浙江省宁波市2024年九年级上学期暑假夏季竞赛数学试卷

2024 暑假宁波九年级数学夏季竞赛 姓名：___ 准考证号：___ 本试卷共 4 页, 14 小题, 满分 100 分, 考试用时 90 分钟。全卷分为选择题部分和非选择题部分。选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页。 选择题部分 (32 分) 一、选择题 I: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 如图,在矩形 中,点 分别是边 和对角线 上的点, 满足 ,若 ,则 A. B. C. D. 2. 有两条中线长分别为 3 和 6 的三角形面积的最大值为 A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 3. 除以 7 的余数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4. 关于 的方程 的正整数解的组数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 二、选择题 II: 本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 5. 一张 A4 规格的复印纸 (下简称 A4 纸) 是长为 ,宽为 的矩形. 如图,现有一张矩形纸片 ,且 ,则下列说法中正确的有 A. 在 上取一点 ,将 沿着 翻折使点 的对应点 恰好在 上,复原后,使用量角器测量 ,若 ,则其为 纸 B. 对折纸片使 与 重合,折痕为 ( 在 上),复原后,用量角器测量 和 ,若 ,则其为 A4 纸 C. 在 上取一点 ,将 沿着 翻折使点 的对应点 恰好在 上,若 , 在同一条直线上,则其为 纸 D. 对折纸片使 与 重合,折痕为 ( 在 上),将 沿着 翻折,若点 的对应点 恰好在对角线 上,则其为 纸 6. 在平面直角坐标系中,已知 为反比例函数 图象上的动点且不与 重合,以 为斜边作等腰直角 ,设直线 的解析式为 ,则 A. 当点 也在反比例函数图象上时, 的所有取值之积为 1 B. 当点 也在反比例函数图象上时, 的所有取值之和为 C. 点 的轨迹是轴对称图形 D. 当点 在第四象限时, 与点 的距离最小值为 非选择题部分 (68 分) 三、填空题: 本题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。 7. 已知不相等的两实数 满足 ,则 8. 如图, 的外接圆 与内切圆 的半径之比为 4:1,若 ,则 ___. 第 8 题图 第 10 题图 9. （阶乘 ! 表示 ,结果用数的阶乘表示） 10. 如图, 是四边形 对角线的交点, , ,则 ___. 11. 同时满足下列三个条件的正四位数的个数为___. ①任意相邻的两个数位的差的绝对值不为 2 ; ②能被 2 整除; ③各个位数仅由 构成. 四、解演算步骤答题: 本题共 3 小题, 共 43 分。使用非初中知识解答的, 该小问酌情扣分。 12. (13 分) 已知函数 . (1) 若 ,求 的最小值; (2) 当 时,有 恒成立,求 的取值范围. 13. (15 分)如图, 和 中 是直角顶点, 在边 上, , ,点 在 的垂直平分线上. （1）如图 1,若 ,求 ; （2）如图 2,求证: . 14. (15 分) （1）设关于 的方程 的三个解为 . (i) 将方程转化为“ ”的形式: (ii) (+)(+)(+)= （2）已知函数 与 的图象有三个不同的交点 , 的中点为 ,若 为定值,求 ; （3）对任意有 4 个不同实根的方程 都有 恒成立,求 的最小值. 数学参考答案和评分标准 一、选择题 I: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. C 2. B 3. A 4. B 解析: 1. 由题意得 ,则 ,故 是线段 的一个黄金分割点 2. 两中线垂直取到最值。 3. 方法一、因为 1001 能被 7 整除, 因此任何 abcabc0000……式的数字均能被 7 整除; 即, 任何 ABCABCDEFDEFGHIGHI……式的数字均能被 7 整除 方法二、 2 除以 7 的余数为 2 22 除以 7 的余数为 1 222 除以 7 的余数为 5 2222 除以 7 的余数为 3 22222 除以 7 的余数为 4 222222 除以 7 的余数为 0 2222222 除以 7 的余数为 由规律得, 原数余数为 0 . 4. 整理得 因此 ,经验证,只有 符合条件 二、选择题 II: 本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分。评分标准如下表: 选项数 分档 详细 2 3 选错不选 0 分, 选对 1 个给 3 分, 选对 2 个给 6 分 3 4 选错不选 0 分, 选对 1 个给 2 分, 选对 2 个给 4 分, 选对 3 个给 6 分 5. ABD 6. ACD 解析: 5. A 选项导角分析即可, 选项通过矩形的相似得出, 选项得出的长宽是黄金比, 选项结合相似、射影定理判断垂直. 6. A B 根据一线三等角得到、 瓜豆原理. 通过计算得到 三、填空题: 本题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。 除了括号内的等效答案外, 别的答案一律不给分! 7. -1 8. (0.2) 9. 10. 11. 116 解析: 7. 构造函数 ,令 ,则由韦达定理 , 8. 取弧 中点 与 的交点为 ,取圆 的切点为 . 不妨设 . 第一步: 翻译条件 由题意得 ,故 . 第二步: 确定图形 由 得到 共圆, 得 ,在 中得 . 第三步: 求值 同理, . 故 . 9. 考查变形能力 10. 过 作 的垂线交 于 于 垂直 于 ,则 可知点 到 的距离都是是 的 2 倍,故 , 所以 是 的平分线,故 , 故 ,在 中解得 11. 考虑列表,第 行第 列表示以 结尾的符合条件的 位数的数量每次向下填写时, 将上一行除了差值为 2 的数都相加填入 结果为 116 结尾为 1 结尾为 2 结尾为 3 结尾为 4 结尾为 5 一位 1 1 1 1 1 两位 4 4 3 4 4 三位 16 15 11 15 16 四位 62 58 41 68 62 四、解演算步骤答题: 本题共 3 小题, 共 43 分。 12. (1) (5 分) ① 当 时, 分,此处过程可以略写,但是必须要有 讨论的痕迹! ② 当 时, 分,写出能体现最小值 就给分。 所以 时取最小值 分。 上面没有突出取等条件 的,就算答案对也扣 1 分! 12. (2) (8 分) ① 当 时, , 时, 时, ,有求点的思想给 1 分。 结合图像得 ,解得 . 式子 1 分,结果 1 分。 ②当 时,同理得 .同上,3 分。 ③ 当 时, 时, ,显然不成立. 有说明不成立就给 1 分。 综上, 或 . 下结论 1 分。 答案如果对, 且过程思想对就给全分。 13. (1) (6 分) 由题意得 ,得 ,故 . 垂直判定 2 分 作 于 ,则 . 线段长度 2 分 结果 2 分 13. (2) (9 分) 9 分 有运用勾股定理的解题思想就给 3 分。 如果证明 是 的圆心,要说明 和 相似给 3 分,证明出圆心给 3 分, 得出结论得 3 分 14. （1）(i) (ii) 6; 27 （2）K=6 （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$