第1章 勾股定理 单元练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

2024-2025学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．32，42，52 C．1，2，3 D．7，24，26 2．在中，，分别是上的中线．若，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（    ） A．3 B．16 C．9 D．2 4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（    ）    A． B． C． D． 5．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 6．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ）    A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 7．如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 8．如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 二、填空题 9．已知直角三角形的斜边比一直角边长，另一直角边长为，则该三角形的斜边长为 cm． 10．在中，边上的高为，则的面积为 ． 11．如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．    12．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 13．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 14．如图，在中，平分，于点，于点，，，则 ． 15．如图，点A、B在直线l的同侧，已知于C，于D，且，点P为直线l上一动点，则的最大值为 ． 16．如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 三、解答题 17．如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 18．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)若点为线段上一点，连接，且，求的长． 19．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 22．【问题初探】 （1）如图①，在中，，于点，若，，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，为边上的中线，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，在中，，，点为的中点，连接， 于点，在的右侧作，，，问的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 参考答案： 1．解：A、∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； B、∵， ∴32，42，52不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴7，24，26不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2．解：设， ∵，，都是直角三角形，分别是上的中线． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．解：如图， 在，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴阴影部分面积是9， 故选：C． 4．解：如下图：    根据题意：，， ∴， ∴树折断之前高为， 故选：D． 5．解：在中，， 根据折叠的性质可知：． ∴． 故选：A． 6．解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得： 故选：A． 7．解：连接， 根据折叠的性质得，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为， 故选：C． 9．解：设一条直角边的长为，则斜边为 该直角三角形的斜边为． 故答案为：． 10．解：如图，当为锐角时， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为； 如图，当为钝角时， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为； 综上所述，的面积为或． 故答案为：504或264 11．解：在中，， 在中， ∴ ， 故答案为：12． 12．解：如图，设大树高为，小树高为， 过点作于，连接， ，，， 在中，， 故小鸟至少飞行， 故答案为：13． 13．解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为 ， 故答案：． 14．解：延长，交于点E， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 则， 即， 解得：， 故答案为：． 15．解：如图所示，连接， ∵， ∴当A、B、P三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图所示，过点B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为5， 故答案为：5． 16．解：∵沿直线翻折得到， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∵的面积为，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．解：∵要使两村到站的距离相等， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∵ ∴， 设，则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：站应建在离站处． 18．（1）解： 在中，，， ， ； （2）设，则． 在中， ， ，      解得， ． 19．解： ，米，米， 在中，米. （米）， 在中，米， （米）. 即男子向右移动的距离为7米. 20．（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 21．（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．解：（1）在中，， ． ，， ， ， ． ， ， ， 故答案为：12； （2）． 理由：， ， 为边上的中线， ， ， 又， ， 即； （3）是定值，长为． 在中，， ， ， 又， ， 点为的中点，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$