精品解析：安徽省六安市2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

安徽省六安市2023-2024年度沪科版数学九年级上学期综合测试卷 一．选择题（共40分） 1. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列比例式成立的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(　　) A. 第3.3秒 B. 第4.3秒 C. 第5.2秒 D. 第4.5秒 6. 已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是延长线BC上一点，连接FD交AC与点G，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点E在上，且，交对角线于点F，若，则为（　　） A. 4 B. 6 C. 9 D. 9. 中，，的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二．填空题（共20分） 11. 已知线段，点P是它的黄金分割点，则的长为______． 12. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________． 13. 如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为___________． 14. 如图，在菱形中，，M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处 （1）若，则__________； （2）若，则___________ 三．解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分） 15. 计算：． 16. 已知，其中与成正比例，与成正比例，且当时，，当时，． （1）求与的函数关系式； （2）求出该函数与坐标轴的交点坐标． 17. 如图，在中，，，． （1）求的长． （2）若点D在边上，且，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝的斜坡步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为，建筑物底端E的俯角为．若为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度米，则此建筑物的高度，（结果保留根号）（，，） 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2 （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 22. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 23. 已知，如图中，是中线，点E是上一点，与交于点F，． （1）在图中与相等的角有__________和__________； （2）在图中找出与线段相等的线段并证明； （3）若，且，求的值．（用含k的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省六安市2023-2024年度沪科版数学九年级上学期综合测试卷 一．选择题（共40分） 1. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入，求出k的值，再根据对各项进行逐一检验即可． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； ∴只有点在反比例函数图象上． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上． 2. 已知，则下列比例式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项，熟记比例的性质是解题的关键．． 【详解】解：依题意得： ， 故选D． 3. 如图，在中，，，，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值．掌握正切的定义是解题关键． 先利用勾股定理求，然后直接利用正切的定义求解． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， 故选：C． 4. 河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答． 5. 一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(　　) A. 第3.3秒 B. 第4.3秒 C. 第5.2秒 D. 第4.5秒 【答案】D 【解析】 【分析】由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可求得抛物线的对称轴，即对称轴对应炮弹的最高点． 【详解】∵ 炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等， ∴ 抛物线的对称轴方程为x＝4.5， .∴ 当第4.5秒时，炮弹的高度最高， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解答的关键． 6. 已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是延长线BC上一点，连接FD交AC与点G，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由DE∥BC，DH∥AC可得四边形DHCE是平行四边形，可得DE=CH，DH=CE，根据平行线分线段成比例定理对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】∵DE∥BC，DH∥AC， ∴四边形DHCE是平行四边形， ∴DE=CH，DH=CE， ∵DE//BC， ∴，故A选项正确， ∵DE//BF， ∴，故B选项错误， ∵DE//BF， ∴，故C选项正确， ∵DE//BC， ∴，故D选项正确， 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例；平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例．正确找出对应线段是解题关键． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：C． 8. 如图，在中，点E在上，且，交对角线于点F，若，则为（　　） A. 4 B. 6 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了平行四边形的性质，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 9. 中，，的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于F，过点C作CH⊥AB于H，设BC=6x，AB=7x，由，得到∠MDN=∠MND，根据BD平分，推出∠CDB=∠MND，证得得到，求出BG=GH，证明△BCD≌△BFD，得到BF=BC=6x，由勾股定理求出AC、BH，得到BG、FG的长，由此得到答案． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于F，过点C作CH⊥AB于H， ∵，， ∴， 设BC=6x，AB=7x， ∵E是BC中点， ∴BE=CE． ∵， ∴∠MDN=∠MND． ∵BD平分，∠DFB=， ∴∠FDB=∠CDB， ∴∠CDB=∠MND， ∴ ∴ ∴，即BG=GH． ∵∠DFB=，∠FDB=∠CDB，BD=BD， ∴△BCD≌△BFD， ∴BF=BC=6x． 在中，，BC=6x，AB=7x， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵． ∴=． 故选：A． 【点睛】此题考查了利用锐角三角函数求边长，全等三角形的判定及性质，勾股定理，角平分线的性质定理，平行线分线段成比例，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键． 10. 已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设抛物线的表达式为：，把代入，即可求得抛物线的表达式，再由不等式得，联立和并解得，根据函数图象即可求得． 【详解】解：设抛物线的表达式为：， 由题意知，当时，，解得：， 故抛物线的表达式为：， 将不等式整理为：， 联立和并解得：， 故时，函数在之上，即， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式((组))和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解． 二．填空题（共20分） 11. 已知线段，点P是它的黄金分割点，则的长为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， 当时， ， 当时， ， 故答案为：1或． 12. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值． 【详解】解：如图所示，过作，交于， 则，即：，， ，即：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13. 如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由，的面积为3，得到的面积为1，则的面积为4，设点坐标为，则，，，，利用得，整理可得，即可得到的值． 【详解】解：连，如图， ，的面积为3， 的面积为1， 的面积为4， 设点坐标为，则，， 而点为的中点， ， ， ， ， 把代入双曲线， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是关键． 14. 如图，在菱形中，，M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处 （1）若，则__________； （2）若，则___________ 【答案】 ①. ##40度 ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得：，再由，可得，即可求解； （2）根据折叠的性质得：，，可得，先证明是等边三角形，可得，可得到，可证得，即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）根据折叠的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的折叠，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的折叠，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 三．解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分） 15. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键． 16. 已知，其中与成正比例，与成正比例，且当时，，当时，． （1）求与的函数关系式； （2）求出该函数与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和． 【解析】 【分析】（1）由题意可设，，即得出，再根据当时，，当时，，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）所求函数关系式，分别令，求出y的值，即得出该函数与轴交点坐标；令，求出x的值，即得出该函数与轴交点坐标． 【小问1详解】 根据题意可设，， 则． ∵当时，，当时，， ∴， 解得：，， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 对于， 令，则 ∴该函数与轴交点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴该函数与轴交点坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，解一元二次方程．熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 17. 如图，在中，，，． （1）求的长． （2）若点D在边上，且，求的值． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正弦，正切，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． （1）如图1，过A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根据，计算求解即可． （2）如图2，过D作于H．由题意知，，，在中，由，设，则，由勾股定理得，，由，解得，则，，由（1）知，，则，在中，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过A作于E． 在中， ∵，，解得， 由勾股定理得，． 在中， ∵，解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过D作于H． ∵，， ∴，， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 又∵， 解得， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴的值为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 19. 某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝的斜坡步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为，建筑物底端E的俯角为．若为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度米，则此建筑物的高度，（结果保留根号）（，，） 【答案】米 【解析】 【分析】利用坡度的定义得到的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出以及的长，解题的关键是找到边长之间的关系． 【详解】解：过点B作，垂足分别为：N，M，如图所示： ， ∵坡度i＝，米， ∴设，则， ∴， 则， 解得：， 故米， ∴米， 则， ∴米， ∵， ∴米， 故米， 则此建筑物的高度米． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是用待定系数法确定函数解析式，并由函数图象求不等式的解集及图形的面积分割转化思想方法的掌握． （1）把点N的坐标代入反比例函数解析式便可求出反比例函数的解析式； （2）求出直线与x轴交点A的坐标，然后利用解题即可； （3）观察图象求出x的取值范围即可． 【小问1详解】 把代入得， 解得， ； 【小问2详解】 把代入得，， 令直线与轴交点为， 把代入，得解得， ， ， 【小问3详解】 根据图象，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为：或 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2 （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【答案】（1）能，t的值为2s或3s；（2）t为秒与秒. 【解析】 【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解． （2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作PH⊥BC于点H， 在矩形ABCD中， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝10cm， 当运动ts（0＜t＜5）时，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm， ∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC， ∴△PHC∽△ABC， ∴ ∴PH＝（10﹣2t）cm， 根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6， 解得：t1＝2，t2＝3． 答：当t的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6cm2时． （2）如图2，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC， ∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t， ∴△PQC∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得t＝（秒）； 如图3，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC， ∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC， ∴△CPQ∽△CBA， ∴＝， 即＝， 解得t＝（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论． 22. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O顺时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图， ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O顺时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 23. 已知，如图中，是中线，点E是上一点，与交于点F，． （1）在图中与相等的角有__________和__________； （2）在图中找出与线段相等的线段并证明； （3）若，且，求的值．（用含k的代数式表示） 【答案】（1）和 （2）， 证明：延长至点H，使，连接， 在△ABD和△CHD中, ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角得到∠EBF=∠EFB，在结合对顶角相等得到∠EFB=∠DFC，得出∠DFC=∠EBF=∠EFB； （2）延长至点H，使，通过证明得到CH=AB、∠EBF=∠CHF， 进一步得出结果； （3）延长FD到M，使FM=FC，连接CM，首先证明∠ADB=∠BAD，进一步证明△ABD∽△BAD，通过比例线段分别表示出BF和DF的长，得出结果． 【小问1详解】 ∵EB=EF， ∴∠EBF=∠EFB， 又∵∠EFB=∠DFC， ∴∠DFC=∠EBF=∠EFB， 故答案为∠EBF、∠EFB； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长FD到M，使，连接MC， 设∠ADB=x，则∠ADB=90°- ， ∴ ， ∴∠ADB=∠BAD， ∴BD=AB， ∵FM=FC， ∴∠M=∠MCF， ∵∠MFC=∠ABD， ∴∠M=∠MCF=∠ABD=∠BAD， ∴∠ADB=∠MDC， ∴∠M=MDC， ∴CD=CM， ∴CD=AD=CM， 设， ∵CF=AB， ∴CF=FM=AB=BD, ∴DM=BF， ∵AB=kAC, ∴， 又∵∠ADB=∠M，∠BAD=∠CDM， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握性质和判定的熟练应用、辅助线作法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $