第3节 单摆-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理选择性必修1同步导学案配套PPT课件（鲁科版）

第3节　单摆 第2章　机械振动   [学习目标]　1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.理解影响单摆周期的因素,能熟练应用单摆周期公式解决问题(重难点)。 课时作业 巩固提升 要点1　单摆的振动 要点2　单摆的周期 要点3　单摆中的图像问题 内容索引 要点1　单摆的振动 一 4 梳理 必备知识 自主学习 1.单摆模型 把一根不能伸长的细线上端固定,下端拴一个小球,线的　　　　和球的　　　　可忽略不计,这种装置称为单摆。  2.理想化模型 (1)细线的质量与小球相比　　　　　　。  (2)小球的直径与线的长度相比　　　　　　。  (3)细线不可伸长。 质量　 大小 可以忽略 可以忽略 3.单摆的回复力 (1)回复力的来源:摆球的重力沿圆弧切线方向的　　　　。  (2)回复力的特点:在摆角很小时(通常θ<5°),单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成　　　,方向总指向平衡位置,即F=-x。  (3)运动规律:在摆角很小的情况下,单摆的振动可近似视为　　　　　　。  分力 正比 简谐运动 [思考与讨论]如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角,然后释放,小球在A、A'间来回摆动,不计空气的阻力。 (1)小球摆动过程中受到哪些力的作用? 提示:(1)小球受重力和细线的拉力作用。 (2)什么力提供向心力?什么力提供回复力? 提示: (2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿圆弧切线方向的分力提供小球振动的回复力。 (3)摆球经过平衡位置O点时回复力为零,合外力是否为零?摆球到达最大位移处,v=0,加速度是否等于0? 提示: (3)单摆摆动中,摆球在平衡位置时不是平衡状态,有向心力和向心加速度,回复力为零,合外力不为零。在最大位移处,摆球速度等于零,但不是平衡状态,所以加速度不等于零。 1.单摆做简谐运动的推证 在摆角很小时,sin θ≈,又回复力F=-mgsin θ,所以单摆的回复力为F=-x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移,l表示单摆的摆长,负号表示回复力F与位移x的方向相反),由此知回复力符合F=-kx,单摆做简谐运动。 归纳 关键能力 合作探究 2.运动规律 单摆的运动既包含圆周运动,又包含简谐运动(摆角很小的情况下)。 (1)单摆振动的平衡位置:回复力为零,而合力不为零,此时合力提供摆球做圆周运动所需的向心力。 (2)单摆振动的最大位移处:向心力为零,而合力不为零,此时合力提供摆球振动的回复力。 [例1]　(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是(　　) A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩 C.摆球的直径比摆线长度小得多 D.只要是单摆的运动就是简谐运动 ABC 单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩,摆球直径远小于摆线长度,A、B、C项正确;把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的,只有在偏角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动,D项错误。 [例2]　图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中(　　) A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在A点和C点处,速度为零,回复力也为零 C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大 D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大 C 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用,A错误;摆球在摆动过程中,在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,在最低点B处,速度最大,回复力为零,细线的拉力最大,C正确,B、D错误。 方法总结 对于单摆的两点说明 1.所谓平衡位置,是指摆球静止时,摆线拉力与小球所受重力平衡的位置,并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上,在摆动过程中,摆球受力不可能平衡。 2.回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ提供的,不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。 [针对训练]　1.单摆做小角度摆动,其振动图像如图所示。以下说法正确的是(　　) A.t1时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大 B.t2时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小 D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大 D 由题图知t1时刻摆球处在最大位移处,速度为零,回复力最大,悬线拉力最小,故A错误;t2时刻摆球处在平衡位置,其速度最大,回复力为零,悬线拉力最大,故B错误;t3时刻摆球在最大位移处,速度为零,回复力最大,悬线拉力最小,故C错误;t4时刻摆球在平衡位置处,速度最大,回复力为零,但摆球有竖直向上的加速度,处于超重状态,悬线对它的拉力最大,故D正确。 二 要点2　单摆的周期 19 1.周期与其影响因素之间的关系:单摆的振动周期T与摆长l的算术平方根成　　　　,与重力加速度g的算术平方根成　　　　。  2.周期公式:T=2π。 3.发现:单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 4.特点:单摆周期与　　　　及摆球　　　　皆无关。  梳理 必备知识 自主学习 正比　 反比 振幅　 质量 5.应用 (1)制成摆钟用来计量时间。 (2)测量当地的　　　　　　　。  重力加速度 [思考与讨论] 如图甲所示的摆钟是一种时钟,由荷兰物理学家惠 更斯于1656年发明。简单地说,摆钟是根据单摆的 周期规律制造的,用摆锤控制其他机件,使钟走得快 慢均匀。钟摆是靠重力势能和动能相互转化来摆 动的,但由于阻力存在,摆动会逐渐减小,最后停止。 所以要用发条来提供能量使其摆动。如图乙所示, 旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。 请思考: (1)摆针走时偏快应如何校准? 提示:(1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。 (2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京,摆钟应如何校准? 提示: (2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。 1.单摆周期公式的成立条件:单摆偏角很小(偏角小于5°)。 2.影响单摆周期的因素:周期T只与l和g有关,与摆球质量m及振幅无关,所以单摆的周期也叫固有周期。 归纳 关键能力 合作探究 3.对单摆周期公式T=2π中l和g的理解 (1)公式中l是摆长,即悬点到摆球球心的距离。 ①普通单摆,摆长l=l'+,l'为摆线长,D为摆球直径。 ②等效摆长:图(a)中,甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的,甲摆的等效摆长为lsin α,其周期T=2π。图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,其等效摆长等于甲摆的摆长;乙在纸面内小角度摆动时,等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)公式中g是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的空间位置决定。 [例3]　周期是2 s的单摆叫秒摆,秒摆的摆长是多少?把一个地球上的秒摆拿到月球上去,它在月球上做50次全振动要用多长时间?已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2,月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2,π2取9.8。 [答案]　1 m　175 s 根据单摆周期公式T=2π 解得l= m=1 m 秒摆搬到月球上,其与地球上的秒摆的周期关系为 它在月球上做50次全振动所用的时间为 t=50T'=50T s。 [例4]　如图所示,三根细线在O点处打结,A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上,使三角形AOB成直角三角形,∠BAO=30°,已知OC线长为L,下端C点系着一个小球,则下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A.让小球在纸面内小角度摆动,周期T=2π B.让小球在垂直纸面方向小角度摆动,周期T=2π C.让小球在纸面内小角度摆动,周期T=2π D.让小球在垂直纸面方向小角度摆动,周期T=2π A 让小球在纸面内摆动,在摆角很小时,单摆以O点为圆心摆动,摆长为L,周期为T=2π;让小球在垂直纸面方向摆动,在摆角很小时,摆球以CO的延长线与AB的交点为圆心摆动,摆长为L+Lcos 30°·sin 30°=L+L,周期为T'=2π。故A正确。 [针对训练]　2.如图所示,MN为半径较大的光滑圆弧的一部分,把小球甲放在MN的圆心处,再把另一个小球乙放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)。今使两小球同时由静止释放,不计空气阻力,则(　　) A.球甲先到达C点 B.球乙先到达C点 C.两球同时到达C点 D.无法确定哪个球先到达C点 A 球甲做自由落体运动,到达C点的时间为t甲= 当弧BC所对的圆心角小于5°时,球乙在圆弧的支持力N和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似),它的振动周期为T=2π 因此球乙运动到C点所需的时间是t乙= 故t甲<t乙,显然球甲先到达C点,故选A。 三 要点3　单摆中的图像问题 33 1.单摆在摆角小于5°时做简谐运动,其位移—时间图像是正弦或余弦曲线。 2.由单摆的振动图像可知单摆周期。 3.单摆在摆动过程中,其位移、速度、加速度及Ek、Ep相对于平衡位置具有对称性。 4.单摆摆动具有周期性特点。 [例5]　(多选)一单摆的摆动角度小于5°,其振动图像如图所示 ,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.t1、t2时刻摆球加速度相同 B.t=0.8 s时摆球的速度为零 C.单摆的振动周期为0.8 s D.单摆的摆长约为65 cm AD t1、t2时刻摆球的位移相同,则回复力相同,则加速度相同,故A正确;t=0.8 s时摆球处于平衡位置,速度最大,故B错误;由题图知,单摆的振动周期为1.6 s,故C错误;根据T=2π,解得L≈65 cm,故D正确。 [针对训练]　3.甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振动图像可以判定(　　) A.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3 C.若甲、乙两单摆在同一地点摆动, 则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 D.若甲、乙两单摆摆长相同,在不同地点摆动,则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4 D 根据图像可知,甲和乙的周期之比为T甲∶T乙=2∶3, A错误;因为f=,所以甲、乙的频率之比为f甲∶f乙= 3∶2,B错误;根据单摆的周期公式可知T=2π,同 一地点,重力加速度相同,则甲、乙的摆长之比为4∶9,C错误;摆长相同,重力加速度和周期的平方成反比,即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4,D正确。 四 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.关于单摆,下列说法正确的是(　　) A.一根线系着一个球悬挂起来,这样的装置就是单摆 B.可以看成单摆的装置,细线的伸缩和质量忽略不计,线长比小球直径大得多 C.单摆的振动总是简谐运动 D.两个单摆只要结构相同,它们的振动步调便相同 B 单摆是实际摆的理想化模型,实际摆只有在不计细线的伸缩、质量和阻力以及小球可以看成质点时才能看成单摆,选项A错误,B正确;单摆的运动只有在摆角很小时才能看成简谐运动,选项C错误;两单摆结构相同时,振动步调不一定相同,选项D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2.一单摆做简谐运动,在偏角增大的过程中,摆球的(　　) A.位移增大　　　　　　　　 B.速度增大 C.回复力减小 D.机械能增加 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A 在简谐运动中,以平衡位置为位移的起点,在偏角增大的过程中,位移增大,选项A正确;离平衡位置越远,速度越小,因此在偏角增大的过程中,速度减小,选项B错误;离平衡位置越远,回复力越大,因此在偏角增大的过程中,回复力增大,选项C错误;单摆做简谐运动过程中,机械能守恒,无论偏角增大还是减小,机械能保持不变,选项D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3.用空心铁球内部装满水做摆球,若球正下方有一小孔,水不断从孔中流出,从球内装满水到水流完为止的过程中,其振动周期的大小是(　　) A.不变 B.变大 C.先变大后变小再回到原值 D.先变小后变大再回到原值 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 C 单摆的周期与摆球的质量无关,但当水从球中向外流出时,等效摆长先变长后变短再恢复原值,因而周期先变大后变小再回到原值,故选项C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4.将单摆的周期由2 s变为4 s,下面措施正确的是(　　) A.只将摆球质量变为原来的 B.只将振幅变为原来的2倍 C.只将摆长变为原来的4倍 D.只将摆长变为原来的16倍 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 C 单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,故A、B错;对周期为2 s的单摆,T0=2π=2 s,对周期为4 s的单摆,T=2π=4 s,故l=4l0,故C对,D错。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5.一单摆做简谐振动,如图为摆绳对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像,则该单摆的摆长为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)   A.0.4 m B.1.6 m C.4 m D.16 m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 因为一个周期内摆球两次经过平衡位置,经过平衡位置时拉力最大,所以单摆的周期为0.8π s,由T=2π得,该单摆的摆长为l= m=1.6 m,故A、C、D错误,B正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6.如图甲所示是演示简谐运动图像的装置,它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时,漏斗中的细沙均匀流出,同时匀速拉出沙漏正下方的木板,漏出的细沙在板上会形成一条曲线,这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线(图中的虚线),已知P、Q是木板1上的两点,木板1、2的移动速度分别为v1、v2,则(　　) A.P处堆积的细沙与Q处一样多 B.P处堆积的细沙比Q处少 C.v1∶v2=3∶4 D.v1∶v2=4∶3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 C 沙漏摆动时在最大位移处速度为零,在平衡位置处速度最大,所以P处堆积的细沙比Q处多,故A、B错误;木板做匀速运动,设沙漏振动周期为T,则v1×2T=v2×T,解得,故C正确,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 7.如图所示,光滑圆弧轨道的半径为R,圆弧底部中点为O,质量分别为m1和m2的小球A和B大小可忽略,A在离O点很近的轨道上某点,B在O点正上方h处,现同时释放两球,使两球在小球A第三次通过O点时恰好相碰,则h应为(　　) A.π2R C.π2R 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 由题意得,可将A球的运动等效为摆长为R的单摆,其周期为T=2π,A第三次通过O点用时t=,B做自由落体运动,下降高度h用时t,故h=π2R,故B正确,A、C、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8.一个单摆,在第一个行星上的周期为T1,在第二个行星上的周期为T2,若这两个行星的质量之比为M1∶M2=4∶1,半径之比为R1∶R2=2∶1,则周期之比为(　　) A.T1∶T2=1∶1 B.T1∶T2=4∶1 C.T1∶T2=2∶1 D.T1∶T2=1∶2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A 由g==1,而T=2π,则T1∶T2=1∶1,故选项A正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9.某同学在家偶然发现一根不可伸长的细线垂到窗沿,他想利用单摆原理粗测细线的总长度。先在线的下端系上一个小球,当小球静止时,细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直,球在最低点B时,球心到窗上沿的距离为1 m。他打开窗户,让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动,如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时,到第31次通过B点共用时60 s,g取10 m/s2。根据以上数据可知细线的长度约为(　　) A.8 m B.9 m C.10 m D.20 m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 设细线的长度为L,球心到窗上沿的距离为d,由题意可知,该单摆振动周期为T==4 s,由单摆的周期公式可得T=π+π,代入数据解得L≈9 m,故细线的长度约为9 m,故选B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10.如图所示是同一实验室中甲、乙两个单摆做简谐运动的图像。下列说法中正确的是(　　)   A.t=1 s时,甲摆的重力势能最小, 动能最大 B.t=2 s时,甲摆的重力势能最小,乙摆的动能为零 C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D.甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 设甲摆在平衡位置时所处位置为零势能面,t=1 s 时,由题图可知,甲摆在振动的最大位移处,此时甲 摆的速度为零,即此时动能为零,离平衡位置(零势 能面)最远,根据Ep=mgh可知,此时甲摆的重力势能 最大,A错误。对甲摆,设甲摆在平衡位置时所处位置为零势能面,由题图可知,t=2 s时甲摆在平衡位置处,即此时甲摆的重力势能为零,最小;对乙摆,设乙摆在平衡位置时所处位置为零势能面,由题图可知,t=2 s时乙摆在振动的最大位移处,此时乙摆的速度为零,动能为零,B正确。由题图可知, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 甲摆的周期为4 s,乙摆的周期为8 s,由单摆的 周期公式T=2π,整理得,C错误。 因为摆球摆动的最大偏角未知,两摆球到达最 低点时的速度未知,根据公式a向=可知,两者在最低点的向心加速度大小关系无法判断,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11.图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答:   (1)单摆振动的频率是多大? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 答案:(1)1.25 Hz (1)由题图乙知周期T=0.8 s 则频率f==1.25 Hz。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)在t=0时刻摆球在何位置? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 答案:　(2)B点 (2)由题图乙知,t=0时刻摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以开始时刻摆球在B点。 (3)若当地的重力加速度为10 m/s2,试求这个单摆的摆长是多少。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 答案:　(3)0.16 m (3)由T=2π≈0.16 m。 [C组　培优选做练] 12.某学校的兴趣小组在实验室做单摆振动实验。如图甲所示为单摆在B、C两点间振动的情形,O点是平衡位置,图乙是这个单摆的振动图像,单摆振动的周期为T0,取摆球向右运动的方向为正方向,学校所在地的重力加速度为9.801 m/s2。若将此单摆移至悬停在某一高度的热气球载人舱中,做摆角小于5°的振动,测得周期为T,已知地球半径为R。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)求此单摆的摆长(结果保留两位有效数字); 答案:(1)0.16 m　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)由单摆的振动图像有T0=0.8 s 根据单摆周期公式得T0=2π,可得L=≈0.16 m。 (2)求该热气球此时离海平面的高度(均用题中物理量的符号表示)。 答案: (2)(-1)R 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)根据单摆的周期公式得T0=2π 其中L是单摆的摆长,g0和g分别是两地点的重力加速度,根据万有引力定律可得 g0=G,g=G 由以上各式联立解得h=(-1)R。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$