12.3 一次函数与二元一次方程（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

12.3 一次函数与二元一次方程（3种题型基础练+能力提升练） 题型一：两直线交点与二元一次方程组的解 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若直线与直线相交于点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）既在直线上，又在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级上·安徽·期中）若直线与直线交于y轴上同一点，则 ． 三、解答题 4．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 题型二：图像法解二元一次方程组 一、单选题 1．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）用图象法解二元一次方程组： 4．（22-23八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 题型三：求直线围成的图形面积 1．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若直线平行于直线且过点． (1)求直线的解析式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知直线与，求： (1)这两条直线的交点坐标： (2)这两条直线与轴围成的三角形的面积， 4．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)求的面积； (3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数的图象经过点．    (1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 一．选择题（共11小题） 1．（2023秋•蒙城县期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是　　 A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 2．（2023秋•天长市月考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•颍州区校级期末）若方程组的解所对应的点在一次函数的图象上，则的值是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2022秋•金安区校级期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断不正确的是　　 A．关于的方程的解是 B．关于，的方程组的解是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于的不等式的解集是 5．（2023秋•瑶海区校级期中）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹锐角为，则方程组解为　　 A． B． C． D．无解 7．（2023秋•金安区校级月考）如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 8．（2023春•弋江区期末）函数和的图象相交于点，则关于、的方程组的解为　　 A． B． C． D． 9．（2023春•淮南期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小聪根据图象得到如下结论　　 ①； ②关于，的方程组的解为； ③关于的方程的解为； ④关于的不等式的解集是． 其中结论正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023秋•肥西县期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断正确的是　　 ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 11．（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 12．（2023秋•利辛县校级月考）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如求直线的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则、的值分别为 　　． 13．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 三．解答题（共5小题） 14．（2023秋•潜山市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为 　　；方程组的解为 　　； （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 15．（2023秋•包河区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求、的值； （2）请直接写出方程组的解； （3）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 16．（2023春•凤台县期末）如图，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，相交于点，已知点的横坐标为4． （1）方程组的解是 　　，不等式组的解集是 　　； （2）求直线，与，轴围成的四边形的面积． 17．（2022秋•蚌埠期中）如图，，分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中的面积． 18．（2020秋•庐阳区校级期中）已知：一次函数和． （1）在同一坐标系中，作出这两个函数的图象，并写出交点的坐标； （2）结合图象，直接写出方程组的解； （3）结合图象，直接写出满足时自变量的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 一次函数与二元一次方程（3种题型基础练+能力提升练） 题型一：两直线交点与二元一次方程组的解 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若直线与直线相交于点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了求两直线的交点以及直角坐标系中点的坐标．联立两个一次函数解析式，求得点的坐标，据此即可判断． 【详解】解：联立， 解得， ∴点P的坐标为， ∴点P位于第四象限． 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）既在直线上，又在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求两条直线的交点问题，联立两个函数解析式，求出交点坐标即可． 【详解】解：联立，得：， ∴既在直线上，又在直线上的点是； 故选C． 二、填空题 3．（23-24八年级上·安徽·期中）若直线与直线交于y轴上同一点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是两直线的交点坐标的含义，直线与y轴的交点坐标的含义；本题先求解直线与y轴交点坐标为，再代入即可得到答案，理解交点坐标满足函数解析式是解本题的关键． 【详解】解：当时，， ∴两直线的交点坐标为， 将代入得，，解得， 故答案为：． 三、解答题 4．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求两条直线的交点坐标，观察图象判断自变量取值范围， （1）将点B，C的坐标代入关系式得到方程组，求出方程组的解即可； （2）先求出的关系式，再将两个关系式联立，求出解即可； （3）观察图象直线在直线上方的部分，即可得出自变量的取值范围. 【详解】（1）设的表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所以的表达式为； （2）将代入得，， 所以直线的表达式为. 由方程组得， 解得， 故D点坐标为； （3）由图象可知，在点左侧时，，即时，． 题型二：图像法解二元一次方程组 一、单选题 1．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得． 【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和， ∵直线和相交于点P（2，3）， ∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3）， ∴方程组的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键． 2．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组． 【详解】解：设一次函数的解析式为：． ①直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； ②直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； 因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 二、解答题 3．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）用图象法解二元一次方程组： 【答案】 【分析】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：，即 依题意，方程组的解为直线与直线的交点， 如图所示， ∴的解为． 【点睛】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键． 4．（22-23八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． （2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； （2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键． 题型三：求直线围成的图形面积 1．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）先把C点坐标代入中可求得a的值，然后把C点坐标代入中可求得k的值； （2）先解方程可得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线，与轴围成的三角形面积； （3）结合图象，写出两函数图象在轴上方(含B点)且直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解:把代入得 , 解得： 把代入得， 解得 （2）解：由（1）可得直线的解析式为，直线的解析式为 当时, 解得, 点坐标为 直线与与轴围成的三角形面积为： （3）解：结合图象, 的解集为 【点睛】此题考查了一次函数解析式，函数图像与坐标轴交点问题，直线围成的图形面积问题，解不等式问题，利用数形结合思想是解题关键． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若直线平行于直线且过点． (1)求直线的解析式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由题意可设直线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．分别求出点A与点B的坐标，进而即可求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线平行于直线， ∴可设直线的解析式为． ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 对于，令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴，即直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求直线与坐标轴围成的三角形的面积．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知直线与，求： (1)这两条直线的交点坐标： (2)这两条直线与轴围成的三角形的面积， 【答案】(1)这两条直线的交点坐标； (2) 【分析】本题考查了两直线交点问题，直线与坐标轴交点问题； （1）利用两直线相交的问题，解方程组即可得到两直线的交点坐标； （2）先求出两直线与轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：联立方程组， 解得， ∴这两条直线的交点坐标； （2）解：如图所示，设两直线交点为，与轴交于点，    ∵，当时，，则 ∵过原点，则， 由（1）可得两条直线的交点坐标； ∴两条直线与轴围成的三角形的面积为 4．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)求的面积； (3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，准确计算． （1）联立，解方程组即可； （2）先求出， ，得出，，再根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据，得出 ，根据点C的纵坐标为3，得出点D的纵坐标为6，把代入求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组 得： 所以点C的坐标是． （2）解：对直线 ，当 时，； 当 时，解方程 ,得 ， ∴， ， ∴，， ∴的面积为：． （3）解：若 ，则 ， ∵点C的纵坐标为3， ∴点D的纵坐标为6， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数的图象经过点．    (1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数与坐标轴围成的图形面积： （1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）先求出A、B的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 函数图象如下所示：    （2）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据两直线的交点横纵坐标即为两直线组成的二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据函数图象找到直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出两直线解析式进而求出A、B坐标，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数和的图象交于， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入中得：， ∴， ∴ 把代入中得：， ∴， ∴， 在和中，当时，和， ∴， ∴， ∴． 一．选择题（共11小题） 1．（2023秋•蒙城县期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是　　 A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【分析】由图象交点坐标可得方程组的解，根据图象及点坐标可得不等式和的解，由点坐标可得的值，从而可得直线与轴的交点，从而可得的解集． 【解答】解：由图象可得直线与直线相交于点， 方程的解是， 由图象可得当时，， 和的解都是， 将代入得， 解得， ， 将代入得， 解得， 时，直线在轴下方且在直线上方， 的解集是． 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 选项错误． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系． 2．（2023秋•天长市月考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【解答】解：一次函数与的图象交于点， 关于、的方程组的解是． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．（2023春•颍州区校级期末）若方程组的解所对应的点在一次函数的图象上，则的值是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】通过解方程组方程组的解所对应的点的坐标，然后将其代入一次函数的解析式，通过解方程可以求得的值． 【解答】解：方程值整理得， 由②①，得， 将代入①，解得； 方程组的解所对应的点是， 又点在一次函数的图象上， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组．图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 4．（2022秋•金安区校级期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断不正确的是　　 A．关于的方程的解是 B．关于，的方程组的解是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于的不等式的解集是 【分析】根据题意，结合图象对各选项进行判断即可． 【解答】解：一次函数，是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， 关于的方程的解是，选项判断正确，不符合题意； 关于，的方程组的解是，选项判断正确，不符合题意； 关于的不等式，化为不等式：， 当时，函数的值比函数的值大，选项判断正确，不符合题意； 关于的不等式的解集是，选项判断错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 5．（2023秋•瑶海区校级期中）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：把代入得， ， 解得， 所以点坐标为， 所以关于，的二元一次方程组的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 6．（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹锐角为，则方程组解为　　 A． B． C． D．无解 【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【解答】解：根据题意，将代入直线， 得， 直线与交点坐标为， 与轴的所夹锐角为， ， 代入得，， 直线为， 由可知，与直线平行， 方程组无解， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． 7．（2023秋•金安区校级月考）如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：直线和直线相交于点， 方程组的解是：， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 8．（2023春•弋江区期末）函数和的图象相交于点，则关于、的方程组的解为　　 A． B． C． D． 【分析】根据方程组的解就是交点坐标写出即可． 【解答】解：函数和的图象相交于点， 关于、的方程组的解为， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9．（2023春•淮南期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小聪根据图象得到如下结论　　 ①； ②关于，的方程组的解为； ③关于的方程的解为； ④关于的不等式的解集是． 其中结论正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答． 【解答】解：由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，，即， 故①正确； 由图象可知：一次函数与的图象相交点， 关于，的方程组的解为， 故②错误； 由图象可知：一次函数与的图象相交点， 关于的方程的解为， 故③正确； 由图象可知：一次函数图象不在的图象上方的时， 故④错误； 正确的有2个； 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 10．（2023秋•肥西县期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断正确的是　　 ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④． 【解答】解：两直线相交于点， 方程的解是， 方程组的解是：， 故①②正确； 当时，直线在直线的下方， 当时，，整理得：，故③错误； 当时，直线在直线的上方， 当时，函数的值比函数的值大，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法， 11．（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：当时，， 解得，则点的坐标为， 所以关于，的二元一次方程组中的解为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 二．填空题（共2小题） 12．（2023秋•利辛县校级月考）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如求直线的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则、的值分别为 　，　． 【分析】由定义可知一次函数的“不动点”为，再将点代入即可求的值， 【解答】解：一次函数的“不动点”为， ， ， “不动点”为， ， 解得； 故答案为：，． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 13．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 【分析】首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 三．解答题（共5小题） 14．（2023秋•潜山市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为 　　；方程组的解为 　　； （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法，将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中求解，即可得到答案； （2）利用图象法即可解不等式和方程组； （3）由（1）可知直线的表达式为，直线的表达式为，分别求出、两点坐标，进而求得，设点的坐标为，根据，得到，求出的值，即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中， 得：， 解得； （2）由图象可知，一次函数的图象在一次函数的图象上方的部分，为不等式解集，与的交点为方程组的解， 一次函数与交于点 不等式的解集为，方程组的解为， 故答案为：，； （3）由（1）可知直线的表达式为，直线的表达式为， 当时，， 解得， ， ， 当时，， 解得， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， ， 解得：或， 当时，；当时，， 点的坐标为或． 【点评】本题时一次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 15．（2023秋•包河区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求、的值； （2）请直接写出方程组的解； （3）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【分析】（1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值； （2）几何函数图象，写出直线在直线组成方程组的解； （3）解方程得到，设点坐标为，求得．根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）当时，， 点坐标为． 直线经过和， 则， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）方程组 的解是； （3）当时，即， ， 设点坐标为， ． ， ， 解得：， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 16．（2023春•凤台县期末）如图，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，相交于点，已知点的横坐标为4． （1）方程组的解是 　　，不等式组的解集是 　　； （2）求直线，与，轴围成的四边形的面积． 【分析】（1）先分别求出，的解析式，再根据一次函数与方程组和不等式组的关系求解； （2）根据割补法求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ， 当时，， ， ， 解得：， 当时，， 解得：， ， 由图象得：方程组的解是：， 不等式组的解集是：； 故答案为：，； （2）由（1）得：． ． 【点评】本题考查了一次函数与方程组、不等式组的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 17．（2022秋•蚌埠期中）如图，，分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中的面积． 【分析】（1）由图可得两函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法可求出它们的函数解析式； （2）联立两个一次函数的解析式，所得方程组的解即为点坐标． （3）中，以为底，点横坐标的绝对值为高，可求出的面积． 【解答】解：（1）设直线的解析式是，已知经过点，， 可得：，解得， 则函数的解析式是； 同理可得的解析式是：． （2）点的坐标可看作是二元一次方程组的解． （3）易知：，，，； ． 【点评】本题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点、图形面积的求法等知识，综合性较强，难度适中． 18．（2020秋•庐阳区校级期中）已知：一次函数和． （1）在同一坐标系中，作出这两个函数的图象，并写出交点的坐标； （2）结合图象，直接写出方程组的解； （3）结合图象，直接写出满足时自变量的取值范围． 【分析】（1）根据函数图象的作法作出这两个函数的图象，并写出交点的坐标； （2）根据交点的坐标即可得到结论； （3）根据图象的两个交点，当一次函数位于图象上时求的取值范围． 【解答】解：（1）如图所示：交点的坐标为； （2）方程组的解为； （3）满足时自变量的取值范围是． 【点评】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系．数形结合思想的运用是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$