称的点为 （2）与点M关于y轴对称的点为 （3）与点M关于z轴对称的点为 （4）与点M关于原点对称的点为 题型二：空间向量的坐标运算 2.已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或. 【详解】解：（1）点，，， ∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）， ， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得， 解得或； （3）向量， ， 由向量与平行，则 ， 解得或. 小结：1.空间向量坐标运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加法、减法、数量积和数乘等运算的坐标公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆. 2. 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． (4)由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可． 变式训练： 2. (1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (1)D因为空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)， 若a∥b，则＝＝＝，所以λ＝2， 故选D. (2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． (2)[解]如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以点P的坐标为. 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 因为PQ⊥AE，所以·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0，解得b＝， 所以点Q的坐标为， 因为＝λ，所以＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)我们是如何利用空间单位正交基底构建空间直角坐标系的? (2)在空间直角坐标系中的点和向量是如何与坐标(有序数组)建立一一对应关系的，两者有怎样的联系? (3)在空间直角坐标系中讨论向量的表示，你对空间向量有了哪些新的认识? (4)回顾研究过程，我们是如何得出空间向量各种运算的坐标表示的? (5)如何用空间向量运算的坐标表示研究相关几何性质? (6)利用空间向量坐标运算解决空间立体几何问题的基本思路是什么? 本节课通过类比平面向量坐标表示的研究路径，利用空间单位正交基底的概念，建立空间直角坐标 系，关键是空间单位正交基底的基向量的大小、方向与空间直角坐标系的单位长度、坐标轴方向一致.利 用空间向量基本定理，对空间直角坐标系中的向量用基向量表示为从而建立了空间 直角坐标系中的点和向量与有序数组的一一对应关系，得到空间中点和向量的坐标表示.在空 间直角坐标系中讨论向量，可以用空间单位正交基底的线性组合表示空间向量的坐标，由此可以实现向量运算的实数化，为后续用空间向量解决立体几何问题奠定基础. 本节课通过类比平面向量运算的坐标表示，应用单位正交基底及向量坐标表示的概念，得出空间向 量运算的坐标表示.通过向量的坐标运算表示空间两向量间平行或垂直的位置关系，空间向量的长度公 式、夹角公式，并推导空间两点间的距离公式的坐标表示，初步体会用空间向量运算的坐标表示解决空间 立体几何问题的基本思路.通过两个例题的解决，进一步体会其中的基本思路和步骤，同时也体会在正方体背景下，用向量法解决立体几何问题的思路的一致性和方法的普适性. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第21页练习第4、5题 教科书第22-23页习题第6、7、8题 巩固作业答案： P21-4.如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长． 【答案】 【详解】因为正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，， 所以， 所以. P21-5.如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． 【答案】 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为，则，，，， ，， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. P22-6求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形． 【答案】见证明 【解析】 【详解】A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）， AB==7， AC==7， BC==7， ∴AB2+AC2=BC2，AB=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形． P22-7. 已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长． 【答案】，，线段AB的中点坐标为，线段AB的长为. 【解析】 【详解】因为，， 所以， 线段AB的中点坐标为， 线段AB的长为 P23-8 如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则 所以, 设CM和所成角为，则, 所以CM和所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$