3 单摆-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理选择性必修1同步导学案配套PPT课件（教科版）

3　单摆 第二章　机械振动 [学习目标]　1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.知道影响单摆周期的因素，能熟练应用单摆的周期公式解决有关问题(重点)。 课时作业 巩固提升 要点1　单摆及其运动规律 要点2　单摆的周期 要点3　单摆模型的拓展 内容索引 要点1　单摆及其运动规律 * 1．定义：忽略悬挂小球的细线长度的____________________，且线长比球的直径________，这样的装置就叫作单摆。 2．理想化模型 (1)细线的________与小球相比________。 (2)小球的________与线的长度相比__________。 (3)摆线的________与摆线长度相比____________。 (4)__________与摆球的重力及细线的拉力相比__________。 梳理 必备知识 自主学习 微小变化和质量 大得多 质量 可以忽略 直径 可以忽略 形变量 可以忽略 空气阻力 可以忽略 圆弧切线 小 正比 平衡位置 3．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿_________方向的分力。 (2)回复力的特点：在摆角很_______时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成_________，方向总指向_________，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 [思考与讨论] 如图所示，生活中，在不同的地点我们能够观察到很多的机械振动，风铃的摆动、钟摆的摆动、秋千的摆动，它们与弹簧振子的结构不同，试着从三种摆动的共性出发，抽象出一种物理模型。 提示：三种摆动都可以抽象为一根轻绳悬挂一个质点在竖直面内做往复运动。 1．单摆的受力分析 (1)单摆受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。 (2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。 (3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。 归纳 关键能力 合作探究 2．证明一个振动是简谐运动的两种方法 (1)动力学角度：回复力与位移关系满足 F＝－kx。 (2)运动学角度：位移与时间的关系满足x＝A sin (ωt＋φ0)，x－t图像为正弦曲线。 [典例1]　(2024·四川眉山期中)关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　) A．摆球经过平衡位置时所受合力为零 B．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 C．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 B 摆球经过平衡位置时回复力为0，但根据圆周运动的规律可知单摆此时所受合力不为零，故A错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故B正确，D错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，故C错误。 [针对训练] 1．(2024·四川雅安高二阶段练习)关于单摆，下列说法中正确的是 (　　) A．摆球运动的回复力是它的重力沿切线方向上的分力 B．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是改变的 D．摆球经过平衡位置时，加速度为零 A 根据回复力的定义，单摆运动的回复力是重力沿切线方向上的分力，A正确；球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，加速度方向不是始终指向平衡位置，B错误；摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，受力情况相同，加速度是不变的，C错误；球经过平衡位置时，加速度不为零，有向心加速度，D错误。 要点2　单摆的周期 * 1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：__________法。 (2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量________。 ②周期与振幅________。 ③摆长越长，周期________；摆长越短，周期________。 梳理 必备知识 自主学习 控制变量 无关 无关 越大 越小 2．周期公式 (1)提出：由荷兰物理学家________首先提出的。 (2)公式：T＝___________，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，而与振幅、摆球质量无关。 惠更斯 正比 反比 2π [思考与讨论] 一条短绳系一个小球，它的振动周期较短。悬绳较长的秋千，周期较长。单摆的周期可能与哪些因素有关？如何来探究单摆周期与它们的关系？ 提示：可能与摆长有关，另外还有摆动幅度、物体的质量等可能因素。可用控制变量法探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响。 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 归纳 关键能力 合作探究 2．对周期公式的理解 由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 (1)摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即 l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径。 ②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l sin α，这就是等效摆长。其周期T＝2π。 图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 (2)重力加速度g 若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。不同地点g的取值不同。 特别提醒 1．摆长l并不等于绳长，而是等于摆球球心(质量均匀)到摆动圆弧的圆心的距离。 2．公式中的g不一定等于9.8 m/s2，尤其是单摆在复合场中或斜面上摆动时，g值往往因情景不同而不同。　 D [典例2]　(2024·四川内江期中)如图所示是两个理想单摆的振动图像，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法中正确的是(　　) A．t＝4 s时，两单摆的回复力最大 B．乙摆球在第1 s末和第3 s末速度相同 C．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2 D．甲摆球位移随时间变化的关系式为x＝2sin (t)cm t＝4 s时，两单摆处于平衡位置，该位置的回复力为零，A错误；乙摆球在第1 s末和第3 s末速度大小相等方向相反，B错误；由单摆的周期公式可知T＝2π得，甲、乙两个摆的摆长之比为＝＝，C错误；由图可知，甲摆的振幅为2 cm，周期为4 s，且零时刻位于平衡位置并开始向上运动，故甲摆球位移随时间变化的关系式为x＝2sin (t)cm，D正确。 A．小球的回复力最大时，动能最大 B．小球在左右两侧最大位移处时，速度为零，加速度也为零 C．若只将钉子P位置向上移一小段距离，小球运动周期变大 D．若只将钉子P位置向下移一小段距离，小球运动周期变大 C [典例3]　(2024·四川绵阳期末)如图所示，细长轻绳下端悬挂一小球A构成单摆，在悬挂点O正下方摆长处有一能挡住摆线的钉子P。现将单摆向右方拉开一个小角度θ(θ<5°)，t＝0时刻无初速度释放，不计一切阻力，下列说法正确的有(　　) 小球在左右两侧最大位移处时，小球的回复力最大，速度为零，动能为零，向心加速度为零，切向加速度不为零，故A、B错误；根据题意，由单摆的周期公式T＝2π可知，若只将钉子P位置向上移一小段距离，小球在钉子左侧摆动的摆长变长，小球运动周期 变大，故D错误，C正确。 [针对训练] 2．(2024·四川南充期中)下列关于单摆的认识说法正确的是(　　) A．摆球运动到平衡位置时，合力为零 B．摆球在任意位置的回复力都不等于绳的拉力和重力的合力 C．将摆钟由南充移至北京，为保证摆钟的准确，需要将钟摆调长 D．将单摆的摆角从5°改为3°，单摆的振幅减小，周期减小 C 摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力提供所需的向心力，不为零，故A错误；摆球在最高点位置时的回复力等于绳的拉力和重力的合力，故B错误；根据单摆周期公式T＝2π，将摆钟由南充移至北京，重力加速度变大，为保证摆钟的准确，需要将钟摆调长，故C正确；根据单摆周期公式T＝2π，将单摆的摆角从5°改为3°，单摆的振幅减小，周期不变，故D错误。 要点3　单摆模型的拓展 * 1．类单摆模型 除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球。 梳理 必备知识 自主学习 2．不同系统中的等效重力加速度 在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。 情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度 g等效＝g－a g等效＝ g等效＝g＋a g等效＝g g等效＝ g等效＝g [典例4]　如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的D处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则(　　) A．球A先到达C点 B．球B先到达C点 C．两球同时到达C点 D．无法确定哪个球先到达C点 归纳 关键能力 合作探究 A 球A做自由落体运动，到达C点的时间为tA＝＝。 当弧DC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力N和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2π＝2π， 因此球B运动到C点所需的时间是tB＝＝ ， 故tA<tB，显然球A先到达C点，故选A。 [针对训练] 3．如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动，关于它们的周期关系，下列判断正确的是(　　) A．T甲＞T乙＞T丙＞T丁 B．T甲＜T乙＝T丙＜T丁 C．T甲＞T乙＝T丙＞T丁 D．T甲＜T乙＜T丙＜T丁 C 题图甲中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mg sin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g甲＝g sin θ；题图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；题图丙为标准单摆；题图丁摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，由单摆做简谐运动的周期公式T＝2π，知T甲＞T乙＝T丙＞T丁，选项C正确。 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1．(2024·四川资阳期中)关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是(　　) A．经过平衡位置时所受的合力为零 B．经过平衡位置时所受的回复力为零 C．回复力是重力和摆线拉力的合力 D．回复力是重力沿圆弧半径方向的分力 13 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 单摆运动，经过平衡位置时，回复力为零，但所受的合力提供向心力，不为零，故A错误，B正确；回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故C、D错误。 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2．(2024·四川宜宾期中)在盛沙的漏斗下方放一木板，让漏斗摆动起来，假设漏斗中细沙匀速流出，经过一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，不考虑空气阻力，则沙堆的剖面应是下图中的(　　) 13 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，漏斗到达最底端运动速度最快，细沙漏到地面上的最少；两端漏斗运动的最慢，细沙漏到地面上的较多。故选B。 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3．(2024·四川成都期中)如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．甲摆的摆长比乙摆的摆长长 B．甲摆的振幅是乙摆振幅的3倍 C．甲摆的机械能比乙摆的机械能大 D．在t＝1 s时有正向最大加速度的是乙摆 13 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T＝2π知，甲、乙两单摆的摆长相等，故A错误；甲摆的振幅为6 cm，乙摆的振幅为3 cm，则甲摆的振幅是乙摆振幅的2倍，故B错误；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆的摆球质量未知，故无法比较机械能的大小，故C错误；在t＝1 s时， 甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位 移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度， 故D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4．(2024·四川南充期末)频率为0.5 Hz的摆称为秒摆。在g＝9.81 m/s2的地点，用小硬木球做的秒摆的摆长为(　　) A．0.25 m　　　　　　　　　 B．1 m C．4 m D．16 m 13 B 该摆的周期为T＝＝2 s，又由T＝2π得l＝，代入数据得l≈1 m，故选B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5．(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行中克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是(　　) A．当摆钟不准时需要调整圆盘的上、下位置 B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D．把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移 13 AC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 调整圆盘的上、下位置可改变摆长，从而达到调整周期的作用，A正确；若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长，即下移圆盘，B错误；由冬季变为夏季，摆杆变长，应上移圆盘，C正确；从广州到北京，g值变大，周期变小，应增加摆长，即下移圆盘，D错误。 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 C 6．(2024·四川宜宾期末)一单摆的摆长为L，摆球的质量为m，振动的周期为4 s，则下列说法正确的是(　　) A．当摆球的质量m减为时，振动周期变为2 s B．当摆长L减为时，振动周期变为2 s C．当重力加速度减为时，振动周期变为8 s D．当单摆的振幅减小为原来的时，振动周期变为8 s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 单摆的振动周期为T＝2π，由此可知，单摆的振动周期与摆球的质量、振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，故A、D错误；当摆长减为原来一半时，有T′＝2π＝T＝2 s，故B错误；当重力加速度减为时，有T″＝2π＝2T＝8 s，故C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 7．(2024·四川绵阳期中)图甲是利用沙摆演示简谐运动图像的装置。当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系。已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s，图乙所示的一段木板的长度为0.80 m，则这次实验沙摆的摆长为(取g＝π2)(　　) A．0.56 m B．0.65 m C．1.00 m D．2.25 m 13 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 木板匀速拉出，则x＝vt，解得t＝＝ s＝4 s，结合图乙知t＝2T，则T＝2 s 根据单摆周期公式T＝2π，解得l≈1 m，故选C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8．(2024·四川雅安期末)如图甲所示为一个半径为R，弧长为L的光滑凹槽(R≫L)。现将一质量为m的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知重力加速度大小为g，g≈π2，下列说法正确的是(　　) A．小球运动到最低点时所受合力为零 B．小球做简谐运动的回复力由重力沿 圆弧切线方向的分力提供 C．小球做简谐运动的周期为2.5 s D．光滑凹槽半径R＝2 m 13 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 小球运动到最低点时所受合力提供向心力，不为零，故A错误；小球做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故B正确；根据图乙，小球做简谐运动的周期为2.0 s，故C错误；根据T＝2π，得R＝1 m，故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 D 9．如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)，组成了双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，重力加速度为g，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　) A．2π B．2π C．2π D．2π 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π计算，但注意此处的l与题中的细线长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，此题中单摆的等效摆长为l sin α，代入周期公式，可得T＝2π，故D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10．(2024·四川绵阳期末)某学习小组的同学在实验室用如图甲所示装置研究单摆的运动规律，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位置。取向右为正方向。图乙是单摆的振动图像。已知当地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列说法中正确的是(　　) A．单摆的振幅是0.14 m，振动的频率是1 Hz B．振动的表达式为x＝0.07sin (2πt)m C．单摆的摆长为1 m D．t＝1.5 s时摆球在N点 13 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 由题图乙知振幅A＝0.07 m，周期T＝2 s，则频率f＝＝0.5 Hz，选项A错误；振动的表达式为x＝A sin 2πft＝0.07sin πt m，选项B错误；由单摆的周期公式T＝2π，解得l＝＝1 m，选项C正确；由题图乙知，t＝1.5 s时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以摆球在M点，选项D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11．周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多长时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，月球表面的自由落体加速度为1.6 m/s2。 答案：0.99 m　247.5 s 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 根据周期公式T＝2π可得l＝ 代入数据解得l＝ m≈0.99 m 秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为＝ 它在月球上做50次全振动所用的时间为t＝50T′＝50T＝50×2× s≈247.5 s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 C [C组　培优选做练] 12．一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的九分之一，在地球上走时准确的摆钟(设这个摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同)搬到此行星上，此摆钟分针走一整圈经历的时间实际是(　　) A． h B． h C．3 h D．9 h 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 设物体在某行星表面的重力加速度为g′，根据万有引力与重力的关系 F′＝G＝mg′ F＝G＝mg 则g′＝，根据单摆简谐运动的周期公式T＝2π 在该星球和地球上摆钟分针走一整圈所需要摆动的次数相同，地球上摆钟分针走一整圈经历的时间为1 h，则＝＝＝3，摆钟分针走一整圈经历的时间为t′＝3t＝3 h，故选C。 13．(2024·四川宜宾期中)将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面内A、A′点之间来回滑动。A、A′点与O点连线与竖直方向之间的夹角相等且都为θ，均小于10°，图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t＝0为滑块从A点开始运动的时刻，g取 10 m/s2，试根据力学规律和题图中所给的信息，求： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 (1)容器的半径； 答案：(1)0.1 m　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 (1)完成一次全振动的时间为一个周期，由题图乙得小滑块做简谐振动的周期 T＝0.2π 根据T＝2π 解得R＝0.1 m。 (2)小滑块的质量及滑块运动过程中的最大动能。 答案：(2)0.05 kg　5×10-4 J 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 (2)在最高点A，有Fmin＝mg cos θ＝0.495 N 在最低点B，有Fmax＝m＋mg＝0.510 N 从A到B，滑块机械能守恒，有mgR(1－cos θ)＝mv2 解得m＝0.05 kg 在B点的动能最大Ekmax＝5×10-4 J。 $$